Tikimybė priešingybė įvykius(veikia be problemų laikui bėgant t) yra lygus R (t) = P (T> t) = 1 - F (t).

Apibrėžimas. Patikimumo funkcijaR (t) yra funkcija, kuri nustato įrenginio veikimo be gedimų tikimybę laikui bėgant t.

Dažnai ant praktika veikimo trukmei taikomas eksponentinės paskirstymo įstatymas.

Apskritai kalbėdamas, jeigu apsvarstyti naują įrenginį, tada jo veikimo pradžioje gedimo tikimybė bus didesnė, tada gedimų skaičius sumažės ir kurį laiką turės praktiškai tą pačią reikšmę. Tada (kai įrenginys baigsis naudoti) gedimų skaičius padidės.

Kiti žodžiuose, galime teigti, kad įrenginio veikimą per visą jo egzistavimą (pagal gedimų skaičių) galima apibūdinti dviejų eksponentinių dėsnių (veikimo pradžioje ir pabaigoje) ir vienodo pasiskirstymo dėsnio deriniu.

Bet kurio įrenginio, turinčio eksponentinį skirstymo dėsnį, patikimumo funkcija yra lygi:

Šis santykis vadinamas eksponentinis patikimumo dėsnis.

Svarbus turtas, kuris leidžia žymiai supaprastinti patikimumo teorijos uždavinių sprendimą, yra ta, kad prietaiso veikimo be gedimų tikimybė laiko intervalu t nepriklauso nuo ankstesnio darbo laiko iki nagrinėjamo intervalo pradžios, o priklauso tik nuo laiko trukmės t.

Taigi būdu, prietaiso veikimas be gedimų priklauso tik nuo gedimų dažnio l ir nepriklauso nuo įrenginio veikimo be gedimų praeityje.

Kadangi panašų turtą turi tik eksponentinis pasiskirstymo dėsnis, tai šis faktas leidžia nustatyti, ar atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra eksponentinis, ar ne.

2.8 Chi kvadrato skirstinys

Tegu X i (i = 1,2, ..., n)- normalūs nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, o kiekvieno iš jų matematinis lūkestis lygus nuliui, o standartinis nuokrypis lygus vienetui. Tada šių dydžių kvadratų suma

paskirstytas pagal dėsnį („Chi kvadratas“), kurio k = n laisvės laipsnių; jei šie dydžiai susieti vienu tiesiniu ryšiu, pavyzdžiui, tai laisvės laipsnių skaičius k = n-1.

Šio skirstinio tankis

kur -Gama funkcija; ypač

Iš čia tai matosi kad Chi kvadrato skirstinį lemia vienas parametras – laisvės laipsnių skaičius k. Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, pasiskirstymas pamažu artėja prie normalaus.

2.9 Studento t pasiskirstymas

Tegu Z yra normalusis atsitiktinis dydis, kur M (Z) = 0, s (Z) = 1, o V yra nuo Z nepriklausomas dydis, kuris pagal dėsnį skirstomas su k laisvės laipsnių. Tada kiekis

turi skirstinį, vadinamą t skirstiniu arba Stjudento skirstiniu, k laisvės laipsnių. Taigi normalizuotas santykis normalaus dydžioį nepriklausomo atsitiktinio dydžio kvadratinę šaknį, paskirstytą pagal dėsnį

« Chi kvadratas "su k laisvės laipsniais padalintas iš k padalytas iš k, paskirstytas pagal Stjudento dėsnį su k laisvės laipsniais. ... Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, pasiskirstymas pamažu artėja prie normalaus.

2.9 Normalaus paskirstymo dėsnis

Apibrėžimas. Normalus yra ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys, kuris apibūdinamas tikimybių tankiu

Normalus skirstymo dėsnis dar vadinamas Gauso dėsniu.

Normaliojo skirstymo dėsnis yra tikimybių teorijos pagrindas. Taip yra dėl to, kad šis dėsnis pasireiškia visais atvejais, kai atsitiktinis dydis yra didelio skaičiaus veikimo rezultatas. įvairių veiksnių... Visi kiti paskirstymo dėsniai artėja prie įprasto dėsnio.

Gali lengva Rodyti kad parametrai ir įtraukti į pasiskirstymo tankį yra atitinkamai atsitiktinio dydžio X matematinis lūkestis ir standartinis nuokrypis.

Raskite paskirstymo funkciją F (x).

Normaliojo skirstinio tankio grafikas vadinamas normaliąja kreive arba Gauso kreive.

Normali kreivė turi šias savybes:

1 ) Funkcija apibrėžta visoje skaičių ašyje.

2 ) Visiems X paskirstymo funkcija įgauna tik teigiamas reikšmes.

3 ) OX ašis yra tikimybių tankio grafiko horizontalioji asimptotė, nes su neribotu argumento absoliučios vertės padidėjimu X, funkcijos reikšmė linkusi į nulį.

4 ) Raskite funkcijos ekstremumą.

Nes adresu y '> 0 adresu x< m ir y'< 0 adresu x> m, tada taške x = t funkcijos maksimumas lygus.

5 ) Funkcija yra simetriška tiesės atžvilgiu x = a nuo skirtumas

(x - a) yra įtrauktas į kvadratinio tankio funkciją.

6 ) Norėdami rasti grafiko vingio taškus, randame antrąją tankio funkcijos išvestinę.

At x = m+ s ir x = m- s antroji išvestinė lygi nuliui, o eidama per šiuos taškus pakeičia ženklą, t.y. funkcija šiuose taškuose turi linksnį.

Nuolatinis atsitiktinis kintamasis turi eksponentinis (eksponentinis )pasiskirstymo dėsnis su parametru, jei jo tikimybės tankis turi formą:

(12.1)

Čia yra pastovi teigiama vertė. Tai. eksponentinis skirstinys nustatomas pagal vieną teigiamą parametrą ... Raskime kaupiamąją eksponentinės skirstinio funkciją:

(12.3)

Ryžiai. 12.1. Diferencialinio eksponentinės pasiskirstymo funkcija ()

Ryžiai. 12.2. Eksponentinio skirstinio kaupiamoji funkcija ()

Skaitinės eksponentinio skirstinio charakteristikos

Apskaičiuokime eksponentinio skirstinio matematinį lūkestį ir dispersiją:

Norėdami apskaičiuoti dispersiją, naudosime vieną iš jo savybių:

Nes , tada belieka apskaičiuoti:

Pakeitę (12.6) į (12.5), galiausiai gauname:

(12.7)

Atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal eksponentinį dėsnį, matematinis lūkestis yra lygus standartiniam nuokrypiui.

1 pavyzdys. Parašykite diferencialinę ir kaupiamąją eksponentinės skirstinio funkcijas, jei parametras.

Sprendimas... a) Pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

b) Atitinkama integralo funkcija yra lygi:

2 pavyzdys. Raskite tikimybę, kad SV pataikys į nurodytą intervalą, paskirstytą pagal eksponentinį dėsnį

Sprendimas... Raskime sprendimą, prisimindami tai:. Dabar, atsižvelgiant į (12.3), gauname:

Patikimumo funkcija

Įrenginį vadinkime elementu, nesvarbu, ar jis „paprastas“, ar „sudėtingas“. Tegul elementas pradeda veikti tam tikru momentu, o pasibaigus trukmei įvyksta gedimas. Pažymėkime nuolatiniu SV – elemento veikimo trukmę. Jei elementas veiks be gedimų (kol gedimas nepasireikš) trumpesnį laiką nei, vadinasi, per trukmę įvyks gedimas. Šiuo būdu, nesėkmės tikimybė laikui bėgant trukmę lemia integrali funkcija:

. (12.8)

Tada tikimybė, kad veikimas be gedimų tą pačią trukmę bus lygus priešingo įvykio tikimybei, t.y.

Patikimumo funkcijavadinama funkcija, kuri nustato elemento veikimo be gedimų tikimybę tam tikrą laiką.

Dažnai elemento veikimo trukmė turi eksponentinį pasiskirstymą, kurio integrali funkcija yra:

. (12.10)

Tada, esant eksponentiniam elemento veikimo laiko pasiskirstymui ir atsižvelgiant į (12.9), patikimumo funkcija bus lygi:

. (12.11)

3 pavyzdys. Elemento veikimo laikas paskirstomas pagal eksponentinį dėsnį (laikas valandomis). Raskite tikimybę, kad elementas veiks 100 valandų be gedimų.

Sprendimas... Mūsų pavyzdyje mes naudosime (12.11):

Eksponentinis patikimumo dėsnis yra labai paprastas ir patogus sprendžiant praktines problemas. Šis įstatymas turi tokią svarbią savybę:

Tikimybė, kad elementas veiks be gedimų per tam tikrą trukmės intervalą, nepriklauso nuo ankstesnės operacijos laiko iki nagrinėjamo intervalo pradžios, o priklauso tik nuo laiko trukmės.(esant tam tikram gedimų dažniui).

Įrodykime šią savybę įvesdami tokį užrašą:

be gedimų elemento veikimas tam tikru intervalu;

Tada elementas veikia nepriekaištingai tam tikrą laikotarpį. Raskime šių įvykių tikimybes naudodami formulę (12.11), darydami prielaidą, kad elemento veikimo laikas priklauso nuo eksponentinės dėsnio:

Raskime sąlyginę tikimybę, kad elementas veiks nepriekaištingai tam tikru laiko intervalu, jei jis jau veikė nepriekaištingai ankstesniame laiko intervale:

(12.13)

Matome, kad gauta formulė priklauso ne nuo, o tik nuo. Palyginus (12.12) ir (12.13), galime daryti išvadą, kad sąlyginė tikimybė, kad elementas veiks be gedimų per tam tikrą trukmės intervalą, apskaičiuotas darant prielaidą, kad ankstesniame intervale elementas veikė be gedimų, yra lygi besąlyginė tikimybė.

Taigi, eksponentinio patikimumo dėsnio atveju elemento be gedimų veikimas „praeityje“ neturi įtakos tikimybės, kad jis veiks be gedimų „artimiausioje ateityje“.

Kombinaciniai elementai

Elementarių įvykių erdvė. Atsitiktiniai įvykiai.

Tikimybė

Šiuolaikinė tikimybės samprata

Klasikinė tikimybinė schema

Geometrinės tikimybės

Tikimybių sudėjimo dėsnis

Tikimybių daugybos teorema

Bendrosios tikimybės formulė

Spėjimo teorema. Bayes formulė.

Testų kartojimas. Bernulli schema.

Vietinė Moivre-Laplace teorema

Integral de Moivre-Laplace teorema

Puasono teorema (retų įvykių dėsnis)

Atsitiktiniai kintamieji

Paskirstymo funkcijos

Nuolatinis atsitiktinis dydis ir pasiskirstymo tankis

Pagrindinės pasiskirstymo tankio savybės

Vienmačio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos

Matematinės lūkesčių savybės

Atsitiktinio dydžio momentai

Dispersijos savybės

Asimetrija ir kurtozė

Daugiamačiai atsitiktiniai dydžiai

Dvimatės skirstinio funkcijos savybės

Dvimačio atsitiktinio dydžio tikimybės tankis

Buffono problema

Sąlyginis pasiskirstymo tankis

Atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Koreliacijos koeficiento savybės

Normalusis (Gauso) skirstymo dėsnis

Tikimybė pasiekti intervalą

Normaliojo skirstinio funkcijos savybės

Pasiskirstymas (chi kvadratas)

Eksponentinio (eksponentinio) skirstymo dėsnis

Skaitinės eksponentinio skirstinio charakteristikos

Patikimumo funkcija

kur λ Yra pastovi teigiama reikšmė.

Iš (3.1) išraiškos matyti, kad eksponentinis skirstinys nustatomas pagal vieną parametrą λ.

Ši eksponentinio skirstinio savybė rodo į jo pranašumas prieš paskirstymus , priklausomai nuo didesnio parametrų skaičiaus. Parametrai dažniausiai nežinomi ir, žinoma, turime rasti jų įvertinimus (apytiksles reikšmes), lengviau įvertinti vieną parametrą nei du ar tris ir pan. . Tolydinio atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal eksponentinį dėsnį, pavyzdys , gali pasitarnauti laikas tarp dviejų iš eilės vykstančių paprasčiausio srauto įvykių.

Raskime eksponentinio dėsnio pasiskirstymo funkciją .

taip

Eksponentinio dėsnio tankio ir pasiskirstymo funkcijos grafikai parodyti fig. 3.1.

Atsižvelgiant į tai mes gauname:

Funkcijų reikšmes galima rasti lentelėje.

Skaitinės eksponentinio skirstinio charakteristikos

Tegu nuolatinis atsitiktinis dydisΧ paskirstytas pagal eksponentinį dėsnį

Raskite numatomą vertę , naudojant nuolatinio atsitiktinio dydžio skaičiavimo formulę:

Taigi:

Raskite standartinį nuokrypį , kurio dispersijos kvadratinę šaknį išskiriame:

Palyginus (3.4), (3.5) ir (3.6), matome, kad

t.y.matematinis lūkestis ir eksponentinio skirstinio standartinis nuokrypis yra lygūs vienas kitam.

Eksponentinis pasiskirstymas plačiai naudojamas įvairioms finansinėms ir techninėms problemoms spręsti, pavyzdžiui, patikimumo teorijoje.

4. Chi kvadrato skirstinys ir Stjudento t skirstinys.

4.1 Chi kvadrato skirstinys (- platinimas)

Tegul Χ i (ί = 1, 2, ..., n) yra normalūs nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai , ir kiekvieno iš jų matematinis lūkestis lygus nuliui , a standartinis nuokrypis - vienetas .

Tada šių dydžių kvadratų suma

platinamas pagal įstatymąSulaisvės laipsniai , jei šie dydžiai yra susieti, pavyzdžiui, vienu tiesiniu ryšiu, tada laisvės laipsnių skaičius

Chi kvadrato skirstinys plačiai naudojamas matematinėje statistikoje.

Šio skirstinio tankis

kur konkrečiai yra gama funkcija.

Tai rodo, kad chi kvadrato skirstinį lemia vienas parametras - laisvės laipsnių skaičiusk.

Didėjant laisvės laipsnių skaičiui, chi kvadrato skirstinys pamažu artėja prie normalaus.

Chi kvadrato skirstinys gaunamas, jei imame Erlango skirstinio dėsnį λ = ½ ir k = n /2 – 1.

Atsitiktinio dydžio, kurio chi kvadrato skirstinys, matematinės lūkesčiai ir dispersija, nustatomi paprastomis formulėmis, kurias pateikiame be išvedimo:

Iš formulės išplaukia, kad adresuchi kvadrato skirstinys sutampa su eksponentiniu skirstiniu tiesλ = ½ .

Chi kvadrato skirstinio kumuliacinė pasiskirstymo funkcija nustatoma naudojant specialias nepilnas lentelių gama funkcijas

4.1 pav. a ) Chi kvadrato skirstinio tikimybių tankio grafikai

4.1 pav. b) Chi kvadrato skirstinio skirstinio funkcijos grafikai

4.2 Studentų paskirstymas

Tegu Z yra normalus atsitiktinis dydis, ir

a V Ar nuo Z nepriklausomas dydis, kuris paskirstomas pagal chi kvadrato dėsnį suk laisvės laipsnių.Tada dydis:

turi paskirstymą, vadinamąt -paskirstymas arba Studento paskirstymas (anglų statistiko V. Gosseto pseudonimas),

Suk = n - 1 laisvės laipsnis (n - statistinės imties dydis sprendžiant statistinius uždavinius).

taip , normalizuotos normaliosios vertės ir nepriklausomo atsitiktinio dydžio kvadratinės šaknies santykis, paskirstytas pagal chi kvadrato dėsnį su k laisvės laipsniai , padalytą k, platinamas pagal Studento įstatymą su k laisvės laipsniai.

Studentų pasiskirstymo tankis:

Apsvarstykite eksponentinį skirstinį, apskaičiuokite jo matematinį lūkesčius, dispersiją ir medianą. Naudodami MS EXCEL funkciją EXP.DIST () sudarysime skirstinio funkcijos ir tikimybių tankio grafikus. Sugeneruokime atsitiktinių skaičių masyvą ir įvertinkime skirstinio parametrą.

(angl. Eksponentinispaskirstymas) dažnai naudojamas laukimo laikui tarp atsitiktinių įvykių apskaičiuoti. Toliau aprašomos situacijos, kai galima taikyti. Eksponentinis pasiskirstymas :

• Laiko intervalai tarp lankytojų pasirodymo kavinėje;
• Įprasto įrangos veikimo laiko intervalai tarp gedimų atsiradimo (gedimai atsiranda dėl atsitiktinių išorinių poveikių, o ne dėl susidėvėjimo, žr.);
• Laikas, skirtas vienam klientui aptarnauti.

Atsitiktinių skaičių generavimas

Norėdami sukurti skaičių masyvą, paskirstytą eksponentinė teisė, galite naudoti formulę = -LN (RAND ()) / λ

Funkcija RAND () generuoja nuo 0 iki 1, o tai tiksliai atitinka tikimybės kitimo diapazoną (žr. pavyzdinis failo lapo generavimas).

Jei atsitiktiniai skaičiai yra diapazone B14: B213 , tada parametro įvertinimas eksponentinis pasiskirstymas λ galima atlikti naudojant formulę = 1 / VIDUTINIS (B14: B213).

Užduotys

Eksponentinis pasiskirstymas plačiai naudojamas patikimumo inžinerijos disciplinoje. Parametras λ paskambino gedimų dažnis, a 1/ λ – reiškia laiką iki nesėkmės .

Tarkime, kad tam tikros sistemos elektroninis komponentas turi naudingo tarnavimo laiką, aprašytą Eksponentinis pasiskirstymas Su gedimų dažnis lygus 10 ^ (- 3) per valandą, taigi λ = 10^(-3). Vidutinis laikas iki nesėkmės lygus 1000 valandų. Norėdami apskaičiuoti tikimybę, kad komponentas suges Vidutinis laikas iki nesėkmės, tada reikia užsirašyti formulę:

Tie. rezultatas nepriklauso nuo parametro λ .

MS EXCEL sprendimas atrodo taip: = EXP.DIST (10 ^ 3; 10 ^ (- 3); TRUE)

Užduotis . Vidutinis laikas iki nesėkmės tam tikras komponentas yra lygus 40 valandų. Raskite tikimybę, kad komponentas suges nuo 20 iki 30 darbo valandų. = EXP.DIST (30; 1/40; TRUE) – EXP.DIST (20; 1/40; TRUE)

PATARIMAS: Apie kitus MS EXCEL platinimus galite perskaityti straipsnyje.