Neprekinjena naključna spremenljivka ima eksponentno (eksponentno )zakon porazdelitve s parametrom, če ima njegova verjetnostna gostota obliko:

(12.1)

Tukaj je konstantna pozitivna vrednost. To eksponentno porazdelitev določa en pozitivni parameter ... Najdimo kumulativno funkcijo eksponentne porazdelitve:

(12.3)

riž. 12.1. Funkcija diferencialne eksponentne porazdelitve ()

riž. 12.2. Kumulativna funkcija eksponentne porazdelitve ()

Številčne značilnosti eksponentne porazdelitve

Izračunajmo matematično pričakovanje in varianco eksponentne porazdelitve:

Za izračun variance bomo uporabili eno od njegovih lastnosti:

Ker , potem ostane še izračunati:

Če zamenjamo (12.6) v (12.5), dobimo končno:

(12.7)

Za naključno spremenljivko, porazdeljeno po eksponentnem zakonu, je matematično pričakovanje enako standardnemu odklonu.

Primer 1. Napišite diferencialno in kumulativno funkcijo eksponentne porazdelitve, če je parameter.

Rešitev... a) Gostota porazdelitve ima obliko:

b) Ustrezna integralna funkcija je enaka:

Primer 2. Poiščite verjetnost, da dosežete dani interval za SV, porazdeljeno po eksponentnem zakonu

Rešitev... Poiščimo rešitev, če se spomnimo:. Zdaj ob upoštevanju (12.3) dobimo:

Funkcija zanesljivosti

Napravo imenujemo element, ne glede na to, ali je »enostavna« ali »kompleksna«. Naj element začne delovati v trenutku in po izteku trajanja pride do okvare. Označimo z neprekinjeno SV - trajanje delovanja elementa. Če element deluje brez okvare (pred okvaro) krajši čas, bo posledično prišlo do okvare v času trajanja. tako, verjetnost neuspeha sčasoma je trajanje določeno z integralno funkcijo:

. (12.8)

Potem je verjetnost brezhibnega delovanja za isto časovno trajanje enaka verjetnosti nasprotnega dogodka, t.j.

Funkcija zanesljivostiimenujemo funkcija, ki določa verjetnost brezhibnega delovanja elementa za določen čas.

Pogosto ima čas delovanja elementa eksponentno porazdelitev, katere integralna funkcija je:

. (12.10)

Potem bo v primeru eksponentne porazdelitve življenjske dobe elementa in ob upoštevanju (12.9) funkcija zanesljivosti enaka:

. (12.11)

Primer 3.Čas delovanja elementa je porazdeljen po eksponentnem zakonu ob (čas v urah). Poiščite verjetnost, da bo element deloval 100 ur brez okvare.

Rešitev... V našem primeru bomo uporabili (12.11):

Eksponentni zakon zanesljivosti je zelo preprost in priročen za reševanje praktičnih problemov. Ta zakon ima naslednje pomembne lastnosti:

Verjetnost brezhibnega delovanja elementa v časovnem intervalu trajanja ni odvisna od časa prejšnjega delovanja pred začetkom obravnavanega intervala, ampak je odvisna samo od trajanja časa.(pri dani stopnji neuspeha).

Dokažimo to lastnost z uvedbo naslednjega zapisa:

brezhibno delovanje elementa v intervalu trajanja;

Potem se zgodi, da element v določenem časovnem intervalu deluje brezhibno. Poiščimo verjetnosti teh dogodkov s formulo (12.11) ob predpostavki, da je čas delovanja elementa podvržen eksponentnemu zakonu:

Poiščimo pogojno verjetnost, da bo element v časovnem intervalu deloval brezhibno, pod pogojem, da je v prejšnjem časovnem intervalu že deloval brezhibno:

(12.13)

Vidimo, da dobljena formula ni odvisna od, ampak samo od. Če primerjamo (12.12) in (12.13), lahko sklepamo, da je pogojna verjetnost neokvarnega delovanja elementa v intervalu trajanja, izračunana ob predpostavki, da je element v prejšnjem intervalu deloval brez napak, enaka brezpogojna verjetnost.

Torej, v primeru eksponentnega zakona zanesljivosti, delovanje elementa brez napak "v preteklosti" ne vpliva na vrednost verjetnosti njegovega brezhibnega delovanja "v bližnji prihodnosti".

Kombinatorni elementi

Prostor elementarnih dogodkov. Naključni dogodki.

Verjetnost

Sodobni koncept verjetnosti

Klasična verjetnostna shema

Geometrijske verjetnosti

Zakon seštevanja verjetnosti

Izrek o množenju verjetnosti

Formula skupne verjetnosti

Izrek o domnevi. Bayesova formula.

Ponavljanje testov. Bernoullijeva shema.

Lokalni Moivre-Laplaceov izrek

Integralni de Moivre-Laplaceov izrek

Poissonov izrek (zakon redkih dogodkov)

Naključne spremenljivke

Distribucijske funkcije

Neprekinjena naključna spremenljivka in gostota porazdelitve

Osnovne lastnosti porazdelitvene gostote

Številčne značilnosti enodimenzionalne naključne spremenljivke

Lastnosti matematičnega pričakovanja

Trenutki naključne spremenljivke

Disperzijske lastnosti

Asimetrije in kurtoza

Večdimenzionalne naključne spremenljivke

Lastnosti dvodimenzionalne porazdelitvene funkcije

Gostota verjetnosti dvodimenzionalne naključne spremenljivke

Buffonov problem

Pogojna gostota porazdelitve

Številčne značilnosti sistema naključnih spremenljivk

Lastnosti korelacijskega koeficienta

Normalni (Gaussov) zakon porazdelitve

Verjetnost dosega intervala

Lastnosti funkcije normalne porazdelitve

Porazdelitev (hi-kvadrat)

Eksponentni (eksponentni) zakon porazdelitve

Številčne značilnosti eksponentne porazdelitve

Funkcija zanesljivosti

Neprekinjena naključna spremenljivka $ X $ upošteva eksponentno (eksponentno) verjetnostno porazdelitev, če ima njena verjetnostna gostota $ f \ levo (x \ desno) $ naslednjo obliko:

$$ f (x) = \ levo \ (\ začetek (matrika)
0, \ x< 0\\
\ lambda e ^ (- \ lambda x), \ x \ ge 0
\ konec (matrika) \ desno .. $$

Nato distribucijska funkcija:

$$ F (x) = \ levo \ (\ začetek (matrika)
0, \ x< 0\\
1-e ^ (- \ lambda x), \ x \ ge 0
\ konec (matrika) \ desno $$

Grafi gostotnih funkcij $ f \ levo (x \ desno) $ in porazdelitve $ F \ levo (x \ desno) $ so prikazani na sliki:

Za zakon eksponentne porazdelitve lahko numerične značilnosti izračunamo z uporabo znanih formul. Pričakovana vrednost in standardni odklon sta enaka drug drugemu in enaka $ 1 / \ lambda $, to je:

$$ M \ levo (X \ desno) = \ sigma \ levo (X \ desno) = ((1) \ čez (\ lambda)). $$

Disperzija:

$$ D \ levo (X \ desno) = ((1) \ čez ((\ lambda) ^ 2)). $$

Parameter porazdelitve $ \ lambda $ v statističnem smislu označuje povprečno število dogodkov, ki se zgodijo na enoto časa. Torej, če je povprečni čas delovanja naprave $ 1 / \ lambda $, bo parameter $ \ lambda $ označil povprečno število okvar na enoto časa. Primeri naključnih spremenljivk, za katere velja zakon eksponentne porazdelitve, so lahko:

• Trajanje telefonskega pogovora;
• Čas, porabljen za storitve za stranke;
• Obdobje delovanja naprave med okvarami;
• Časovni intervali med pojavom avtomobilov na bencinski črpalki.

Primer ... Naključna spremenljivka $ X $ je eksponentno porazdeljena $ f \ levo (x \ desno) = \ levo \ (\ začetek (matrika)
0, \ x< 0\\
5e ^ (- 5x), \ x \ ge 0
\ konec (matrika) \ desno. $. Potem je pričakovanje $ = $ standardni odklon $ \ sigma (X) = 1 / \ lambda = 1/5 = 0,2 $, varianca $ D (X) = 1 / (\ lambda) ^ 2 = 1/25 = 0 , 04 $

Primer ... Čas delovanja naprave je naključna spremenljivka $ X $, ki je predmet eksponentne porazdelitve. Znano je, da je povprečni čas delovanja te naprave 500 $ ur. Kakšna je verjetnost, da bo ta naprava delovala vsaj 600 $ ur?

Matematično pričakovanje naključne spremenljivke $ X $ je $ M \ levo (X \ desno) = 500 = 1 / \ lambda $, zato je parameter porazdelitve $ \ lambda = 1/500 = 0,002. $ Lahko zapišemo funkcijo porazdelitve. :

$$ F (x) = \ levo \ (\ začetek (matrika)
0, \ x< 0\\
1-e ^ (- \ lambda x) = 1-e ^ (- 0,002x), \ x \ ge 0
\ konec (matrika) \ desno $$

Potem je verjetnost, da bo naprava delovala manj kot 600 $ ur:

$$ P \ levo (X \ ge 600 \ desno) = 1-P \ levo (X< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$

Za izhodiščne faktorje bomo faktorje od 1 do 7 povezali s faktorji iz oddelka VI. 3 v vrstnem redu, v katerem so zapisani, to je faktor 1 okrnjenost, faktor 2 simetrija itd. Nato bomo povezali ravni + in - faktorjev v tabeli. 4 z dvema nivojema faktorjev VI. 3 naključno. Ta naključni vrstni red je bil dosežen z uporabo tabele naključnih števil in primerjavo teh številk z 1/2. Rezultati tega postopka so prikazani v tabeli. 5. Kombiniranje tabele. 4 in 5 daje načrt v začetnih faktorjih, podanih v tabeli. 6, kjer A1, (i = 1, ..., 4) označujejo neznane naključne spremenljivke z eksponentno porazdelitvijo s parametrom br - b. Kot primer upoštevajte kombinacijo 1 v tabeli. 6. Faktorja 1 in 2 sta v tabeli na ravni +. 4. Posledično iz tabele. 5 moramo vzeti okrnjeno, poševno porazdelitev z repi navzgor. Tabela 1 vidimo, da je ta porazdelitev eksponentna porazdelitev naključne spremenljivke x. Faktor 6 je na ravni

V našem primeru objektivni razlogi za tehnološke izdelke ne dopuščajo uporabe teh distribucijskih zakonov. Prvič, pogoj za pridobitev normalnega zakona je skupno delovanje številnih naključnih dejavnikov, od katerih nobeden ni prevladujoč. To ne ustreza pogojem delovanja in zavrnitvi izdelkov za tehnološke namene, kjer se nujno pojavljajo prevladujoči dejavniki. Drugič, eksponentni zakon zahteva pogoje običajnosti, stacionarnosti in naknadnega učinka, ki za te produkte pogosto niso izpolnjeni. Zlasti toka okvar ni mogoče šteti za stacionarnega, ker se njegov verjetnostni režim spreminja v času.

Takšne informacije odražajo prevladujoče pogoje proizvodnih procesov in so zato vzorec iz splošne populacije. Na podlagi zakona velikih števil je mogoče trditi, da če splošna populacija upošteva določen zakon o porazdelitvi, bo vzorec te populacije z dovolj velikim obsegom upošteval ta zakon. Najpogosteje je ta zakon neznan, njegova opredelitev pa povzroča precejšnje težave. V takih primerih imajo prednost dobro znani zakoni distribucije, najpogosteje eksponentni in normalni.

Z besedo bomo po naključju mislili, da je verjetnost, da bo en sam avto prispel na bencinsko črpalko za kateri koli majhen časovni interval, ki se začne v poljubnem časovnem trenutku / in ima dolžino m, do zanemarljivih vrednosti, sorazmerna z m z določeno sorazmernostjo koeficient X> 0. Vrednost K lahko interpretiramo kot povprečno število avtomobilov, ki se pojavijo na postaji na enoto časa, njeno inverzno vrednost 1L pa kot povprečni čas pojavljanja enega avtomobila. Verjetnost, da v tem časovnem obdobju ne bo prišel noben avtomobil, se šteje za približno enako 1 - m, verjetnost prihoda dveh ali več avtomobilov pa je zanemarljiva v primerjavi z vrednostjo Yal. Iz podanih predpostavk je mogoče sklepati naslednje. Prvič, časovni intervali / med dvema zaporednima prihodom avtomobilov izpolnjujejo eksponentno porazdelitev

Izgube, ki nastanejo pri delovanju opreme za avtomatizacijo v tem obdobju, je mogoče izračunati na podlagi uporabe teorije zanesljivosti, po kateri so nenadne okvare opredeljene kot okvara sistema zaradi pojava nepredvidenih, nenadnih koncentracij zunanjih obremenitev in notranjih napetosti, ki presegajo izračunano tiste. Če so nekateri elementi in priključki izdelani ali popravljeni slabo, potem bodo pri manjših obremenitvah odpovedali. Zato so okvare okvarjenih elementov porazdeljene eksponentno (upošteva se Poissonova narava porazdelitve nenadnih okvar), pri čemer je povprečni čas delovanja nekajkrat krajši kot pri drugih elementih.

Eksponentna porazdelitev. Ta porazdelitev praviloma upošteva čas delovanja nenadnih okvar (tj. okvar zaradi latentnih tehnoloških okvar) in porazdelitev časa med dvema zaporednima okvarama, če izdelki delujejo v ustaljenem stanju.

Poglejmo primer, ko je preiskovani parameter porazdeljen eksponentno.

Ya.B. Shor poda naslednjo formulo za določanje intervala zaupanja za splošno povprečje v primeru eksponentne porazdelitve naključne spremenljivke

Kljub navidezni enostavnosti pogojev, pod katerimi je bil zadnji izraz pridobljen, se teoretično za številne zanimive primere izkažejo za neizvedljive. To se zgodi, ko izpeljanka g (x) v točki x = v postane neskončna. Predvsem to velja za dvostransko eksponentno porazdelitev, ki smo jo že srečali v primerih 2 in 3. V eni različici konstrukcije optimalno

V tem poglavju bomo obravnavali najpogostejše zakone porazdelitve naključnih spremenljivk, pa tudi glavne parametre teh zakonov. Podane bodo metode za iskanje funkcije porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke v primeru neintegrabilne gostote verjetnosti ter algoritmi za pridobivanje zaporedij naključnih spremenljivk s poljubnim zakonom porazdelitve, ki je potreben pri simulaciji naključnih procesov. Posebna pozornost dobimo posplošeno eksponentno porazdelitev, ki je najbolj primerna za preučevanje cen sredstev.

Ena najpomembnejših porazdelitev, ki jih najdemo v statistiki, je normalna porazdelitev (Gaussova porazdelitev), ki spada v razred eksponentnih. Gostota verjetnosti te porazdelitve je

Druga vrsta eksponentne porazdelitve, poleg normalne, je Laplaceova porazdelitev, katere gostota je izražena s formulo

Splošna eksponentna porazdelitev.

Prej v tem poglavju sta bili obravnavani dve vrsti eksponentnih Gaussovih in Laplaceovih porazdelitev. Imajo veliko skupnega, so simetrični, odvisni od dveh parametrov (//, s),

V VI. 2 na kratko opisujemo MMD in namen eksperimenta, to je preučevanje občutljivosti MMD na kršitev njegovih premis. V VI.3 bomo podrobneje razpravljali različni dejavniki ki lahko vpliva na to občutljivost. Nenormalnost porazdelitve definiramo kot faktor 1. Ta faktor opisuje možnost ali nezmožnost, da naključne spremenljivke postanejo manjše od dane konstante (t.i. okrnjeni porazdelitveni faktor), asimetrijo in repe porazdelitve, vzeli bomo faktor 2. Z združevanjem faktorjev 1 in 2 izberemo štiri vrste porazdelitev (eksponentno, Erlangovo, tehtano razliko dveh naključnih spremenljivk z eksponentno porazdelitvijo in vsoto razlik naključnih spremenljivk z eksponentno porazdelitvijo). Heterogenost variance bomo označili kot faktor 3. To pomeni, da je varianca najboljše populacije (afki) lahko večja ali manjša od variance konkurenčne najslabše populacije (v najmanj ugodni situaciji). Faktor 4 meri, ali se obe varianti močno razlikujeta ali sploh ne. Faktor 5 kaže, ali so variance najslabših populacij (v najmanj ugodni situaciji) enake ali so vse različne. Faktor 6 določa število populacij (tri ali sedem), faktor 7 določa razdaljo 8 = 6 med najboljšo in naslednjo populacijo v najmanj ugodni situaciji. Faktor P, ki zagotavlja minimalno vrednost verjetnosti prava izbira upoštevana

Takšna informacija je vzorec iz splošne populacije, ki ima določen zakon porazdelitve. Pogosteje je ta zakon neznan in njegova definicija povzroča konstruktivne težave. V takih primerih imajo prednost x> oso znani zakoni distribucije, najpogosteje - eksponentni in normalni.

distribucijski zakoni. Zlasti za b = 1 se spremeni v eksponentni zakon, za b = 2 - v Rayleighov zakon, z b = 3,25 - je blizu normale. Ta okoliščina omogoča uporabo enega in istega matematičnega aparata pri preučevanju najrazličnejših tokov okvar izdelkov. Poleg tega ta

V številnih študijah se trdi, da bo za okvare tehničnih izdelkov zaradi obrabe, utrujenosti, korozije in staranja povsem zadovoljiv normalen ali logaritemsko normalen zakon porazdelitve, medtem ko v primeru nenadnih okvar, ki so posledica naključnih preobremenitev, nesreč , itd., primeren je eksponentni zakon.zakon distribucije.

Univerzalnost tega zakona je razložena z dejstvom, da se za različne vrednosti parametra b približuje številnim distribucijskim zakonom. Zlasti, ko se b = spremeni v eksponentni zakon, ko je 6 = 2 - v Rayleighov zakon, ko je b = 3,25 - je blizu normale.

V tem primeru smo obravnavali najpreprostejši primer Poissonovega vhodnega toka, eksponentni čas storitve, eno namestitev strežnika. V resnici so distribucije veliko bolj zapletene, bencinske črpalke pa vključujejo večje število bencinskih črpalk. Za poenostavitev klasifikacije čakalnih sistemov je ameriški matematik D. Kendall predlagal priročen sistem zapisov, ki je do zdaj postal zelo razširjen. Kendall je označil vrsto čakalne vrste s tremi simboli, od katerih prvi opisuje vrsto vhodnega toka, drugi - tip verjetnostnega opisa storitvenega sistema, tretji pa število strežnih naprav. Simbol M je označeval Poissonovo porazdelitev vhodnega toka (z eksponentno porazdelitvijo intervalov med zahtevki), isti simbol je bil uporabljen za eksponentno porazdelitev trajanja storitve. Tako ima sistem čakalnih vrst, opisan in preučen v tem razdelku, oznako M / M / 1. Sistem M / G / 3, na primer, pomeni sistem s Poissonovim vhodnim tokom, splošno (v angleščini - splošno) funkcijo porazdelitve časa storitve in tremi strežniki. Obstajajo tudi drugi zapisi: D je deterministična porazdelitev intervalov med zahtevki ali trajanjem storitev, E je Erlangova porazdelitev reda n itd.

Na podlagi tukaj opisanih metod za konstruiranje zaporedij naključnih števil z različnimi porazdelitvami je mogoče sestaviti postopka randl in rand2, ki sta bila uporabljena v programu Algol za izračune na modelu bencinske črpalke. Če imajo uporabljeni naključni intervali med avtomobili in trajanjem servisa eksponentno porazdelitev, potem je bolje uporabiti metodo inverznih funkcij, in če obstaja nekaj empirične porazdelitve, potem metodo, ki temelji na shranjevanju diskretnih vrednosti v računalniku. OVEN.

Preidimo k opisu časa avtoservisa. Ker vozniki jemljejo različne količine bencina in se razlikujejo po spretnostih, se servisni čas težko šteje za konstantnega. Naj bo verjetnost, da bo servis avtomobila, ki je v katerem koli trenutku t na bencinski črpalki, opravljen v majhnem intervalu U, f + rJ, približno enaka JLIT, kjer je u> 0. Verjetnost, da bo servis se v tem časovnem obdobju ne bo končalo, se šteje za približno enako 1 - ct, verjetnost, da bo storitev opravljena, pa je. kopel dveh ali več avtomobilov - zanemarljiva vrednost. Potem

kje λ Je konstantna pozitivna vrednost.

Iz izraza (3.1) sledi, da eksponentno porazdelitev določa en parameter λ.

Ta značilnost eksponentne porazdelitve kaže na njegovo prednost pred distribucijami , odvisno od večjega števila parametrov. Parametri običajno niso znani in najti moramo njihove ocene (približne vrednosti), seveda, lažje je oceniti en parameter kot dva ali tri itd. . Primer neprekinjene naključne spremenljivke, porazdeljene po eksponentnem zakonu , lahko služi čas med pojavoma dveh zaporednih dogodkov najpreprostejšega toka.

Najdimo funkcijo porazdelitve eksponentnega zakona .

torej

Grafi gostote in porazdelitvene funkcije eksponentnega zakona so prikazani na sl. 3.1.

Glede na to dobimo:

Vrednosti funkcij najdete v tabeli.

Številčne značilnosti eksponentne porazdelitve

Naj bo neprekinjena naključna spremenljivkaΧ porazdeljeno po eksponentnem zakonu

Poiščite pričakovano vrednost , z uporabo formule za izračun za neprekinjeno naključno spremenljivko:

torej:

Poiščite standardno deviacijo , za katerega izvlečemo kvadratni koren variance:

Če primerjamo (3.4), (3.5) in (3.6), vidimo, da

tj.matematično pričakovanje in standardni odklon eksponentne porazdelitve sta med seboj enaka.

Eksponentna porazdelitev se pogosto uporablja pri različnih aplikacijah finančnih in tehničnih problemov, na primer v teoriji zanesljivosti.

4. Hi-kvadrat porazdelitev in Studentova t-razdelitev.

4.1 Hi-kvadrat porazdelitev (- distribucija)

Naj bodo Χ i (ί = 1, 2, ..., n) normalne neodvisne naključne spremenljivke , in matematično pričakovanje vsakega od njih je enako nič , a standardni odklon - enoto .

Nato vsota kvadratov teh količin

razdeli po zakonuzstopnje svobode , če so te količine povezane z eno linearno zvezo, na primer, potem število stopenj svobode

Porazdelitev hi-kvadrat se pogosto uporablja v matematični statistiki.

Gostota te porazdelitve

kjer je zlasti funkcija gama.

To kaže, da je porazdelitev hi-kvadrat določena z enim parametrom - število stopenj svobodek.

Ko se število stopenj svobode povečuje, se porazdelitev hi-kvadrat počasi približuje normalni.

Porazdelitev hi-kvadrat dobimo, če vzamemo Erlangov zakon porazdelitve λ = ½ in k = n /2 – 1.

Matematično pričakovanje in varianca naključne spremenljivke s hi-kvadrat porazdelitve, so določene s preprostimi formulami, ki jih predstavljamo brez izpeljave:

Iz formule izhaja, da priporazdelitev hi-kvadrat sovpada z eksponentno porazdelitvijo priλ = ½ .

Kumulativna porazdelitvena funkcija za porazdelitev hi-kvadrat je določena s posebnimi nepopolnimi tabelaričnimi funkcijami gama

Slika 4.1. so podane grafe gostote verjetnosti in porazdelitvene funkcije naključne spremenljivke, ki ima hi-kvadrat porazdelitev za n = 4, 6, 10.

Slika 4.1. a ) Grafi gostote verjetnosti za porazdelitev hi-kvadrat

Slika 4.1. b) Grafi funkcije porazdelitve za porazdelitev hi-kvadrat

4.2 Distribucija študentov

Naj bo Z normalna naključna spremenljivka in

a V Je količina, neodvisna od Z, ki je porazdeljena po zakonu hi-kvadrat sk stopnje svobode velikost:

ima distribucijo, imenovanot -distribucija ali študentova distribucija (psevdonim angleškega statistika V. Gosseta),

zk = n - 1 stopnja svobode (n - velikost statističnega vzorca pri reševanju statističnih problemov).

torej , razmerje med normalizirano normalno vrednostjo in kvadratnim korenom neodvisne naključne spremenljivke, porazdeljene po hi-kvadrat zakonu z k stopnje svobode , deljeno s k, razporejena po Študentovem zakonu s k stopnje svobode.

Gostota porazdelitve študenta:

Tukaj ugotavljamo osnovne koncepte in formule, povezane z eksponentno porazdelitvijo neprekinjene naključne spremenljivke $ X $, ne da bi se spuščali v podrobnosti njihove izpeljave.

Opredelitev 1

Eksponentna ali eksponentna porazdelitev neprekinjene naključne spremenljivke $ X $ je porazdelitev, katere gostota ima obliko:

Slika 1.

Graf eksponentne gostote porazdelitve ima obliko (slika 1):

Slika 2. Graf eksponentne gostote porazdelitve.

Funkcija eksponentne porazdelitve

Kot je enostavno preveriti, ima funkcija eksponentne porazdelitve obliko:

Slika 3.

kjer je $ \ gama $ pozitivna konstanta.

Graf funkcije eksponentne porazdelitve je naslednji:

Slika 4. Graf funkcije eksponentne porazdelitve.

Verjetnost zadeti naključno spremenljivko z eksponentno porazdelitvijo

Verjetnost, da neprekinjena naključna spremenljivka pade v interval $ (\ alfa, \ beta) $ z eksponentno porazdelitvijo, se izračuna po naslednji formuli:

Pričakovanje: $ M \ levo (X \ desno) = \ frac (1) (\ gama). $

Varianca: $ D \ levo (X \ desno) = \ frac (1) ((\ gamma) ^ 2). $

Standardna deviacija: $ \ sigma \ levo (X \ desno) = \ frac (1) (\ gamma) $.

Primer problema eksponentne porazdelitve

Primer 1

Naključna spremenljivka $ X $ upošteva eksponentni zakon porazdelitve. V območju definicije $ \ levo \