एनोटेशन: यह व्याख्यान छल्लों की अवधारणाओं पर चर्चा करता है। वलय तत्वों की मूल परिभाषाएँ और गुण दिए गए हैं, और साहचर्य वलय पर विचार किया गया है। कई विशिष्ट समस्याओं पर विचार किया जाता है, मुख्य प्रमेयों को सिद्ध किया जाता है, और स्वतंत्र विचार के लिए समस्याएं दी जाती हैं

रिंगों

दो बाइनरी ऑपरेशंस (जोड़ + और गुणा) के साथ एक सेट आर कहा जाता है इकाई के साथ साहचर्य वलय, अगर:

यदि गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय है, तो वलय कहलाता है विनिमेयअँगूठी। क्रमविनिमेय वलय क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन की मुख्य वस्तुओं में से एक हैं।

नोट्स 1.10.1.

उदाहरण 1.10.2 (साहचर्य वलय के उदाहरण).

अवशेषों का समूह हम पहले ही देख चुके हैं (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, मॉड्यूलो एन अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ, एक क्रमविनिमेय समूह है (उदाहरण 1.9.4, 2 देखें))।

आइए सेटिंग द्वारा गुणन संक्रिया को परिभाषित करें। आइए इस ऑपरेशन की सत्यता की जाँच करें। यदि C k =C k" , C l =C l" , तो k"=k+nu , l"=l+nv , और इसलिए C k"l" =C kl ।

क्योंकि (सी के सी एल)सी एम =सी (केएल)एम =सी के(एलएम) =सी के (सी एल सी एम), सी के सी एल =सी केएल =सी एलके =सी एल सी के, सी 1 सी के =सी के =सी के सी 1, (सी के +सी एल)सी एम =सी (के+एल)एम =सी किमी+एलएम =सी के सी एम +सी एल सी एम, तो इकाई सी 1 अवशेष रिंग मोडुलो एन के साथ एक साहचर्य क्रमविनिमेय रिंग है)।

छल्लों के गुण (R,+,.)

लेम्मा 1.10.3 (न्यूटन का द्विपद). मान लीजिए कि R 1 , , के साथ एक वलय है। तब:

सबूत।

परिभाषा 1.10.4. वलय R के उपसमुच्चय S को कहा जाता है सबरिंग, अगर:

ए) समूह (आर,+) में शामिल होने के संबंध में एस एक उपसमूह है;

बी) क्योंकि हमारे पास है ;

सी) 1 के साथ एक रिंग आर के लिए यह माना जाता है कि।

उदाहरण 1.10.5 (उपरिंग्स के उदाहरण).

समस्या 1.10.6. अवशेष वलय Zn modulo n में सभी उप-वलयों का वर्णन करें।

नोट 1.10.7. वलय Z 10 में, 5 के गुणज तत्व 1 के साथ एक वलय बनाते हैं, जो Z 10 में एक उप-वलय नहीं है (इन छल्लों में अलग-अलग इकाई तत्व होते हैं)।

परिभाषा 1.10.8. यदि R एक वलय है, और , , ab=0, तो तत्व a को R में बायां शून्य भाजक कहा जाता है, तत्व b को R में दायां शून्य भाजक कहा जाता है।

नोट 1.10.9. क्रमविनिमेय वलय में, निश्चित रूप से, बाएँ और दाएँ शून्य भाजक के बीच कोई अंतर नहीं है।

उदाहरण 1.10.10. Z, Q, R में कोई शून्य भाजक नहीं हैं।

उदाहरण 1.10.11. सतत फलन C के वलय में शून्य विभाजक होते हैं। वास्तव में, यदि

फिर , , fg=0 .

उदाहरण 1.10.12. यदि n=kl , 1

लेम्मा 1.10.13. यदि रिंग R में कोई (बाएं) शून्य विभाजक नहीं हैं, तो ab=ac से, कहां , , यह इस प्रकार है कि b=c (अर्थात, यदि कोई बायां शून्य भाजक नहीं है तो बायीं ओर एक गैर-शून्य तत्व द्वारा रद्द करने की क्षमता; और यदि कोई दायां शून्य भाजक नहीं है तो दाईं ओर)।

सबूत। यदि ab=ac , तो a(b-c)=0 . चूँकि a बायां शून्य भाजक नहीं है, तो b-c=0, यानी b=c।

परिभाषा 1.10.14. तत्व कहा जाता है निलपोटेंट, यदि कुछ के लिए x n =0 . सबसे छोटी प्राकृत संख्या n कहलाती है किसी तत्व की शून्यशक्ति की डिग्री .

यह स्पष्ट है कि एक शून्यशक्तिशाली तत्व एक शून्य विभाजक है (यदि n>1 है तो , ). विपरीत कथन सत्य नहीं है (Z 6 में कोई शून्यशक्तिशाली तत्व नहीं हैं, लेकिन 2, 3, 4 शून्य के गैर-शून्य विभाजक हैं)।

अभ्यास 1.10.15. रिंग Z n में निलपोटेंट तत्व शामिल हैं यदि और केवल यदि n, m 2 से विभाज्य है, जहां,।

परिभाषा 1.10.16. वलय R का तत्व x कहलाता है निष्क्रिय, यदि x 2 =x . स्पष्ट है कि 0 2 =0, 1 2 =1. यदि x 2 =x और , तो x(x-1)=x 2 -x=0, और इसलिए गैर-तुच्छ निष्क्रियता शून्य विभाजक हैं।

U(R) द्वारा हम साहचर्य वलय R के व्युत्क्रमणीय तत्वों के समुच्चय को निरूपित करते हैं, अर्थात वे जिनके लिए एक व्युत्क्रम तत्व s=r -1 है (अर्थात् rr -1 =1=r -1 r )।

गैर-खाली सेट को,जिस पर दो बाइनरी ऑपरेशन निर्दिष्ट हैं - जोड़ (+) और गुणा (), शर्तों को पूरा करते हुए:

1) जोड़ के संचालन के संबंध में को- क्रमविनिमेय समूह;

2) गुणन संक्रिया के संबंध में को- अर्धसमूह;

3) जोड़ और गुणा की संक्रियाएँ वितरण के नियम से संबंधित हैं, अर्थात। . (ए+बी)सी=एसी+बीसी, सी(ए+बी) =सीए+सीबीसभी के लिए ए, बी, सी के, बुलाया अंगूठी (के,+, ).

संरचना (को,+) कहा जाता है योगात्मक समूहछल्ले. यदि गुणन संक्रिया क्रमविनिमेय है, अर्थात अब=बा.सभी के लिए ए, बी, फिर रिंग को बुलाया जाता है क्रमविनिमेय.

यदि गुणन संक्रिया के सापेक्ष एक इकाई तत्व है, जिसे रिंग में आमतौर पर इकाई 1 द्वारा दर्शाया जाता है। फिर वे ऐसा कहते हैं कोवहाँ है एक के साथ रिंग करें.

किसी वलय का उपसमुच्चय L कहलाता है अंगूठी के नीचे,अगर एलरिंग के योगात्मक समूह का एक उपसमूह है और एलगुणन संक्रिया के अंतर्गत बंद है, अर्थात सभी के लिए ए, बीएल निष्पादित किया गया है ए+बी एलऔर अब एल.

सबरिंग्स का प्रतिच्छेदन एक सबरिंग होगा। फिर, जैसा कि समूहों के मामले में होता है, सबरिंग द्वारा, आप जेनरेट हुईअनेक एस के,सभी उपरंजों का प्रतिच्छेदन कहा जाता है को,एस युक्त

1. गुणन और जोड़ की संक्रियाओं के संबंध में पूर्णांकों का समुच्चय एक (Z, +, )-क्रमविनिमेय वलय है। सेट न्यूजीलैंडपूर्णांकों से विभाज्य पी,एकता के बिना एक उपवर्ग होगा n>1.

इसी प्रकार, परिमेय और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय हैं।

2. क्रम के वर्ग आव्यूहों का समुच्चय पीआव्यूहों के जोड़ और गुणन की संक्रियाओं के संबंध में एकता के साथ एक वलय होता है इ- यूनिट मैट्रिक्स. पर n>1यह गैर-विनिमेय है।

3. मान लीजिए K एक मनमाना क्रमविनिमेय वलय है। आइए सभी संभावित बहुपदों पर विचार करें

चर के साथ एक्सऔर गुणांक ए 0, ए 1, ए 2,..., और n,से को।बहुपदों के जोड़ और गुणन की बीजगणितीय संक्रियाओं के संबंध में, यह एक क्रमविनिमेय वलय है। यह कहा जाता है बहुपदों का वलय Kपरिवर्तनशील से एक्सरिंग के ऊपर को(उदाहरण के लिए, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं, वास्तविक संख्याओं के वलय पर)। बहुपदों का वलय इसी प्रकार परिभाषित किया गया है कसे टीएक चर में बहुपदों की एक अंगूठी के रूप में चर एक्स टीरिंग के ऊपर क।

4. चलो एक्स- मनमाना सेट, को-मनमानी अंगूठी. सभी फ़ंक्शंस के सेट पर विचार करें f: एक्स के,एक सेट पर परिभाषित एक्समें मूल्यों के साथ कोआइए, हमेशा की तरह, समानताओं द्वारा कार्यों के योग और उत्पाद को परिभाषित करें

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

जहां + और - रिंग में संचालन को।

यह जांचना आसान है कि रिंग की परिभाषा में शामिल सभी शर्तें संतुष्ट हैं, और यदि मूल रिंग क्रमविनिमेय है तो निर्मित रिंग क्रमविनिमेय होगी। क. यह कहा जाता है कार्यों की अंगूठीएक सेट पर एक्सएक रिंग में मूल्यों के साथ को।

छल्लों के कई गुण समूहों और अर्धसमूहों के संबंधित गुणों के पुनर्कथन हैं, उदाहरण के लिए: ए एम ए एन =ए एम + एन, (ए टी) पी =ए टीपीसभी के लिए एम, एनऔर सभी ए.

रिंगों के अन्य विशिष्ट गुण संख्याओं के गुणों को दर्शाते हैं:

1) सबके लिए एए 0=0 ए=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3) - ए=(-1)ए.

वास्तव में:

2) 0=ए((-a)b=-(ab) के समान);

3) दूसरी संपत्ति का उपयोग करते हुए, हमारे पास है- ए= (-ए)1 =ए(-1) = (-1)ए.

मैदान

पूर्णांकों, परिमेय और वास्तविक संख्याओं के वलय में, इस तथ्य से कि गुणनफल एबी=0,यह उसका अनुसरण करता है ए=0, या बी=0. लेकिन क्रम के वर्गाकार आव्यूहों के वलय में एन>1 यह संपत्ति अब संतुष्ट नहीं है, उदाहरण के लिए, =।

अगर रिंग में कअब=0पर ए 0, बी, वह एबायां कहा जाता है, और बी-सही शून्य भाजक.मैं फ़िन कोफिर कोई शून्य भाजक नहीं है (तत्व 0 को छोड़कर, जो एक तुच्छ शून्य भाजक है)। कअंगूठी कहा जाता है शून्य भाजक के बिना.

1. फंक्शन रिंग में एफ:वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R पर R, फलनों पर विचार करें f 1 (x)=|x|+x; एफ 2 (एक्स) =|एक्स|-एक्स.उन को एफ 1 (एक्स)=0 बजे एक्सऔर च 2(एक्स)=0 पर एक्स, और इसलिए उत्पाद एफ 1 (एक्स) एफ 2 (एक्स)- यद्यपि शून्य कार्य एफ 1 (एक्स)और च 2(एक्स) ।इसलिए, इस वलय में शून्य विभाजक हैं।

2. पूर्णांकों के युग्मों के समुच्चय पर विचार करें ( ए, बी),जिसमें जोड़ और गुणा की संक्रियाएँ निर्दिष्ट हैं:

(ए 1 , बी 1)+(ए 2 , बी 2)=(ए 1 +ए 2 , बी 1 +बी 2);

(ए 1, बी 1)(ए 2, बी 2)= (ए 1 ए 2, बी 1 बी 2)।

यह सेट एकता (1,1) और शून्य भाजक के साथ एक क्रमविनिमेय वलय बनाता है, क्योंकि (1,0)(0,1)=(0,0)।

यदि रिंग में कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, तो रद्दीकरण का कानून इसमें संतुष्ट है, अर्थात। ab=ac, a=c.वास्तव में, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

होने देना को- अंगूठी, इकाई के साथ. तत्व एबुलाया प्रतिवर्ती,यदि ऐसा कोई तत्व मौजूद है ए -1,जिसके लिए आ -1 =ए -1 ए=1.

एक व्युत्क्रमणीय तत्व शून्य विभाजक नहीं हो सकता क्योंकि. अगर अब=0 , वह a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(के समान बा=0 ).

प्रमेय. रिंग K के सभी उलटे तत्व पहचान के साथ गुणन के तहत एक समूह बनाते हैं।

वास्तव में, गुणन में कोसाहचर्य रूप से, इकाई उलटे तत्वों के सेट में निहित है और उत्पाद उलटे तत्वों के सेट से प्राप्त नहीं होता है, क्योंकि यदि एऔर बीतो, प्रतिवर्ती हैं
(एबी) -1 =बी -1 ए -1 .

एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय संरचना क्रमविनिमेय वलय द्वारा निर्मित होती है को,जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व उलटा होता है, अर्थात, गुणन संक्रिया के संबंध में सेट क\(0) एक समूह बनाता है। ऐसे छल्लों में तीन संक्रियाओं को परिभाषित किया गया है: जोड़, गुणा और भाग।

क्रमविनिमेय वलय आरइकाई 1 0 के साथ, जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय है, कहा जाता है मैदान।

गुणन के संबंध में, क्षेत्र के सभी गैर-शून्य तत्व एक समूह बनाते हैं जिसे कहा जाता है गुणक समूहखेत।

काम एबी -1भिन्न के रूप में लिखा जाता है और इसका अर्थ तभी होता है जब बी 0. तत्व ही समीकरण का एकमात्र समाधान है बीएक्स=ए.भिन्नों वाली क्रियाएँ हमारे परिचित नियमों का पालन करती हैं:

आइए, उदाहरण के लिए, उनमें से दूसरे को सिद्ध करें। होने देना एक्स=और आप=- समीकरणों के समाधान bx=a, dy=c.इन समीकरणों से यह निष्कर्ष निकलता है dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=- समीकरण का एकमात्र समाधान bdt=da+bc.

1. पूर्णांकों का वलय एक क्षेत्र नहीं बनाता है। फ़ील्ड परिमेय संख्याओं का समुच्चय और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

8.7. अध्याय 8 में स्वतंत्र कार्य के लिए असाइनमेंट

8.1. निर्धारित करें कि क्या एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर के अदिश उत्पाद को खोजने का संचालन क्रमविनिमेय और साहचर्य है। आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

8.2. निर्धारित करें कि मैट्रिक्स गुणन के संचालन के संबंध में क्रम n के वर्ग मैट्रिक्स का सेट एक समूह है या एक मोनॉइड।

8.3. बताएं कि निम्नलिखित में से कौन सा सेट गुणन के संचालन के संबंध में एक समूह बनाता है:

ए) पूर्णांकों का एक सेट;

बी) तर्कसंगत संख्याओं का सेट;

ग) शून्य से भिन्न वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

8.4. निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सी संरचना एक के बराबर निर्धारक के साथ क्रम n के वर्ग मैट्रिक्स का एक सेट बनाती है: मैट्रिक्स जोड़ और गुणा के सामान्य संचालन के संबंध में:

एक समूह;

लाना;

8.5. इंगित करें कि गुणन और जोड़ के संचालन के संबंध में पूर्णांकों का सेट किस संरचना का निर्माण करता है:

ए) गैर-कम्यूटेटिव रिंग;

बी) क्रमविनिमेय वलय;

8.6. निम्नलिखित में से कौन सी संरचना मैट्रिक्स जोड़ और गुणन के सामान्य संचालन के सापेक्ष वास्तविक ए और बी के साथ फॉर्म के मैट्रिक्स के एक सेट द्वारा बनाई गई है:

एक अंगूठी;

8.7. वास्तविक संख्याओं के सेट से किस संख्या को बाहर रखा जाना चाहिए ताकि शेष संख्याएँ सामान्य गुणन संक्रिया के संबंध में एक समूह बना सकें:

8.8. पता लगाएं कि निम्नलिखित में से कौन सी संरचना दो तत्वों ए और ई से मिलकर एक सेट बनाती है, जिसमें बाइनरी ऑपरेशन निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

ईई=ई, ईए=ए, एई=ए, आ=ई।

एक समूह;

बी) एक एबेलियन समूह।

8.9. क्या जोड़ और गुणन की सामान्य संक्रियाओं के सापेक्ष सम संख्याएँ एक वलय हैं? आपने जवाब का औचित्य साबित करें।

8.10. क्या एक वलय a+b रूप की संख्याओं का एक समूह है, जहाँ a और b जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के संबंध में कोई परिमेय संख्याएँ हैं? उत्तर का औचित्य सिद्ध करें।

परिभाषा 4.1.1. अँगूठी (क, +, ) एक गैर-रिक्त सेट के साथ एक बीजगणितीय प्रणाली है कऔर उस पर दो द्विआधारी बीजीय संक्रियाएँ, जिन्हें हम कहेंगे जोड़नाऔर गुणा. वलय एक एबेलियन योगात्मक समूह है, और गुणन और जोड़ वितरण के नियमों से संबंधित हैं: ( ए + बी)  सी = ए  सी + बी  सीऔर साथ  (ए + बी) = सी  ए + सी  बीमनमानी के लिए ए, बी, सी  क.

उदाहरण 4.1.1. आइए अंगूठियों का उदाहरण दें।

1. (जेड, +, ), (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) - क्रमशः, पूर्णांक, तर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याओं के छल्ले जोड़ और गुणा के सामान्य संचालन के साथ। इन छल्लों को कहा जाता है न्यूमेरिकल.

2. (जेड/एनजेड, +, ) - अवशेष वर्गों मॉड्यूलो की अंगूठी एन  एनजोड़ और गुणन संक्रियाओं के साथ।

3. गुच्छा एम एन (क) निश्चित क्रम के सभी वर्ग आव्यूह एन  एनरिंग से गुणांक के साथ ( क, +, ) मैट्रिक्स जोड़ और गुणा के संचालन के साथ। विशेष रूप से, कबराबर हो सकता है जेड, क्यू, आर, सीया जेड/एनजेडपर एन  एन.

4. एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित सभी वास्तविक कार्यों का सेट ( ए; बी) वास्तविक संख्या रेखा, कार्यों के जोड़ और गुणन की सामान्य संक्रियाओं के साथ।

5. बहुपदों का समुच्चय (बहुपद) क[एक्स] रिंग से गुणांक के साथ ( क, +, ) एक चर से एक्सबहुपदों के जोड़ और गुणन की प्राकृतिक संक्रियाओं के साथ। विशेष रूप से, बहुपद वलय जेड[एक्स], क्यू[एक्स], आर[एक्स], सी[एक्स], जेड/एनजेड[एक्स] पर एन  एन.

6. सदिशों का वलय ( वी 3 (आर), +, ) जोड़ और वेक्टर गुणन के संचालन के साथ।

7. रिंग ((0), +, ) जोड़ और गुणन संचालन के साथ: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

परिभाषा 4.1.2. अंतर करना परिमित और अनंतछल्ले (सेट के तत्वों की संख्या के अनुसार क), लेकिन मुख्य वर्गीकरण गुणन के गुणों पर आधारित है। अंतर करना जोड़नेवालाजब गुणन संक्रिया साहचर्य होती है तो बजती है (उदाहरण 4.1.1 के अंक 1-5, 7) और गैर साहचर्यछल्ले (उदाहरण 4.1.1 का बिंदु 6: यहाँ ,)। एसोसिएशन रिंगों को विभाजित किया गया है एक के साथ बजता है(गुणन के संबंध में एक तटस्थ तत्व है) और बिना इकाई के, विनिमेय(गुणा संक्रिया क्रमविनिमेय है) और अविनिमेय.

प्रमेय4.1.1. होने देना ( क, +, ) एक के साथ एक साहचर्य वलय है। फिर अनेक क* रिंग तत्वों के गुणन के संबंध में उलटा क– गुणक समूह.

आइए समूह 3.2.1 की परिभाषा की पूर्ति की जाँच करें। होने देना ए, बी  क*. चलिए वो दिखाते हैं ए  बी  क * .  (ए  बी) –1 = बी –1  ए –1  क. वास्तव में,

(ए  बी)  (बी –1  ए –1) = ए  (बी  बी –1)  ए –1 = ए  1  ए –1 = 1,

(बी –1  ए –1)  (ए  बी) = बी –1  (ए –1  ए)  बी = बी –1  1  बी = 1,

कहाँ ए –1 , बी –1  क– विपरीत तत्वों को एऔर बीक्रमश।

1) गुणन में क*सहयोगात्मक रूप से, चूँकि क– साहचर्य वलय.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  क* , 1 - गुणन के संबंध में तटस्थ तत्व क * .

3)  के लिए ए  क * , ए –1  क* , क्योंकि ( ए –1)  ए = ए  (ए –1) = 1
(ए –1) –1 = ए.

परिभाषा 4.1.3. गुच्छा क* वलय के तत्वों के गुणन के संबंध में व्युत्क्रमणीय ( क, +, ) कहलाते हैं गुणक वलय समूह.

उदाहरण 4.1.2. आइए हम विभिन्न वलयों के गुणक समूहों के उदाहरण दें।

1. जेड * = {1, –1}.

2. एम एन (क्यू) * = जी.एल. एन (क्यू), एम एन (आर) * = जी.एल. एन (आर), एम एन (सी) * = जी.एल. एन (सी).

3. जेड/एनजेड* - अवशेषों के व्युत्क्रमणीय वर्गों का सेट, जेड/एनजेड * = { | (क, एन) = 1, 0  क < एन), पर एन > 1 | जेड/एनजेड * | =  (एन), कहाँ  – यूलर फ़ंक्शन.

4. (0) * = (0), चूंकि में इस मामले में 1 = 0.

परिभाषा 4.1.4. यदि एक साहचर्य वलय में ( क, +, ) इकाई समूह के साथ क * = क\(0), जहां 0 योग के संबंध में एक तटस्थ तत्व है, तो ऐसी अंगूठी कहलाती है शरीरया बीजगणित के साथविभाजन. क्रमविनिमेय निकाय कहा जाता है मैदान.

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि शरीर में क*   और 1  क* का अर्थ है 1  0, इसलिए न्यूनतम निकाय, जो एक क्षेत्र है, में दो तत्व होते हैं: 0 और 1।

उदाहरण 4.1.3.

1. (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) – क्रमशः संख्यात्मक फ़ील्डतर्कसंगत, वास्तविक और जटिल संख्याएँ।

2. (जेड/पीजेड, +, ) – से एक परिमित क्षेत्र पीतत्व यदि पी- प्रधान संख्या। उदाहरण के लिए, ( जेड/2जेड, +, ) - दो तत्वों का न्यूनतम क्षेत्र।

3. एक गैर-विनिमेय निकाय है चतुर्भुज शरीर– समग्रता quaternions, अर्थात् रूप के भाव एच= ए + द्वि + सी.जे + डीके, कहाँ ए, बी, सी, डी  आर, मैं 2 = = जे 2 = क 2 = – 1, मैं  जे= क= – जे  मैं, जे  क= मैं= – क  जे, मैं  क= – जे= – क  मैं, जोड़ और गुणा की संक्रियाओं के साथ। उपरोक्त सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, चतुर्भुजों को पद दर पद जोड़ा और गुणा किया जाता है। सभी के लिए एच 0 व्युत्क्रम चतुर्भुज का रूप है:
.

शून्य भाजक वाले छल्ले और शून्य भाजक वाले छल्ले होते हैं।

परिभाषा 4.1.5. यदि रिंग में गैर-शून्य तत्व हैं एऔर बीऐसा है कि ए  बी= 0, तो उन्हें बुलाया जाता है शून्य भाजक, और अंगूठी स्वयं - शून्य डिवाइडर वाली रिंग. अन्यथा रिंग को बुलाया जाता है शून्य विभाजक के बिना वलय.

उदाहरण 4.1.4.

1. रिंग्स ( जेड, +, ), (क्यू, +, ), (आर, +, ), (सी, +, ) - शून्य विभाजक के बिना छल्ले।

2. रिंग में ( वी 3 (आर), +, ) चूँकि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व शून्य का विभाजक है
सभी के लिए
वी 3 (आर).

3. मैट्रिक्स रिंग में एम 3 (जेड) शून्य भाजक के उदाहरण आव्यूह हैं
और
, क्योंकि ए  बी = हे(शून्य मैट्रिक्स)।

4. रिंग में ( जेड/एनजेड, +, ) समग्र के साथ एन = क  एम, जहां 1< क, एम < एन, अवशेष वर्ग और चूँकि, शून्य विभाजक हैं। 

नीचे हम रिंगों और फ़ील्ड्स के मुख्य गुण प्रस्तुत करते हैं।

मान लीजिए (K,+, ·) एक वलय है। चूँकि (K, +) एक एबेलियन समूह है, समूहों के गुणों को ध्यान में रखते हुए हमें प्राप्त होता है

एनई-वीओ 1. प्रत्येक वलय (K,+, ·) में एक अद्वितीय शून्य तत्व 0 होता है और प्रत्येक a ∈ K के लिए इसके विपरीत एक अद्वितीय तत्व -a होता है।

एनई-वीओ 2. ∀ ए, बी, सी ∈ के (ए + बी = ए + सी ⇒ बी = सी)।

एसवी-वीओ 3. रिंग के में किसी भी ए, बी ∈ के के लिए एक अद्वितीय अंतर है ए - बी, और ए - बी = ए + (-बी)। इस प्रकार, घटाव ऑपरेशन को रिंग K में परिभाषित किया गया है, और इसमें गुण 1′-8′ हैं।

एसवी-वीओ 4. K में गुणन संक्रिया घटाव संक्रिया के संबंध में वितरणात्मक है, अर्थात। ∀ ए, बी, सी ∈ के ((ए − बी)सी = एसी − बीसी ∧ सी(ए − बी) = सीए − सीबी).

डॉक्टर. चलो a, b, c ∈ K. ऑपरेशन की वितरणशीलता · K में ऑपरेशन + के संबंध में और रिंग के तत्वों के अंतर की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं (a - b)c + bc = ( (ए - बी) + बी)सी = एसी, जहां से परिभाषा अंतर के अनुसार यह निम्नानुसार है कि (ए - बी)सी = एसी - बीसी।

घटाव संक्रिया के सापेक्ष गुणन संक्रिया के वितरण का सही नियम इसी प्रकार सिद्ध होता है।

एसवी-वी 5. ∀ ए ∈ के ए0 = 0ए = 0.

सबूत। मान लीजिए a ∈ K और a b-K से मनमाना तत्व है। फिर b − b = 0 और इसलिए, पिछली संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, हम a0 = a(b − b) = ab − ab = 0 प्राप्त करते हैं।

इसी प्रकार सिद्ध किया गया है कि 0a = 0.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

सबूत। मान लीजिए a, b ∈ K. तब (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. इसलिए, (−a)b = −(ab).

समानता a(−b) = −(ab) इसी प्रकार सिद्ध की जाती है।

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

सबूत। दरअसल, पिछली संपत्ति को दो बार लागू करने पर, हमें (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab प्राप्त होता है।

टिप्पणी। गुण 6 और 7 को वलय में चिन्हों के नियम कहा जाता है।

जोड़ संक्रिया और गुण 6 और 7 के सापेक्ष रिंग K में गुणन संक्रिया की वितरणशीलता से, निम्नलिखित निम्नानुसार है:

SV-VO 8. मान लीजिए k, l मनमाना पूर्णांक हैं। फिर ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

सब्रिंग

रिंग का एक सबरिंग (K,+, ·) सेट K का एक सबसेट H है जो K में परिभाषित ऑपरेशन + और · के तहत बंद है और इन ऑपरेशन के तहत खुद एक रिंग है।

उपरिंग्स के उदाहरण:

इस प्रकार, Z रिंग (Q,+, ·) का एक सबरिंग है, Q रिंग (R,+, ·) का एक सबरिंग है, Rn×n रिंग का एक सबरिंग है (Cn×n,+, ·) , Z[x] रिंग का एक सबरिंग है ( R[x],+, ·), D रिंग का एक सबरिंग है (C,+, ·).

किसी भी रिंग (K,+, ·) में, सेट K स्वयं, साथ ही सिंगलटन सबसेट (0) रिंग (K,+, ·) के सबरिंग्स हैं। ये वलय (K,+, ·) के तथाकथित तुच्छ उप-वलय हैं।

सबरिंग्स के सबसे सरल गुण।

मान लीजिए H वलय (K,+, ·) का एक उप-वलय है, अर्थात्। (H,+, ·) स्वयं एक वलय है। इसका मतलब है कि (एच, +)-समूह, यानी। H समूह (K, +) का एक उपसमूह है। इसलिए, निम्नलिखित कथन सत्य हैं।

एसवी-वीओ 1. रिंग के के सबरिंग एच का शून्य तत्व रिंग के के शून्य तत्व के साथ मेल खाता है।

एसवी-वीओ 2. रिंग K के उपरिंग H के किसी भी तत्व a के लिए, H में इसका विपरीत तत्व −a के साथ मेल खाता है, यानी। K में इसके विपरीत तत्व के साथ।

एसवी-वीओ 3. उपरिंग एच के किसी भी तत्व ए और बी के लिए, एच में उनका अंतर तत्व ए - बी के साथ मेल खाता है, यानी। K में इन तत्वों के अंतर के साथ।

सबरिंग के लक्षण.

प्रमेय 1 (उपरिंग का पहला संकेत)।

संचालन + और · के साथ रिंग K का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय H, रिंग K का एक उप-रिंग है यदि और केवल यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

∀ ए, बी ∈ एच ए + बी ∈ एच, (1)

∀ ए ∈ एच − ए ∈ एच, (2)

∀ ए, बी ∈ एच एबी ∈ एच. (3)

आवश्यकता.मान लीजिए H वलय (K,+, ·) का एक उप-वलय है। तब H समूह (K, +) का एक उपसमूह है। इसलिए, उपसमूह के पहले मानदंड से (योगात्मक सूत्रीकरण में), एच शर्तों (1) और (2) को संतुष्ट करता है। इसके अलावा, H को K में परिभाषित गुणन ऑपरेशन के तहत बंद कर दिया गया है, अर्थात। एच

शर्त (3) को भी संतुष्ट करता है।

पर्याप्तता.मान लीजिए H ⊂ K, H 6= ∅ और H शर्तों (1) − (3) को संतुष्ट करता है। उपसमूह के पहले मानदंड के अनुसार शर्तों (1) और (2) से यह पता चलता है कि एच समूह (के, +) का एक उपसमूह है, यानी। (एच, +)-समूह। इसके अलावा, चूँकि (K, +) एक एबेलियन समूह है, (H, +) भी एबेलियन है। इसके अलावा, स्थिति (3) से यह पता चलता है कि गुणन सेट एच पर एक द्विआधारी ऑपरेशन है। ऑपरेशन की साहचर्यता · एच में और ऑपरेशन + के संबंध में इसकी वितरणशीलता इस तथ्य से अनुसरण करती है कि ऑपरेशन + और · के में ऐसे गुण हैं.

प्रमेय 2 (उपरिंग का दूसरा चिह्न)।

संचालन + और · के साथ रिंग K का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय H है

रिंग K t और t का सबरिंग, जब यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

∀ ए, बी ∈ एच ए − बी ∈ एच, (4)

∀ ए, बी ∈ एच एबी ∈ एच. (5)

इस प्रमेय का प्रमाण प्रमेय 1 के प्रमाण के समान है।

इस मामले में, प्रमेय 2' (योगात्मक सूत्रीकरण में उपसमूह का दूसरा मानदंड) और उस पर एक टिप्पणी का उपयोग किया जाता है।

7.फ़ील्ड (परिभाषा, प्रकार, गुण, विशेषताएँ)।

फ़ील्ड पहचान के साथ एक क्रमविनिमेय वलय हैई 0 के बराबर नहीं है , जिसमें शून्य से भिन्न प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है।

संख्या फ़ील्ड के उत्कृष्ट उदाहरण फ़ील्ड (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) हैं।

संपत्ति 1 . हर क्षेत्र मेंएफ संकुचन का नियम वैध है

शून्य से भिन्न एक सामान्य कारक द्वारा, अर्थात

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a, 0 ⇒ b = c के बराबर नहीं है)।

संपत्ति 2 . हर क्षेत्र मेंएफ कोई शून्य भाजक नहीं.

संपत्ति 3 . अँगूठी(के,+, ·) यदि और केवल एक फ़ील्ड है

जब बहुत सारे होंक\(0) गुणन की संक्रिया के संबंध में एक क्रमविनिमेय समूह है।

संपत्ति 4 . परिमित अशून्य क्रमविनिमेय वलय(के,+, ·) शून्य भाजक के बिना एक क्षेत्र है.

क्षेत्र तत्वों का भागफल.

मान लीजिए (F,+, ·) एक फ़ील्ड है।

आंशिक तत्वए औरबी खेतएफ , कहाँ b 0 के बराबर नहीं है ,

ऐसे तत्व को कहा जाता हैसी ∈ एफ , क्याए = बी.सी .

संपत्ति 1 . किसी भी तत्व के लिएए औरबी खेतएफ , कहाँ b 0 के बराबर नहीं है , एक अद्वितीय भागफल हैए/बी , और a/b= ab−1.

संपत्ति 2 . ∀ ए ∈ एफ \ (0)

ए/ए= ई और∀ ए ∈ एफ ए/ई= ए.

संपत्ति 3 . ∀ ए, सी ∈ एफ ∀ बी, डी ∈ एफ \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

संपत्ति 4 . ∀ ए, सी ∈ एफ ∀ बी, डी ∈ एफ \ (0)

संपत्ति 5 . ∀ ए ∈ एफ ∀ बी, सी, डी ∈ एफ \ (0)

(ए/बी)/(सी/डी)=विज्ञापन/बीसी

संपत्ति 6 . ∀ ए ∈ एफ ∀ बी, सी ∈ एफ \ (0)

संपत्ति 7 . ∀ ए ∈ एफ ∀ बी, सी ∈ एफ \ (0)

संपत्ति 8 . ∀ ए, बी ∈ एफ ∀ सी ∈ एफ \ (0)

मैदानएफ , जिसकी इकाई का क्रम सीमित हैपी समूह में(एफ, +) पी .

मैदानएफ इकाई, जिसका समूह में अनंत क्रम होता है(एफ, +) , को विशेषता क्षेत्र कहा जाता है 0.

8. उपक्षेत्र (परिभाषा, प्रकार, गुण, विशेषताएँ)

फ़ील्ड उपफ़ील्ड(एफ,+, ·) उपसमुच्चय कहा जाता हैएस सेटएफ , जो ऑपरेशन के तहत बंद है+ और· , में परिभाषित किया गया हैएफ , और स्वयं इन परिचालनों से संबंधित एक क्षेत्र है।

आइए हम उपक्षेत्रों के कुछ उदाहरण दें क्यू-क्षेत्र का उपक्षेत्र (आर,+, ·);

आर-क्षेत्र का उपक्षेत्र (सी,+, ·);

निम्नलिखित कथन सत्य हैं।

संपत्ति 1 . उपक्षेत्र तत्व शून्यएस खेतएफ के साथ मेल खाता है

क्षेत्र का शून्य तत्वएफ .

संपत्ति 2 . प्रत्येक तत्व के लिएए उपक्षेत्रोंएस खेतएफ इसमें इसका विपरीत तत्व हैएस के साथ मेल खाता है-एक , अर्थात। इसके विपरीत तत्व के साथएफ .

संपत्ति 3 . किसी भी तत्व के लिएए औरबी उपक्षेत्रोंएस खेतएफ उनका

अंतरएस के साथ मेल खाता हैएक-बी वे। इन तत्वों के अंतर के साथएफ .

संपत्ति 4 . उपक्षेत्र इकाईएस खेतएफ एक से मेल खाता है

इ खेतएफ .

संपत्ति 5 . प्रत्येक तत्व के लिएए उपक्षेत्रोंएस खेतएफ , से-

शून्य से वैयक्तिक, इसका व्युत्क्रम तत्वएस के साथ मेल खाता हैए−1 , अर्थात। तत्व के विपरीत के साथए वीएफ .

उपक्षेत्र के लक्षण.

प्रमेय 1 (उपक्षेत्र का पहला संकेत)।

सबसेटएच खेतएफ संचालन के साथ+, · , गैर-शून्य युक्त

(एफ,+, ·)

∀ ए, बी ∈ एच ए + बी ∈ एच, (1)

∀ ए ∈ एच − ए ∈ एच, (2)

∀ ए, बी ∈ एच एबी ∈ एच, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

प्रमेय2 (उपक्षेत्र का दूसरा संकेत)।

सबसेटएच खेतएफ संचालन के साथ+, · , गैर-शून्य युक्त

तत्व क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है(एफ,+, ·) यदि और केवल यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

∀ ए, बी ∈ एच ए − बी ∈ एच, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. वलय Z में विभाज्यता संबंध

अनुमोदन: किसी के लिए तत्व ए, बी, सीसमुच्चय R पर क्रमविनिमेय वलय, निम्नलिखित निहितार्थ हैं:

1) ए|बी, बी|सी => ए|सी

2) ए|बी, ए|सी => ए| (बी सी)

3) ए|बी => ए|बीसी

किसी भी a, b Z के लिए निम्नलिखित सत्य है:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b और b|a ó |a|=|b|

पूर्णांक a को शेषफल के साथ पूर्णांक b से विभाजित करने का अर्थ है पूर्णांक q और r को इस प्रकार खोजना कि आप a=b*q + r, 0≤r≥|b| का प्रतिनिधित्व कर सकें, जहां q अपूर्ण भागफल है, r शेषफल है

प्रमेय: यदि a और b Z, b≠0, तो a को शेषफल के साथ b से विभाजित किया जा सकता है, और अधूरा भागफल और शेषफल विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

परिणाम, यदि a और b Z , b≠0, तो b|a ó

11. जीसीडी और एनओसी

संख्या Z का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) कुछ संख्या d है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है

1) d एक सामान्य भाजक है अर्थात घ| ,डी| …डी|

2) d संख्याओं के किसी भी सामान्य विभाजक से विभाज्य है, अर्थात। घ| ,डी| …डी| =>डी| ,डी| …डी|