Spojitá náhodná premenná má exponenciálny (exponenciálny )distribučný zákon s parametrom, ak jeho hustota pravdepodobnosti má tvar:

(12.1)

Tu je konštantná kladná hodnota. To. exponenciálne rozdelenie je určené jedným kladným parametrom ... Nájdite kumulatívnu funkciu exponenciálneho rozdelenia:

(12.3)

Ryža. 12.1. Funkcia diferenciálneho exponenciálneho rozdelenia ()

Ryža. 12.2. Kumulatívna funkcia exponenciálneho rozdelenia ()

Numerické charakteristiky exponenciálneho rozdelenia

Vypočítajme matematické očakávanie a rozptyl exponenciálneho rozdelenia:

Na výpočet rozptylu použijeme jednu z jeho vlastností:

Pretože , potom zostáva vypočítať:

Nahradením (12.6) za (12.5) nakoniec dostaneme:

(12.7)

Pre náhodnú premennú distribuovanú podľa exponenciálneho zákona sa matematické očakávanie rovná štandardnej odchýlke.

Príklad 1 Napíšte diferenciálne a kumulatívne funkcie exponenciálneho rozdelenia, ak je parameter.

Riešenie... a) Distribučná hustota má tvar:

b) Zodpovedajúca integrálna funkcia sa rovná:

Príklad 2 Nájdite pravdepodobnosť dosiahnutia daného intervalu pre SV, rozloženú podľa exponenciálneho zákona

Riešenie... Poďme nájsť riešenie, pamätajúc na to:. Teraz, berúc do úvahy (12.3), dostaneme:

Funkcia spoľahlivosti

Zariadenie nazvime prvkom bez ohľadu na to, či je „jednoduché“ alebo „komplexné“. Nechajte prvok okamžite začať pracovať a po uplynutí doby trvania dôjde k poruche. Označme spojitým SV - trvanie uptime prvku. Ak bude prvok fungovať bez poruchy (kým nedôjde k poruche) po dobu kratšiu ako, potom počas trvania dôjde k poruche. teda pravdepodobnosť zlyhania v priebehu času je trvanie určené integrálnou funkciou:

. (12.8)

Potom sa pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky za rovnaký čas trvania rovná pravdepodobnosti opačnej udalosti, t.j.

Funkcia spoľahlivostisa nazýva funkcia, ktorá určuje pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky prvku počas určitého časového obdobia.

Trvanie prevádzkyschopnosti prvku má často exponenciálne rozdelenie, ktorého integrálnou funkciou je:

. (12.10)

Potom v prípade exponenciálneho rozdelenia doby prevádzky prvku a pri zohľadnení (12.9) sa funkcia spoľahlivosti bude rovnať:

. (12.11)

Príklad 3 Doba prevádzkyschopnosti prvku je rozdelená podľa exponenciálneho zákona o (čas v hodinách). Nájdite pravdepodobnosť, že prvok bude fungovať 100 hodín bez poruchy.

Riešenie... V našom príklade potom použijeme (12.11):

Exponenciálny zákon spoľahlivosti je veľmi jednoduchý a vhodný na riešenie praktických problémov. Tento zákon má tieto dôležité vlastnosti:

Pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky prvku v časovom intervale trvania nezávisí od času predchádzajúcej prevádzky pred začiatkom uvažovaného intervalu, ale závisí len od doby trvania(pri danej poruchovosti).

Dokážme túto vlastnosť zavedením nasledujúceho zápisu:

bezporuchová prevádzka prvku v intervale trvania;

Potom sa stane, že prvok funguje bezchybne počas určitého intervalu trvania. Nájdite pravdepodobnosti týchto udalostí pomocou vzorca (12.11), za predpokladu, že doba prevádzky prvku podlieha exponenciálnemu zákonu:

Nájdite podmienenú pravdepodobnosť, že prvok bude fungovať bezchybne na časovom intervale za predpokladu, že už bezchybne fungoval v predchádzajúcom časovom intervale:

(12.13)

Vidíme, že výsledný vzorec nezávisí od, ale iba od. Porovnaním (12.12) a (12.13) môžeme dospieť k záveru, že podmienená pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky prvku v intervale trvania, vypočítaná za predpokladu, že prvok v predchádzajúcom intervale pracoval bez poruchy, sa rovná bezpodmienečná pravdepodobnosť.

Takže v prípade exponenciálneho zákona spoľahlivosti bezporuchová prevádzka prvku „v minulosti“ neovplyvňuje hodnotu pravdepodobnosti jeho bezporuchovej prevádzky „v blízkej budúcnosti“.

Kombinatorické prvky

Priestor elementárnych udalostí. Náhodné udalosti.

Pravdepodobnosť

Moderný koncept pravdepodobnosti

Klasická pravdepodobnostná schéma

Geometrické pravdepodobnosti

Zákon sčítania pravdepodobností

Veta o násobení pravdepodobnosti

Vzorec úplnej pravdepodobnosti

Dohadná veta. Bayesov vzorec.

Opakovanie testov. Bernoulliho schéma.

Miestna Moivre-Laplaceova veta

Integrálna de Moivre-Laplaceova veta

Poissonova veta (zákon o zriedkavých udalostiach)

Náhodné premenné

Distribučné funkcie

Spojitá náhodná veličina a hustota distribúcie

Základné vlastnosti distribučnej hustoty

Numerické charakteristiky jednorozmernej náhodnej premennej

Vlastnosti matematického očakávania

Okamihy náhodnej premennej

Disperzné vlastnosti

Asymetria a špičatosť

Viacrozmerné náhodné premenné

Vlastnosti dvojrozmernej distribučnej funkcie

Hustota pravdepodobnosti dvojrozmernej náhodnej premennej

Buffonov problém

Hustota podmieneného rozdelenia

Numerické charakteristiky sústavy náhodných veličín

Vlastnosti korelačného koeficientu

Zákon normálneho (Gaussovho) rozdelenia

Pravdepodobnosť dosiahnutia intervalu

Vlastnosti funkcie normálneho rozdelenia

Distribúcia (chí-kvadrát)

Zákon o exponenciálnom (exponenciálnom) rozdelení

Numerické charakteristiky exponenciálneho rozdelenia

Funkcia spoľahlivosti

Spojitá náhodná premenná $ X $ sa riadi exponenciálnym (exponenciálnym) rozdelením pravdepodobnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti $ f \ vľavo (x \ vpravo) $ má nasledujúci tvar:

$$ f (x) = \ vľavo \ (\ začiatok (matica)
0, \ x< 0\\
\ lambda e ^ (- \ lambda x), \ x \ ge 0
\ koniec (matica) \ vpravo .. $$

Potom distribučná funkcia:

$$ F (x) = \ vľavo \ (\ začiatok (matica)
0, \ x< 0\\
1-e ^ (- \ lambda x), \ x \ ge 0
\ koniec (matica) \ vpravo. $$

Grafy funkcií hustoty $ f \ vľavo (x \ vpravo) $ a rozdelenia $ F \ vľavo (x \ vpravo) $ sú znázornené na obrázku:

Pre zákon exponenciálneho rozdelenia možno číselné charakteristiky vypočítať pomocou známych vzorcov. Očakávaná hodnota a smerodajná odchýlka sa navzájom rovnajú a rovnajú sa $ 1 / \ lambda $, to znamená:

$$ M \ vľavo (X \ vpravo) = \ sigma \ vľavo (X \ vpravo) = ((1) \ cez (\ lambda)). $$

Disperzia:

$$ D \ vľavo (X \ vpravo) = ((1) \ cez ((\ lambda) ^ 2)). $$

Distribučný parameter $ \ lambda $ v štatistickom zmysle charakterizuje priemerný počet udalostí vyskytujúcich sa za jednotku času. Ak je teda priemerná doba prevádzky zariadenia $ 1 / \ lambda $, parameter $ \ lambda $ bude charakterizovať priemerný počet porúch za jednotku času. Príklady náhodných premenných podliehajúcich zákonu exponenciálneho rozdelenia môžu byť:

• Trvanie telefonického rozhovoru;
• Čas strávený na zákazníckom servise;
• Obdobie prevádzky zariadenia medzi poruchami;
• Časové intervaly medzi objavením sa áut na čerpacej stanici.

Príklad ... Náhodná premenná $ X $ je exponenciálne rozdelená $ f \ vľavo (x \ vpravo) = \ vľavo \ (\ begin (matica)
0, \ x< 0\\
5e ^ (- 5x), \ x \ ge 0
\ koniec (matica) \ vpravo. $. Potom očakávanie $ = $ štandardná odchýlka $ \ sigma (X) = 1 / \ lambda = 1/5 = 0,2 $, rozptyl $ D (X) = 1 / (\ lambda) ^ 2 = 1/25 = 0, 04 $

Príklad ... Prevádzkový čas zariadenia je náhodná premenná $ X $, ktorá podlieha exponenciálnej distribúcii. Je známe, že priemerná prevádzková doba tohto zariadenia je 500 $ hodín. Aká je pravdepodobnosť, že toto zariadenie bude fungovať aspoň 600 $ hodín?

Matematické očakávanie náhodnej premennej $ X $ je $ M \ vľavo (X \ vpravo) = 500 = 1 / \ lambda $, teda distribučný parameter $ \ lambda = 1/500 = 0,002 $ Môžeme napísať distribučnú funkciu :

$$ F (x) = \ vľavo \ (\ začiatok (matica)
0, \ x< 0\\
1-e ^ (- \ lambda x) = 1-e ^ (- 0,002x), \ x \ ge 0
\ koniec (matica) \ vpravo. $$

Potom pravdepodobnosť, že zariadenie bude pracovať menej ako 600 $ hodín, je:

$$ P \ vľavo (X \ ge 600 \ vpravo) = 1-P \ vľavo (X< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$

Pre základné faktory prepojíme faktory 1 až 7 s faktormi z časti VI. 3 v poradí, v akom sú zapísané, to znamená, že faktor 1 je skrátenie, faktor 2 je symetria atď. Potom prepojíme úrovne + a - faktorov v tabuľke. 4 s dvomi úrovňami faktorov VI. 3 náhodne. Toto náhodné poradie bolo dosiahnuté použitím tabuľky náhodných čísel a porovnaním týchto čísel s 1/2. Výsledky tohto postupu sú uvedené v tabuľke. 5. Kombinovanie tabuľky. 4 a 5 uvádza plán v počiatočných faktoroch uvedených v tabuľke. 6, kde A1, (i = 1, ..., 4) označujú neznáme náhodné premenné s exponenciálnym rozložením s parametrom br - b. Ako príklad zvážte kombináciu 1 v tabuľke. 6. Faktory 1 a 2 sú v tabuľke na úrovni +. 4. Následne z tabuľky. 5 musíme vziať skrátenú, šikmú distribúciu s chvostmi nahor. Tabuľka 1 vidíme, že toto rozdelenie je exponenciálne rozdelenie náhodnej premennej x. Faktor 6 je na úrovni

V našom prípade objektívne dôvody technologických produktov neumožňujú použiť tieto distribučné zákony. Po prvé, podmienkou na získanie normálneho zákona je spoločné pôsobenie mnohých náhodných faktorov, z ktorých žiadny nie je dominantný. Nezodpovedá to prevádzkovým podmienkam a odmietaniu produktov na technologické účely, kde sa nevyhnutne objavujú dominantné faktory. Po druhé, exponenciálny zákon vyžaduje podmienky obyčajnosti, stacionárnosti a následného účinku, ktoré tieto produkty často nespĺňajú. Najmä tok porúch nemožno považovať za stacionárny vzhľadom na jeho pravdepodobnostný režim meniaci sa v čase.

Takéto informácie odrážajú prevládajúce podmienky výrobných procesov, a preto sú vzorkou bežnej populácie. Na základe zákona veľkých čísel možno tvrdiť, že ak sa všeobecná populácia riadi určitým distribučným zákonom, potom vzorka z tejto populácie s jej dostatočne veľkým objemom bude dodržiavať tento zákon. Tento zákon je najčastejšie neznámy a jeho definícia spôsobuje značné ťažkosti. V takýchto prípadoch sa uprednostňujú známe distribučné zákony, najčastejšie exponenciálne a normálne.

Slovom náhodne budeme chápať, že pravdepodobnosť, že na čerpaciu stanicu príde v akomkoľvek malom časovom intervale jediné auto, ktoré začína v ľubovoľnom časovom okamihu / a má dĺžku m až po zanedbateľné hodnoty, je s určitou úmernosťou úmerné m. koeficient X> 0. Hodnotu K môžeme interpretovať ako priemerný počet áut, ktoré sa objavia na stanici za jednotku času, a jeho prevrátenú hodnotu 1L ako priemerný čas objavenia sa jedného auta. Pravdepodobnosť, že v tomto časovom úseku nepríde žiadne auto, sa považuje za približne rovnú 1 - m a pravdepodobnosť príchodu dvoch a viacerých áut je v porovnaní s hodnotou Yal zanedbateľná. Z uvedených predpokladov možno vyvodiť nasledujúce závery. Po prvé, časové intervaly / medzi dvoma po sebe nasledujúcimi príjazdmi áut spĺňajú exponenciálne rozdelenie

Straty vznikajúce prevádzkou automatizačných zariadení počas tohto obdobia je možné vypočítať na základe použitia teórie spoľahlivosti, podľa ktorej sú náhle poruchy definované ako porucha systému v dôsledku výskytu nepredvídaných, náhlych koncentrácií vonkajších zaťažení a vnútorných napätí presahujúcich vypočítanú hodnotu. tie. Ak sú niektoré prvky a spoje vyrobené alebo opravené zle, potom pri nižšom zaťažení zlyhajú. Poruchy chybných prvkov sú preto rozložené exponenciálne (uvažuje sa Poissonov charakter rozloženia náhlych porúch), pričom priemerná prevádzková doba je niekoľkonásobne kratšia ako pri iných prvkoch.

Exponenciálne rozdelenie. Toto rozloženie sa spravidla riadi prevádzkovým časom náhlych porúch (t.j. porúch spôsobených skrytými technologickými chybami) a rozdelením času medzi dvoma po sebe nasledujúcimi poruchami, ak produkty fungujú v ustálenom stave.

Uvažujme prípad, keď je skúmaný parameter rozložený exponenciálne.

Ya.B. Shor uvádza nasledujúci vzorec na určenie intervalu spoľahlivosti pre všeobecný priemer v prípade exponenciálneho rozdelenia náhodnej premennej

Napriek zdanlivej jednoduchosti podmienok, za ktorých bol posledný výraz získaný, teoreticky pre množstvo zaujímavých prípadov, sa ukázali ako neuskutočniteľné. To sa stane, keď sa derivácia g (x) v bode x = v stane nekonečnom. Ide najmä o obojstranné exponenciálne rozdelenie, s ktorým sme sa už stretli v príkladoch 2 a 3 z. V jednej verzii konštrukcie optimálne

V tejto kapitole sa budeme zaoberať najbežnejšími zákonmi rozdelenia náhodných veličín, ako aj hlavnými parametrami týchto zákonov. Budú uvedené metódy na nájdenie funkcie rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej v prípade neintegrovateľnej hustoty pravdepodobnosti, ako aj algoritmy na získanie postupností náhodných veličín s ľubovoľným zákonom rozdelenia, ktoré sú potrebné pri simulácii náhodných procesov. Osobitná pozornosť dostane zovšeobecnené exponenciálne rozdelenie, ktoré je najvhodnejšie na štúdium oceňovania aktív.

Jedno z najdôležitejších rozdelení nájdených v štatistike je normálne rozdelenie (Gaussovo rozdelenie), ktoré patrí do triedy exponenciálnych. Hustota pravdepodobnosti tohto rozdelenia je

Ďalším typom exponenciálneho rozdelenia, spolu s normálnym, je Laplaceovo rozdelenie, ktorého hustota je vyjadrená vzorcom

Zovšeobecnené exponenciálne rozdelenie.

Predtým v tejto kapitole sme uvažovali o dvoch typoch exponenciálnych rozdelení Gaussa a Laplacea. Majú veľa spoločného, ​​sú symetrické, závisia od dvoch parametrov (//, s),

V VI. 2 stručne popisujeme MMD a účel experimentu, t. j. štúdium citlivosti MMD na narušenie jej priestorov. V VI.3 budeme diskutovať podrobne rôznych faktorov ktoré môžu ovplyvniť túto citlivosť. Abnormality rozdelenia definujeme ako faktor 1. Tento faktor popisuje možnosť alebo nemožnosť, aby sa náhodné premenné stali menšími ako daná konštanta (tzv. skrátený distribučný faktor), asymetriu a chvosty rozdelenia, vezmeme faktor 2. Kombináciou faktorov 1 a 2 vyberáme štyri typy rozdelení (exponenciálne , Erlangovo, vážený rozdiel dvoch náhodných premenných s exponenciálnym rozdelením a súčet rozdielov náhodných premenných s exponenciálnym rozdelením). Heterogenita rozptylu sa označí ako faktor 3. To znamená, že rozptyl najlepšej populácie (afki) môže byť väčší alebo menší ako rozptyl konkurenčnej najhoršej populácie (v najmenej priaznivej situácii). Faktor 4 meria, či sa tieto dva rozptyly veľmi líšia alebo nie vôbec. Faktor 5 udáva, či sú rozptyly najhorších populácií (v najmenej priaznivej situácii) rovnaké alebo sú všetky odlišné. Faktor 6 určuje počet populácií (tri alebo sedem), faktor 7 určuje vzdialenosť 8 = 6 medzi najlepšou a ďalšou populáciou v najmenej priaznivej situácii. Faktor P, zaručujúci minimálnu hodnotu pravdepodobnosti správna voľba zvážiť

Takéto informácie sú vzorkou bežnej populácie, ktorá má určitý distribučný zákon. Tento zákon je častejšie neznámy a jeho definícia spôsobuje konštruktívne ťažkosti. V takýchto prípadoch sa uprednostňujú x> oso známych distribučných zákonov, najčastejšie - exponenciálne a normálne.

distribučných zákonov. Najmä pre b = 1 sa zmení na exponenciálny zákon, pre b = 2 - na Rayleighov zákon, s b = 3,25 - je blízko normálu. Táto okolnosť umožňuje použiť jeden a ten istý matematický aparát pri štúdiu najrozmanitejších tokov porúch produktov. Navyše toto

V mnohých štúdiách sa tvrdí, že pre poruchy technických výrobkov v dôsledku opotrebovania, únavy, korózie a starnutia bude celkom vyhovujúci zákon normálneho alebo logaritmicky normálneho rozdelenia, zatiaľ čo v prípade náhlych porúch spôsobených náhodným preťažením, nehodami , atď., je vhodný exponenciálny zákon.distribučný zákon.

Univerzálnosť tohto zákona sa vysvetľuje skutočnosťou, že pre rôzne hodnoty parametra b sa približuje k niekoľkým distribučným zákonom. Najmä, keď b = sa zmení na exponenciálny zákon, keď 6 = 2 - na Rayleighov zákon, keď b = 3,25 - je blízko normálu.

V tomto príklade sme uvažovali o najjednoduchšom prípade Poissonovho vstupného toku, exponenciálneho servisného času, inštalácie jedného servera. V skutočnosti sú v skutočnosti rozvody oveľa komplikovanejšie a čerpacie stanice zahŕňajú väčší počet čerpacích staníc. Aby sa zjednodušila klasifikácia systémov radenia, americký matematik D. Kendall navrhol pohodlný systém zápisov, ktorý sa už rozšíril. Kendall označil typ systému radenia pomocou troch symbolov, z ktorých prvý popisuje typ vstupného toku, druhý - typ pravdepodobnostného popisu systému služieb a tretí - počet obslužných zariadení. Symbol M označoval Poissonovo rozdelenie vstupného toku (s exponenciálnym rozložením intervalov medzi nárokmi), rovnaký symbol bol použitý pre exponenciálne rozdelenie trvania služby. Systém radenia opísaný a študovaný v tejto časti má teda označenie M / M / 1. Systém M / G / 3 napríklad znamená systém s Poissonovým vstupným tokom, všeobecnou (v angličtine - general) funkciou distribúcie času služieb a tromi servermi. Existujú aj iné zápisy: D je deterministické rozdelenie intervalov medzi nárokmi alebo trvanie služby, E je Erlangovo rozdelenie rádu n atď.

Na základe tu načrtnutých metód na zostavenie postupností náhodných čísel s rôznym rozdelením je možné zostaviť procedúry randl a rand2, ktoré boli použité v programe Algol na výpočty na modeli čerpacej stanice. Ak majú použité náhodné intervaly medzi autami a trvanie servisu exponenciálne rozdelenie, potom je lepšie použiť metódu inverzných funkcií a ak existuje nejaké empirické rozdelenie, potom metódu založenú na ukladaní diskrétnych hodnôt do počítača. RAM.

Prejdime k popisu času autoservisu. Keďže vodiči berú rôzne množstvá benzínu a líšia sa zručnosťami, servisný čas možno len ťažko považovať za konštantný. Pravdepodobnosť, že servis auta, ktoré je v každom okamihu t na čerpacej stanici, bude ukončený v malom intervale U, f + rJ, je približne rovná JLIT, kde u> 0. Pravdepodobnosť, že servis sa počas tejto doby neskončí sa považuje za približne rovný 1 - ct a pravdepodobnosť, že služba bude dokončená, je. vaňa dvoch a viacerých áut - zanedbateľná hodnota. Potom

kde λ Je konštantná kladná hodnota.

Z výrazu (3.1) vyplýva, že exponenciálne rozdelenie je určené jedným parametrom λ.

Táto vlastnosť exponenciálneho rozdelenia poukazuje na jeho výhodu oproti distribúciám , v závislosti od väčšieho počtu parametrov. Parametre sú zvyčajne neznáme a musíme nájsť ich odhady (približné hodnoty), samozrejme, je jednoduchšie odhadnúť jeden parameter ako dva alebo tri atď. . Príklad spojitej náhodnej premennej rozloženej podľa exponenciálneho zákona , môže slúžiť čas medzi výskytmi dvoch po sebe nasledujúcich udalostí najjednoduchšieho toku.

Nájdite distribučnú funkciu exponenciálneho zákona .

tak

Grafy hustoty a distribučnej funkcie exponenciálneho zákona sú znázornené na obr. 3.1.

Zvažujem to dostaneme:

Hodnoty funkcií nájdete v tabuľke.

Numerické charakteristiky exponenciálneho rozdelenia

Nech je spojitá náhodná premennáΧ rozdelené podľa exponenciálneho zákona

Nájdite očakávanú hodnotu , pomocou vzorca na jej výpočet pre spojitú náhodnú premennú:

teda:

Nájdite smerodajnú odchýlku , pre ktorú extrahujeme druhú odmocninu rozptylu:

Pri porovnaní (3.4), (3.5) a (3.6) to vidíme

t.j.matematické očakávanie a smerodajná odchýlka exponenciálneho rozdelenia sa navzájom rovnajú.

Exponenciálne rozdelenie je široko používané v rôznych aplikáciách finančných a technických problémov, napríklad v teórii spoľahlivosti.

4. Chí-kvadrát rozdelenie a Studentovo t-rozdelenie.

4.1 Chí-kvadrát rozdelenie (- distribúcia)

Nech Χ i (ί = 1, 2, ..., n) sú normálne nezávislé náhodné premenné a matematické očakávanie každého z nich je rovné nule , a smerodajná odchýlka - jednotka .

Potom súčet druhých mocnín týchto veličín

distribuované podľa zákonasstupne slobody , ak sú tieto veličiny spojené napríklad jedným lineárnym vzťahom, potom počtom stupňov voľnosti

Rozdelenie chí-kvadrát je široko používané v matematickej štatistike.

Hustota tohto rozdelenia

kde je najmä funkcia gama.

To ukazuje, že rozdelenie chí-kvadrát je určené jedným parametrom - počet stupňov voľnostik.

So zvyšujúcim sa počtom stupňov voľnosti sa rozdelenie chí-kvadrát pomaly blíži k normálu.

Rozdelenie chí-kvadrát získame, ak vezmeme do úvahy Erlangov zákon rozdelenia λ = ½ a k = n /2 – 1.

Matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej s chí-kvadrát distribúciou, sú určené jednoduchými vzorcami, ktoré uvádzame bez odvodenia:

Zo vzorca vyplýva, že prichí-kvadrát rozdelenie sa zhoduje s exponenciálnym rozdelením atλ = ½ .

Funkcia kumulatívneho rozdelenia pre rozdelenie chí-kvadrát je určená špeciálnymi neúplnými tabuľkovými funkciami gama

Obrázok 4.1. sú dané grafy hustoty pravdepodobnosti a distribučnej funkcie náhodnej premennej, ktorá má chí-kvadrát rozdelenie pre n = 4, 6, 10.

Obrázok 4.1. a ) Grafy hustoty pravdepodobnosti pre rozdelenie chí-kvadrát

Obrázok 4.1. b) Grafy distribučnej funkcie pre chí-kvadrát rozdelenie

4.2 Rozdelenie študentov

Nech Z je normálna náhodná premenná a

a V Je množstvo nezávislé od Z, ktoré je rozdelené podľa zákona chí-kvadrát sk stupňa voľnosti.Potom rozsah:

má distribúciu tzvt -distribúcia alebo Študentská distribúcia (pseudonym anglického štatistika V. Gosseta),

sk = n - 1 stupeň voľnosti (n - veľkosť štatistickej vzorky pri riešení štatistických úloh).

tak , pomer normalizovanej normálnej hodnoty k druhej odmocnine nezávislej náhodnej premennej distribuovanej podľa zákona chí-kvadrát s k stupne slobody , deleno k, distribuované podľa študentského zákona s k stupne slobody.

Hustota distribúcie študenta:

Všimneme si tu základné pojmy a vzorce súvisiace s exponenciálnym rozdelením spojitej náhodnej premennej $ X $ bez toho, aby sme zachádzali do podrobností o ich odvodzovaní.

Definícia 1

Exponenciálne alebo exponenciálne rozdelenie spojitej náhodnej premennej $ X $ je rozdelenie, ktorého hustota má tvar:

Obrázok 1.

Graf exponenciálneho rozdelenia hustoty má tvar (obr. 1):

Obrázok 2. Graf hustoty exponenciálneho rozdelenia.

Funkcia exponenciálneho rozdelenia

Ako je ľahké skontrolovať, funkcia exponenciálneho rozdelenia má tvar:

Obrázok 3.

kde $ \ gama $ je kladná konštanta.

Graf funkcie exponenciálneho rozdelenia je nasledujúci:

Obrázok 4. Graf funkcie exponenciálneho rozdelenia.

Pravdepodobnosť zásahu náhodnej premennej s exponenciálnym rozložením

Pravdepodobnosť spojitej náhodnej premennej spadajúcej do intervalu $ (\ alfa, \ beta) $ s exponenciálnym rozdelením sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Očakávanie: $ M \ vľavo (X \ vpravo) = \ frac (1) (\ gama). $

Rozptyl: $ D \ vľavo (X \ vpravo) = \ frac (1) ((\ gama) ^ 2). $

Smerodajná odchýlka: $ \ sigma \ vľavo (X \ vpravo) = \ frac (1) (\ gama) $.

Príklad problému exponenciálneho rozdelenia

Príklad 1

Náhodná premenná $ X $ sa riadi zákonom exponenciálneho rozdelenia. V oblasti definície $ \ vľavo \