Vrsti

Naj bo dana serija ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)) in α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Potem

Izjava o konvergenci v Cauchyjevem in d'Alembertovem testu je izpeljana iz primerjave z geometrijsko progresijo (z imenovalci lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\levo|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\desno|) in α (\displaystyle \alpha ) oziroma), o razhajanju - iz dejstva, da se skupni člen serije ne nagiba k ničli.

Cauchyjev test je močnejši od D'Alembertovega testa v smislu, da če D'Alembertov test kaže na konvergenco, potem Cauchyjev test kaže na konvergenco; če Cauchyjev test ne omogoča sklepanja o konvergenci, potem tudi D'Alembertov test ne omogoča sklepanja; Obstajajo serije, za katere Cauchyjev test kaže konvergenco, D'Alembertov test pa ne kaže konvergence.

Integralni Cauchy-Maclaurinov test

Naj bo dana serija ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) in funkcijo f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) tako da:

Potem serija ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) in integralni ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) konvergirajo ali razhajajo hkrati in ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Raabejev znak

Naj bo dana serija ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) in R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\desno)).

Raabejev test temelji na primerjavi s posplošenim harmonskim nizom

Dejanja na vrsticah

Primeri

Razmislite o seriji 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Za to vrstico:

Tako Cauchyjev test kaže na konvergenco, medtem ko D'Alembertov test ne omogoča sklepanja.

Razmislite o seriji ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

Tako Cauchyjev test kaže na razhajanje, medtem ko D'Alembertov test ne omogoča sklepanja.

Vrsti ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) konvergira pri α > 1 (\displaystyle \alpha >1) in se razhaja pri α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1) vendar:

Tako nam Cauchyjeva in d'Alembertova znamenja ne omogočajo sklepanja.

Vrsti ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) konvergira pogojno po Leibnizovem kriteriju, vendar ne absolutno, saj harmonični niz ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) razhaja.

, je neomejen v levi okolici točke b (\displaystyle b). Nepravilni integral druge vrste ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) klical absolutno konvergentno, če integral konvergira ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Izmenične vrste so vrste, katerih členi so izmenično pozitivni in negativni. . Najpogosteje se upoštevajo izmenične serije, v katerih se členi izmenjujejo drug za drugim: vsakemu pozitivu sledi negativ, vsakemu negativu sledi pozitiv. Obstajajo pa izmenične vrste, v katerih se člani izmenjujejo po dva, tri in tako naprej.

Razmislite o primeru izmenične serije, katere začetek je videti takole:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

in takoj splošna pravila za snemanje izmeničnih vrstic.

Kot pri vsakem nizu morate za nadaljevanje danega niza podati funkcijo, ki določa skupni člen niza. V našem primeru je n + 2 .

Kako nastaviti menjavo znakov članov serije? Množenje funkcije z minus ena do neke stopnje. V kateri stopnji? Naj takoj poudarimo, da vsaka stopnja ne zagotavlja menjave znakov za pogoje serije.

Recimo, da želimo, da ima prvi člen izmeničnega niza pozitiven predznak, kot je primer v zgornjem primeru. Potem mora biti minus ena na potenco n− 1 . Začnite v ta izraz nadomeščati števila, ki se začnejo z ena, in dobili boste kot eksponent pri minus ena, potem celo, potem liho število. Tako je potreben pogoj izmenični znaki! Enak rezultat dobimo, ko n+ 1 . Če želimo, da je prvi člen izmeničnega niza z negativnim predznakom, potem lahko to niz definiramo tako, da funkcijo skupnega člena pomnožimo z ena na potenco n. Dobimo sodo število, liho število itd. Kot vidimo, je že opisan pogoj za menjavanje znakov izpolnjen.

Tako lahko zgornje izmenjujoče serije zapišemo v splošni obliki:

Za zamenjavo predznakov člana niza je lahko vsota potence minus ena n in vsako pozitivno ali negativno, sodo ali liho število. Enako velja za 3 n , 5n, ... To pomeni, da menjava predznakov članov izmenične serije zagotavlja stopnjo minus ena v obliki vsote n, pomnoženo s poljubnim lihim številom in poljubnim številom.

Katere potence pri minus ena ne zagotavljajo menjave znakov členov serije? Tisti, ki so prisotni v obliki n, pomnoženo s poljubnim sodim številom, ki mu je bilo dodano poljubno število, vključno z ničlo, sodo ali liho. Primeri indikatorjev takih stopenj: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Pri takšnih potencah, glede na to, kateremu številu dodamo en, pomnoženo s sodim številom, dobimo samo soda ali samo liha števila, kar pa, kot smo že ugotovili, ne podati menjavo znakov pogojev serije.

Izmenične serije - poseben primer izmenične serije . Izmenične vrste so vrste s členi poljubnih predznakov , torej tiste, ki so lahko pozitivne in negativne v poljubnem vrstnem redu. Primer izmenične serije:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Nato upoštevamo znake konvergence izmeničnih in izmeničnih serij. Pogojno konvergenco izmeničnih nizov znakov je mogoče ugotoviti z uporabo Leibnizovega testa. In za širši razpon serij – izmeničnih serij (vključno z izmeničnimi serijami) – velja merilo absolutne konvergence.

Konvergenca izmeničnih nizov znakov. Leibnizov test

Za serije izmeničnih predznakov velja naslednje merilo konvergence - Leibnizovo merilo.

Izrek (Leibnizov test). Niz konvergira in njegova vsota ne preseže prvega člena, če sta hkrati izpolnjena naslednja dva pogoja:

• absolutne vrednosti členov izmeničnega niza se zmanjšajo: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n>...;
• omejitev njenega skupnega roka z neomejenim povečanjem n enako nič.

Posledica. Če vzamemo vsoto izmeničnega niza kot vsoto njegovih n izrazov, potem dovoljena napaka ne bo presegla absolutne vrednosti prvega zavrženega člena.

Primer 1. Raziščite konvergenco vrste

rešitev. To je izmenična serija. Absolutne vrednosti njegovih članov se zmanjšajo:

in meja skupnega roka

enako nič:

Oba pogoja Leibnizovega testa sta izpolnjena, zato vrsta konvergira.

Primer 2. Raziščite konvergenco vrste

rešitev. To je izmenična serija. Najprej dokažemo, da:

, .

če n= 1, potem za vse n > n neenakost 12 velja n − 7 > n. Po vrsti za vse n. Zato se členi serije zmanjšujejo v absolutni vrednosti. Poiščimo mejo splošnega člena serije (z uporabo L'Hopitalovo pravilo):

Meja skupnega izraza je nič. Oba pogoja Leibnizovega testa sta izpolnjena, zato je odgovor na vprašanje konvergence pozitiven.

Primer 3. Raziščite konvergenco vrste

rešitev. Glede na izmenično serijo. Ugotovimo, ali je izpolnjen prvi pogoj Leibnizovega kriterija, to je zahteva. Da je zahteva izpolnjena, je potrebno, da

Poskrbeli smo, da je zahteva izpolnjena za vse n > 0 . Leibnizovo prvo merilo je izpolnjeno. Poiščimo mejo splošnega izraza serije:

.

Meja ni nič. Tako drugi pogoj Leibnizovega kriterija ni izpolnjen, zato konvergenca ne pride v poštev.

Primer 4. Raziščite konvergenco vrste

rešitev. V tej seriji dvema negativnima izrazoma sledita dva pozitivna. Tudi ta serija je izmenična. Ugotovimo, ali je prvi pogoj Leibnizovega testa izpolnjen.

Zahteva je izpolnjena za vse n > 1 . Leibnizovo prvo merilo je izpolnjeno. Ugotovimo, ali je meja splošnega člena enaka nič (z uporabo L'Hopitalovega pravila):

.

Dobili smo ničlo. Tako sta oba pogoja Leibnizovega kriterija izpolnjena. Dogaja se konvergenca.

Primer 5. Raziščite konvergenco vrste

rešitev. To je izmenična serija. Ugotovimo, ali je prvi pogoj Leibnizovega testa izpolnjen. Ker

,

Ker n ≥ 0 , nato 3 n+ 2 > 0 . Po vrsti za vse n, Zato . Posledično se členi vrste zmanjšajo v absolutni vrednosti. Leibnizovo prvo merilo je izpolnjeno. Ugotovimo, ali je meja splošnega člena niza enaka nič (z uporabo L'Hopitalovega pravila):

.

Dobili smo vrednost nič. Oba pogoja Leibnizovega testa sta izpolnjena, zato ta vrsta konvergira.

Primer 6. Raziščite konvergenco vrste

rešitev. Ugotovimo, ali je za to izmenično serijo izpolnjen prvi pogoj Leibnizovega testa:

Členi serije padajo v absolutni vrednosti. Leibnizovo prvo merilo je izpolnjeno. Ugotovimo, ali je meja skupnega člena enaka nič:

.

Meja skupnega izraza ni nič. Drugi pogoj Leibnizovega kriterija ni izpolnjen. Zato se ta serija razlikuje.

Leibnizov test je znak pogojna konvergenca vrste. To pomeni, da se sklepi o konvergenci in divergenci izmeničnih serij, obravnavanih zgoraj, lahko dopolnijo: te serije konvergirajo (ali razhajajo) pogojno.

Absolutna konvergenca izmeničnih nizov

Naj vrstica

– izmenično znamenje. Razmislimo o seriji, sestavljeni iz absolutnih vrednosti njenih članov:

Opredelitev. Za niz pravimo, da je absolutno konvergenten, če niz, sestavljen iz absolutnih vrednosti njegovih članov, konvergira. Če se izmenična vrsta konvergira in serija, sestavljena iz absolutnih vrednosti njenih članov, razhaja, potem se taka izmenična serija imenuje pogojno ali neabsolutno konvergentno .

Izrek.Če vrsta konvergira absolutno, potem konvergira pogojno.

Primer 7. Ugotovite, ali niz konvergira

rešitev. Tej seriji poleg pozitivnih izrazov ustreza serija To posplošen harmonski niz, v kateri , zato se serija razhaja. Preverimo, ali so izpolnjeni pogoji Leibnizovega testa.

Zapišimo absolutne vrednosti prvih petih členov serije:

.

Kot lahko vidimo, se členi serije zmanjšujejo v absolutni vrednosti. Leibnizovo prvo merilo je izpolnjeno. Ugotovimo, ali je meja skupnega člena enaka nič:

Dobili smo vrednost nič. Oba pogoja Leibnizovega kriterija sta izpolnjena. To pomeni, da po Leibnizovem kriteriju pride do konvergence. In ustrezna serija s pozitivnimi izrazi se razlikuje. Zato ta vrsta pogojno konvergira.

Primer 8. Ugotovite, ali niz konvergira

absolutno, pogojno ali razhaja.

rešitev. Temu nizu poleg pozitivnih členov ustreza niz To je posplošen harmonični niz, v katerem se torej niz razhaja. Preverimo, ali so izpolnjeni pogoji Leibnizovega testa.

Zdaj bomo prešli na študij serij, katerih člani so realna števila katerega koli predznaka.

Definicija 1. Poklicali bomo vrsto

absolutno konvergentna, če serija konvergira

Upoštevajte, da ta definicija ne pove ničesar o tem, ali naj bi vrsta (1.49) sama konvergirala. Izkazalo se je, da bi bila takšna predpostavka nepotrebna, saj je resničen naslednji izrek.

Izrek 1.9. Konvergenca vrst (1.50) implicira konvergenco vrst (1.49).

Dokaz. Uporabimo Cauchyjev kriterij za vrsto (tj. izrek 1.1). Dokazati je treba, da za vsako število obstaja takšno število, da za vsa števila, ki izpolnjujejo pogoj, in za vsako naravno število velja naslednja neenakost:

Popravimo katero koli. Ker vrsta (1.50) konvergira, potem po izreku 1.1 obstaja takšno število, da za vsa števila, ki izpolnjujejo pogoj, in za vsako naravno število velja naslednja neenakost:

Ker modul vsote več členov ne presega vsote njihovih modulov, potem

Če primerjamo neenačbi (1.52) in (1.53), dobimo neenačbi (1.51). Izrek je dokazan.

Definicija 2. Serija (1.49) se imenuje pogojno konvergentna, če ta vrsta konvergira, medtem ko ustrezna vrsta modulov (1.50) divergira.

Primer absolutno konvergentne vrste je vrsta.

Ta vrsta absolutno konvergira, ker ko vrsta (1.33) konvergira.

Navedimo primer pogojno konvergentne serije. Dokažimo pogojno konvergenco vrste

Ker se ustrezna serija modulov (harmonična serija), kot že vemo, razhaja, je za dokazovanje pogojne konvergence serije (1.54) dovolj dokazati, da ta serija konvergira. Dokažimo, da vrsta (1.54) konvergira k številu . V odstavku 2 § 9 pogl. 6 del 1 smo dobili razgradnjo po Maclaurinovi formuli funkcije

Tam smo za vse x iz odseka dobili naslednjo oceno preostalega člena.

z (na splošno) kompleksnimi izrazi, za katere vrsta konvergira

Za absolutno konvergenco vrste (1) je nujno in zadostno (Cauchyjev kriterij za absolutno konvergenco vrste), da za vsako obstaja takšno število, da za vsa števila in vsa cela števila velja:

Če je vrsta absolutno konvergentna, potem konvergira. Vrsti

absolutno konvergira in vrstico

konvergira, vendar ne popolnoma. Pustiti

Niz, sestavljen iz istih členov kot niz (1), vendar na splošno gledano v drugačnem vrstnem redu. Iz absolutne konvergence vrst (1) sledi, da absolutna serija(3) in niz (3) ima enako vsoto kot niz (1). Če vrstice

absolutno konvergirajo, torej: vsaka njihova linearna kombinacija

tudi absolutno konvergira; niz, dobljen iz vseh možnih parnih zmnožkov členov teh nizov, urejenih v poljubnem vrstnem redu, je prav tako absolutno konvergenten in je njegova vsota enaka produktu vsot teh nizov. Naštete lastnosti absolutno konvergentnih vrst se prenesejo na več vrstic

absolutno konvergira, to pomeni, da vse vrste, dobljene z zaporednim seštevanjem članov serije (4) z indeksi, absolutno konvergirajo, vsote več serij (4) in ponovljenih serij (5) pa so enake in sovpadajo z vsoto katere koli posamezne serije, ki nastane iz vseh članov serije (4 ).

Če so členi niza (1) elementi nekega Banachovega prostora z normo elementov, se imenuje niz (1). absolutno konvergentna, če serija konvergira

V primeru A. s. R. elementov Banachovega prostora so posplošene zgoraj obravnavane lastnosti absolutno konvergentnih številskih nizov, zlasti algebraičnih sistemov. R. elementov Banachovega prostora konvergira v tem prostoru. Na podoben način je koncept A. s. R. prenese na več serij v Banachovem prostoru.

Matematična enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Poglejte, kaj je "ABSOLUTNO KONVERGENTNA NIZA" v drugih slovarjih:

Funkcionalna serija (1) s (na splošno) kompleksnimi členi, ki konvergirajo na množici X in taka, da za vsako e>0 obstaja število ne, da za vse n>ne in vse neenakosti, kjer in Z drugimi besedami, a zaporedje delnih ... ... Matematična enciklopedija

Vsebina. 1) Opredelitev. 2) Število, ki ga določa niz. 3) Konvergenca in divergenca vrst. 4) Pogojna in absolutna konvergenca. 5) Enakomerna konvergenca. 6) Razširitev funkcij v serije. 1. Definicije. R. je zaporedje elementov ... ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Ephron

Neskončna vsota, zaporedje elementov (imenovanih člani dane serije) določene linearne topologije. prostor in določeno neskončno množico njihovih končnih vsot (imenovanih delne vsote sveta... ... Matematična enciklopedija

Niz, neskončna vsota, na primer oblike u1 + u2 + u3 +... + un +... ali na kratko . (1) Eden najpreprostejših primerov zaporedja, ki ga najdemo že v osnovni matematiki, je vsota neskončno padajoče geometrijske progresije 1 + q + q 2 +... + q... ...

I je neskončna vsota, na primer v obliki u1 + u2 + u3 +... + un +... ali na kratko Eden najpreprostejših primerov vsote, ki ga najdemo že v osnovni matematiki, je neskončno padajoča vsota..... Velika sovjetska enciklopedija

Zaporedje funkcij, ki v neosenčenem območju konvergirajo k naravnemu logaritmu (rdeče). IN v tem primeru je N-ta delna vsota potenčne vrste, kjer N označuje število členov. Funkcionalna serija ... Wikipedia

S je večkratni niz, izraz oblike, sestavljen iz članov tabele, vsak člen te tabele je oštevilčen z indeksi m, n, . . . , p, ki tečejo skozi vsa naravna števila neodvisno drug od drugega. Teorija K. r. podobno kot pri teoriji dvojnih serij. Poglej tudi… … Matematična enciklopedija

Niz kosinusov in sinusov več lokov, tj. niz oblike ali in kompleksna oblika kjer se imenujejo ak, bk oziroma ck. koeficienti T.r Prvič je T. r. najdemo pri L. Eulerju (L. Euler, 1744). Prejel je razgradnje v žveplu. 18. stoletje v povezavi z... ... Matematična enciklopedija

Niz kjer so funkcije, ki so holomorfne v nekem območju neodvisno od k. Če je za vse, potem se imenuje niz (*). blizu Hartogse. Vsako funkcijo, ki je holomorfna v Hartogsovi domeni tipa D, je mogoče razstaviti na absolutno in enakomerno konvergentno funkcijo znotraj DG. L.r. V celoti... ... Matematična enciklopedija

Primer 2.

Razišči, ali vrsta konvergira.

Zaradi

Nato se serija konvergira.

Integralni konvergenčni test

Integralni kriterij za konvergenco je izražen z naslednjim izrekom

Izrek 1.8.

Glede na serijo s pozitivnimi pogoji

Če je pri funkciji zvezna, pozitivna in ne narašča, v točkah pa prevzame vrednosti, potem serija(1.23) in nepravilni integral(1.24) konvergirajo ali razhajajo hkrati.

Dokaz.

če , pa kje

;

Če integral (1.24) konvergira in , To s katerim koli naravnim torej

.

Ker je zaporedje monotono naraščajoče in omejeno, potem obstaja, tj. vrsta (1.23) tudi konvergira. Če vrsta (1.23) konvergira in , potem za katero koli .

Iz enakosti (1.26) sledi, da pri katerem koli. Tudi nepravilni integral konvergira.

Z uporabo integralnega testa lahko dokažemo, da serija

(1.27)

kjer je poljubno realno število, konvergira pri in divergira pri .

Dejansko konvergira pri in razhaja pri .

Izmenične vrste. Leibnizov test

Izmenično naslednja je vrsta, ki ima poljubna dva člena s številkami in imajo nasprotna predznaka, tj. serija obrazca

(1.30)

Dokaz.

Oglejmo si delne vsote serije (1.28) s sodimi in lihimi števili:

Pretvorimo prvo od teh vsot:

Zaradi pogoja (1.29) je razlika v vsakem oklepaju pozitivna, torej vsota in za vsakogar. Torej je zaporedje sodih delnih vsot monotono naraščajoče in omejeno. Ima mejo, ki jo označimo z , tj. . Zaradi , potem ob upoštevanju prejšnje enakosti in pogoja (1.30) dobimo

Torej ima zaporedje delnih vsot dane serije s sodimi in lihimi števili enako mejo. Iz tega sledi, da ima zaporedje vseh delnih vsot niza mejo; tiste. serija konvergira.

Primer.

Razišči, ali niz konvergira

(1.31)

Ta serija je izmenična. Konvergira, ker izpolnjuje pogoje iz izreka

Ocena za preostanek izmeničnega niza je določena z uporabo naslednjega izreka.

Izrek 1.10.

Vsota ostanka izmeničnega niza, ki izpolnjuje pogoje Leibnizovega izreka, ima predznak prvega preostalega člena in ga ne presega v absolutni vrednosti.

Dokaz.

Oglejmo si preostanek serije (1.28) po členih. Naj njegova vsota, -i delna vsota, tedaj

Ker so pogoji iz izreka 1.9 izpolnjeni, torej pred vsemi, tj. , kje

oz

Podobno je dokazano, da vsota preostanka niza po členih izpolnjuje pogoje , tj. in .

Torej ne glede na sodo ali liho

Razmislite o seriji, sestavljeni iz modulov članov te serije:

(1.34)

Izrek 1.11.

Če vrstica(1.34) konvergira, potem serija konvergira(1.33).

Dokaz.

Ker vrsta (1.34) konvergira, potem na podlagi Cauchyjevega kriterija (izrek 1.1) za vsako obstaja takšno število , potem za vse in vsako celo število velja neenakost

.

to. To pomeni, da tudi vrsta (1.33) konvergira.

Komentiraj.

Konvergenca vrst (1.33) ne pomeni konvergence vrst (1.34). Na primer serija konvergira (glej razdelek 1.6), niz modulov njegovih članov pa divergira (harmonični niz, glej razdelek 1.2).

popolnoma konvergentno,če niz modulov njegovih členov konvergira. Na primer serija

je absolutno konvergenten, saj serija modulov njegovih členov konvergira, tj. vrsta (geometrijska progresija z imenovalcem , ).

Imenuje se izmenična serija neabsolutno konvergentno (pogojno konvergentno),če konvergira, vendar se niz modulov njegovih članov razhaja. Na primer, serija ni absolutno konvergentna (glej opombo).

Dejanja na vrsticah.

Izdelek serije

Izrek 1.12.

Če vrstica(1.35) konvergira, potem serija(1.36) tudi konvergira in

(1.37)

Dokaz.

Z u - e označimo delne vsote vrst (1.35) in (1.36), tj.

Očitno,. Če niz (1.35) konvergira in je njegova vsota enaka , tj. , , To

Poleg serije (1.35) upoštevajte serijo

prav tako konvergira absolutno in je njegova vsota enaka

Komentiraj.

Pravila za delovanje s serijami ne sovpadajo vedno s pravili za delovanje s končnimi vsotami. Zlasti pri končnih vsotah lahko poljubno spreminjate vrstni red členov, združujete člene, kakor želite, in vsota se ne bo spremenila. Člene končne vsote je mogoče sešteti v obratnem vrstnem redu, kar za vrsto ni mogoče, ker nima zadnjega člena.

Članov ni vedno mogoče združiti v niz. Na primer serija

je različna, ker

in ni omejitev za njegove delne zneske. Po združevanju članov

dobimo konvergentno vrsto, njena vsota je nič. Z drugačno skupino članov

dobimo konvergentno vrsto, katere vsota je enaka ena.

Predstavljamo dva izreka brez dokaza.

Izrek 1.14.

Preureditev členov absolutno konvergentne vrste ne poruši njene konvergence; vsota serije ostane enaka.

Izrek 1.15.

Če vrsta ne konvergira absolutno, potem je s pravilno preureditvijo njenih členov vedno mogoče dati vsoti vrste poljubno vrednost in celo narediti vrsto divergentno.