Hilera

Sea dada una serie ∑ un norte (\displaystyle \sum a_(n)) y α = lim¯n → ∞ ⁡ | un norte | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty)(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Entonces

La afirmación de convergencia en los signos de Cauchy y d'Alembert se deriva de una comparación con una progresión geométrica (con denominadores lim¯n → ∞ ⁡ | un norte + 1 un norte | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|) y α (\ estilo de visualización \ alfa) respectivamente), sobre divergencia - del hecho de que el término común de la serie no tiende a cero.

La prueba de Cauchy es más fuerte que la prueba de d'Alembert en el sentido de que si la prueba de d'Alembert indica convergencia, entonces la prueba de Cauchy indica convergencia; si la prueba de Cauchy no nos permite sacar una conclusión sobre la convergencia, entonces la prueba de d'Alembert tampoco nos permite sacar ninguna conclusión; hay series para las que la prueba de Cauchy indica convergencia, pero la prueba de d'Alembert no indica convergencia.

Integral signo Cauchy - Maclarin

Sea dada una serie ∑ norte = 1 ∞ un norte , un norte ≥ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)a_(n),a_(n)\geqslant 0) y función f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) tal que:

Entonces la serie ∑ norte = 1 ∞ un norte (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)a_(n)) e integrales ∫ 1 ∞ f (x) re x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) convergen o divergen al mismo tiempo, y ∀ k ⩾ 1 ∑ norte = k ∞ an ⩾ ∫ k ∞ f (x) dx ⩾ ∑ norte = k + 1 ∞ an (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Signo Raabe

Sea dada una serie ∑ un norte (\displaystyle \sum a_(n)), un norte > 0 (\displaystyle a_(n)>0) y R norte = norte (un norte un norte + 1 - 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

El signo de Raabe se basa en la comparación con la serie armónica generalizada

Acciones de fila

Ejemplos

Considere la serie 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Para esta fila:

Así, la prueba de Cauchy indica convergencia, mientras que la prueba de d'Alembert no permite extraer conclusiones.

Considere la serie ∑ norte = 1 ∞ 2 norte − (− 1) norte (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)2^(n-(-1)^(n)))

Así, la prueba de Cauchy indica divergencia, mientras que la prueba de d'Alembert no permite extraer conclusiones.

Hilera ∑ norte = 1 ∞ 1 norte α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)(\frac (1)(n^(\alpha )))) converge en α > 1 (\ estilo de visualización \ alfa > 1) y diverge en α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), pero:

Así, los signos de Cauchy y d'Alembert no permiten sacar ninguna conclusión.

Hilera ∑ norte = 1 ∞ (− 1) norte norte (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)(\frac ((-1)^(n))(n))) converge condicionalmente según el criterio de Leibniz, pero no absolutamente, ya que la serie armónica ∑ norte = 1 ∞ | (− 1) norte norte | = ∑ norte = 1 ∞ 1 norte (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty)(\frac (1)(n))) diverge

, no está acotado en la vecindad izquierda del punto b (\ estilo de visualización b). Integral impropia de segunda clase ∫ un segundo f (x) re x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) llamado absolutamente convergente si la integral converge ∫ un segundo | f(x) | re x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Las series alternas son series cuyos términos son alternativamente positivos y negativos. . La mayoría de las veces, se consideran series alternas, en las que los términos se alternan en uno: cada positivo va seguido de un negativo, cada negativo va seguido de un positivo. Pero hay filas alternas en las que los miembros se alternan después de dos, tres y así sucesivamente.

Considere un ejemplo de una serie alterna, cuyo comienzo se ve así:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

e inmediatamente las reglas generales para escribir series alternas.

Como en el caso de cualquier serie, para continuar esta serie, debe especificar una función que determine el término común de la serie. En nuestro caso, este norte + 2 .

¿Y cómo establecer la alternancia de signos de los integrantes de la serie? Multiplicar la función por menos uno hasta cierto punto. ¿En qué grado? Destacamos enseguida que ningún grado prevé alternancia de signos en los términos de la serie.

Digamos que queremos que el primer término de una serie alterna sea positivo, como es el caso del ejemplo anterior. Entonces menos uno debe estar en el poder norte− 1 . Comience a sustituir números a partir de uno en esta expresión y obtendrá como exponente en menos uno, luego par, luego número impar. Eso es lo que es condición necesaria personajes alternados! Obtenemos el mismo resultado cuando norte+ 1 . Si queremos que el primer término de la serie alterna sea negativo, entonces podemos especificar esta serie multiplicando la función del término común por uno a la potencia norte. Obtenemos un número par, luego un número impar, y así sucesivamente. Como puede ver, se cumple la condición ya descrita para la alternancia de signos.

Por lo tanto, podemos escribir la serie alterna anterior en forma general:

Para signos alternos de un término de una serie, la potencia menos uno puede ser la suma norte y cualquier número positivo o negativo, par o impar. Lo mismo se aplica a 3 norte , 5norte, ... Es decir, la alternancia de los signos de los miembros de la serie alterna proporciona el grado en menos uno en forma de suma norte multiplicado por cualquier número impar y cualquier número.

¿Qué grados a menos uno no proporcionan alternancia de signos de los miembros de la serie? Los que están presentes en forma norte multiplicado por cualquier número par, al que se suma cualquier número, incluido cero, par o impar. Ejemplos de indicadores de tales grados: 2 norte , 2norte + 1 , 2norte − 1 , 2norte + 3 , 4norte+ 3 ... En el caso de tales grados, dependiendo del número con el que se suma "en", multiplicado por un número par, se obtienen solo números pares o solo números impares, lo que, como ya hemos descubierto, no No dar alternancia de signos de los integrantes de la serie.

Serie alterna: un caso especial serie alterna . Las series alternas son series con miembros de signos arbitrarios. , es decir, aquellas que pueden ser positivas y negativas en cualquier orden. Un ejemplo de una serie alterna:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

A continuación, considere los criterios de convergencia para series alternas y alternas. La convergencia condicional de series alternas se puede establecer utilizando la prueba de Leibniz. Y para una gama más amplia de series, alternas (incluidas las alternas), hay un signo de convergencia absoluta.

Convergencia de series alternas. signo de leibniz

Para series alternas, se realiza la siguiente prueba de convergencia: la prueba de Leibniz.

Teorema (prueba de Leibniz). Una serie converge, y su suma no excede el primer término, si se cumplen simultáneamente las dos condiciones siguientes:

• los valores absolutos de los miembros de la serie alterna disminuyen: tu1 > tu 2 > tu 3 > ... > tu norte > ...;
• límite de su término común con incremento ilimitado norte es igual a cero

Consecuencia. Si para la suma de una serie alterna tomamos la suma de sus norte términos, entonces el error permitido en este caso no excederá el valor absoluto del primer término descartado.

Ejemplo 1 Investigar la convergencia de una serie.

Solución. Esta es una fila alterna. Los valores absolutos de sus miembros disminuyen:

y el límite del término común

es igual a cero:

Se cumplen ambas condiciones de la prueba de Leibniz, por lo que la serie converge.

Ejemplo 2 Investigar la convergencia de una serie.

Solución. Esta es una fila alterna. Primero demostremos que:

, .

Si norte= 1, entonces para todos norte > norte desigualdad 12 norte − 7 > norte. A su vez, para cada norte. Por tanto, es decir, los términos de la serie decrecen en valor absoluto. Encontremos el límite del término común de la serie (usando Regla de L´Hopital):

El límite del término común es cero. Se cumplen ambas condiciones del criterio de Leibniz, por lo que la respuesta a la cuestión de la convergencia es positiva.

Ejemplo 3 Investigar la convergencia de una serie.

Solución. Se da una serie alterna. Averigüemos si se cumple la primera condición del signo de Leibniz, es decir, el requisito . Para que se cumpla el requisito, es necesario que

Nos aseguramos de que el requisito se cumpla para todos norte > 0 . Se cumple la primera prueba de Leibniz. Encuentre el límite del término común de la serie:

.

El límite no es cero. Por lo tanto, la segunda condición de la prueba de Leibniz no se cumple, por lo que la convergencia está fuera de discusión.

Ejemplo 4 Investigar la convergencia de una serie.

Solución. En esta serie, dos términos negativos son seguidos por dos positivos. Esta serie también es alterna. Averigüemos si se cumple la primera condición de la prueba de Leibniz.

El requisito se cumple para todos norte > 1 . Se cumple la primera prueba de Leibniz. Averigüe si el límite del término común es igual a cero (usando la regla de L'Hopital):

.

Tenemos cero. Por lo tanto, se cumplen ambas condiciones de la prueba de Leibniz. La convergencia está en su lugar.

Ejemplo 5 Investigar la convergencia de una serie.

Solución. Esta es una fila alterna. Averigüemos si se cumple la primera condición de la prueba de Leibniz. Porque

,

Porque norte ≥ 0 , entonces 3 norte+ 2 > 0 . A su vez, para cada norte, Es por eso . En consecuencia, los términos de la serie disminuyen en valor absoluto. Se cumple la primera prueba de Leibniz. Averigüemos si el límite del término común de la serie es igual a cero (usando la regla de L'Hopital):

.

Recibió un valor nulo. Se cumplen ambas condiciones de la prueba de Leibniz, por lo que esta serie converge.

Ejemplo 6 Investigar la convergencia de una serie.

Solución. Averigüemos si la primera condición de la prueba de Leibniz se cumple para esta serie alterna:

Los términos de la serie decrecen en valor absoluto. Se cumple la primera prueba de Leibniz. Averigüe si el límite del término común es igual a cero:

.

El límite del término común no es igual a cero. La segunda condición del signo de Leibniz no se cumple. Por lo tanto, esta serie diverge.

El signo de Leibniz es un signo convergencia condicional de la serie. Esto significa que las conclusiones sobre la convergencia y divergencia de las series alternas consideradas anteriormente pueden complementarse: estas series convergen (o divergen) condicionalmente.

Convergencia absoluta de series alternas

Deja que la fila

- alternando. Considere una serie compuesta por los valores absolutos de sus miembros:

Definición. Una serie se llama absolutamente convergente si converge una serie compuesta por los valores absolutos de sus términos. Si una serie alterna converge y una serie compuesta por los valores absolutos de sus miembros diverge, entonces dicha serie alterna se llama condicionalmente o no absolutamente convergente .

Teorema. Si una serie converge absolutamente, entonces converge condicionalmente.

Ejemplo 7 Determinar si una serie converge

Solución. A esta serie le corresponde junto a los términos positivos la serie Este serie armónica generalizada, donde , por lo que la serie diverge. Veamos si se cumplen las condiciones de la prueba de Leibniz.

Escribamos los valores absolutos de los cinco primeros términos de la serie:

.

Como puedes ver, los términos de la serie decrecen en valor absoluto. Se cumple la primera prueba de Leibniz. Averigüe si el límite del término común es igual a cero:

Recibió un valor nulo. Se cumplen ambas condiciones de la prueba de Leibniz. Es decir, sobre la base de Leibniz, se produce la convergencia. Y la serie correspondiente con términos positivos diverge. Por lo tanto, esta serie converge condicionalmente.

Ejemplo 8 Determinar si una serie converge

absoluta, condicional o divergente.

Solución. A esta serie le corresponde junto a los términos positivos la serie Esta es una serie armónica generalizada, en la que, por tanto, la serie diverge. Veamos si se cumplen las condiciones de la prueba de Leibniz.

Pasamos ahora al estudio de las series cuyos miembros son números reales de cualquier signo.

Definición 1. Llamaremos a la serie

absolutamente convergente si la serie converge

Tenga en cuenta que esta definición no dice nada acerca de si se supone que la serie (1.49) converge. Resulta que tal suposición sería redundante, porque el siguiente teorema es verdadero.

Teorema 1.9. La convergencia de la serie (1.50) implica la convergencia de la serie (1.49).

Prueba. Usemos el criterio de Cauchy para la serie (es decir, el teorema 1.1). Se requiere demostrar que para cualquier existe un número tal que para todo número que satisfaga la condición y para todo número natural la desigualdad

Arreglamos cualquier. Como la serie (1.50) converge, entonces, en virtud del Teorema 1.1, existe un número tal que para todos los números que satisfacen la condición y para cualquier número natural, la desigualdad

Como el módulo de la suma de varios términos no excede la suma de sus módulos, entonces

Comparando las desigualdades (1.52) y (1.53), obtenemos las desigualdades (1.51). El teorema ha sido probado.

Definición 2. Se dice que una serie (1.49) es condicionalmente convergente si esta serie converge mientras que la serie correspondiente de los módulos (1.50) diverge.

Un ejemplo de una serie absolutamente convergente es una serie.

Esta serie converge absolutamente, porque la serie (1.33) converge en .

Pongamos un ejemplo de una serie condicionalmente convergente. Probemos la convergencia condicional de la serie

Como la serie correspondiente de módulos (la serie armónica), como ya sabemos, diverge, para probar la convergencia condicional de la serie (1.54) basta probar que esta serie converge. Probemos que la serie (1.54) converge al número . En el párrafo 2 del § 9 del Cap. 6 parte 1 hemos obtenido el desarrollo de Maclaurin de la función

En el mismo lugar, para todo х del segmento, se obtuvo la siguiente estimación del término remanente.

con (generalmente hablando) términos complejos para los cuales la serie converge

Para la convergencia absoluta de la serie (1) es necesario y suficiente (criterio de Cauchy para la convergencia absoluta de la serie) que para cualquiera exista un número tal que para todos los números y todos los enteros

Si una serie converge absolutamente, entonces converge. Hilera

absolutamente converge y una fila

converge, pero no absolutamente. Dejar

Serie compuesta por los mismos términos que la serie (1), pero tomados, en términos generales, en un orden diferente. De la convergencia absoluta de la serie (1) se sigue que número absoluto(3) y la serie (3) tiene la misma suma que la serie (1). si las filas

convergen absolutamente, entonces: cualquier combinación lineal de ellos

también converge absolutamente; la serie obtenida de todos los posibles productos por pares de los términos de estas series, dispuestos en un orden arbitrario, también converge absolutamente y su suma es igual al producto de las sumas de estas series. Las propiedades enumeradas de series absolutamente convergentes se trasladan a varias filas

converge absolutamente, es decir, todas las series obtenidas por sumatoria sucesiva de los términos de la serie (4) sobre los índices convergen absolutamente, y las sumas de la serie múltiple (4) y la serie repetida (5) son iguales y coinciden con la suma de cualquier serie única formada por todos los miembros de la serie (4 ).

Si los términos de la serie (1) son elementos de algún espacio de Banach con la norma de los elementos, entonces se llama serie (1). absolutamente convergente si la serie converge

En el caso de A. s. r elementos de un espacio de Banach, las propiedades consideradas anteriormente de series numéricas absolutamente convergentes también se generalizan, en particular, A. s. r elementos de un espacio de Banach convergen en este espacio. De manera similar, el concepto de A. s. r se traslada a múltiples series en un espacio de Banach.

Enciclopedia matemática. - M.: Enciclopedia soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vea qué es "SERIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE" en otros diccionarios:

Una serie funcional (1) con términos (generalmente) complejos, que convergen en el conjunto X, y tal que para cualquier e>0 hay un número ne, tal que para todo n>ne y toda la desigualdad se cumple donde y en otro palabras, la secuencia de parcial ... ... Enciclopedia Matemática

Contenido. 1) Definición. 2) El número determinado a continuación. 3) Convergencia y divergencia de series. 4) Convergencia condicional y absoluta. 5) Convergencia uniforme. 6) Expansión de funciones en serie. 1. Definiciones. R. es una secuencia de elementos, ... ... Diccionario Enciclopédico F.A. Brockhaus e I. A. Efrón

Una suma infinita, una secuencia de elementos (asignados a un miembro y a una serie de montañas dada) de alguna topología lineal espacios y cierto conjunto infinito de sus sumas finitas (llamadas parciales y sumas del mundo... ... Enciclopedia Matemática

Una serie, una suma infinita, por ejemplo de la forma u1 + u2 + u3 +... + un +... o, en definitiva, . (1) Uno de los ejemplos más simples de R., que ya se encuentra en las matemáticas elementales, es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente 1 + q + q 2 + ... + q ... ...

I es una suma infinita, por ejemplo, de la forma u1 + u2 + u3 + ... + un + ... o, en resumen, Uno de los ejemplos más simples de R., que ya se encuentra en las matemáticas elementales, es un infinitamente suma decreciente ... ... Gran enciclopedia soviética

Una secuencia de funciones que, en el área no sombreada, convergen al logaritmo natural (rojo). V este caso esto es N, la suma parcial de una serie de potencias, donde N indica el número de términos. Serie funcional ... Wikipedia

S es una serie múltiple, una expresión de la forma compuesta por miembros de la tabla Cada miembro de esta tabla está numerado con índices m, n, . . . , p, que recorren todos los números naturales independientemente unos de otros. Teoría K. r. similar a la teoría de las series dobles. Ver también… … Enciclopedia Matemática

Una serie de cosenos y senos de múltiples arcos, es decir, una serie de la forma o en forma compleja donde se denominan ak, bk o, respectivamente, ck. coeficientes de T. r. Por primera vez T. r. reunirse en L. Euler (L. Euler, 1744). Recibió expansiones en ser. siglo 18 en conexión con…… Enciclopedia Matemática

La serie donde son funciones que son holomorfas en algún dominio independiente de k, si es para todos, entonces se llama serie (*). cerca de Hartogs. Cualquier función que sea holomorfa en un dominio de Hartogs D de la forma se descompone en una absoluta y uniformemente convergente dentro de D². L r En su totalidad ... ... Enciclopedia Matemática

Ejemplo 2

Investiga si la serie converge.

En la medida en

Esa serie converge.

Signo integral de convergencia

El criterio integral de convergencia se expresa mediante el siguiente teorema

Teorema 1.8.

Dada una serie con términos positivos

Si para , la función es continua, positiva y no crece, pero toma los valores en los puntos, entonces la serie(1.23) e integral impropia(1.24) convergen o divergen al mismo tiempo.

Prueba.

Si , entonces , de donde

;

Si la integral (1.24) converge y , entonces para cualquier natural Por eso,

.

Dado que existe una secuencia monótonamente creciente y acotada, es decir la serie (1.23) también converge. Si la serie (1.23) converge y , entonces para cualquier .

De la igualdad (1.26) se sigue que para cualquier . La integral impropia también converge.

Con la ayuda de un criterio integral, se puede probar que la serie

(1.27)

donde es cualquier número real, converge en y diverge en .

De hecho, converge en y diverge en .

Filas alternas. signo de leibniz

signo alternando una fila se llama fila para la cual dos términos cualesquiera con números y tienen signos opuestos, es decir fila del formulario

(1.30)

Prueba.

Considere las sumas parciales de la serie (1.28) con números pares e impares:

Transformemos la primera de estas sumas:

Debido a la condición (1.29), la diferencia en cada paréntesis es positiva, por lo que la suma y para todos Por lo tanto, la secuencia de sumas incluso parciales es monótonamente creciente y acotada. Tiene un límite, que denotamos por , i.e. . En la medida en , entonces, teniendo en cuenta la igualdad y condición anterior (1.30), obtenemos

Entonces, la sucesión de sumas parciales de una serie dada, respectivamente, con números pares e impares, tienen el mismo límite. Esto implica que la secuencia de todas las sumas parciales de la serie tiene un límite; aquellos. la serie converge.

Ejemplo.

Comprobar si la serie converge

(1.31)

Esta serie es alternante de signos. Converge porque satisface las condiciones del teorema

Una estimación para el resto de una serie alterna se determina usando el siguiente teorema.

Teorema 1.10.

La suma del resto de una serie alterna que satisface las condiciones del teorema de Leibniz tiene el signo del primer término restante y no lo excede en valor absoluto.

Prueba.

Considere el resto de la serie (1.28) después de los términos. Sea su suma una suma parcial, entonces

Dado que se cumplen las condiciones del teorema 1.9, se sigue que para todos, es decir , donde

o

De manera similar, se prueba que la suma del resto de la serie después de los términos satisface las condiciones , es decir. y .

Por lo tanto, independientemente de si es par o impar

Considere una serie compuesta por módulos de miembros de esta serie:

(1.34)

Teorema 1.11.

si la fila(1.34) converge, entonces la serie converge(1.33).

Prueba.

Dado que la serie (1.34) converge, en virtud del criterio de Cauchy (Teorema 1.1) para cualquier existe tal número, entonces para todo y cualquier entero la desigualdad

.

Ese . Esto significa que la serie (1.33) también converge.

Comentario.

La convergencia de la serie (1.33) no implica la convergencia de la serie (1.34). Por ejemplo, una fila converge (ver Sec. 1.6), y la serie de módulos de sus términos diverge (serie armónica, ver Sec. 1.2).

absolutamente convergente, si converge una serie de módulos de sus términos. Por ejemplo, una fila

es absolutamente convergente, ya que la serie de módulos de sus términos converge, es decir serie (progresión geométrica con denominador , ).

La serie alterna se llama no absolutamente convergente (condicionalmente convergente), si converge y la serie de módulos de sus miembros diverge. Por ejemplo, la serie no es absolutamente convergente (ver Observación).

Acciones de fila.

El producto de una serie.

Teorema 1.12.

si la fila(1.35) converge, entonces la serie(1.36) también converge, y

(1.37)

Prueba.

Denotar por u - e sumas parciales de la serie (1.35) y (1.36), es decir

Obviamente, . Si la serie (1.35) converge y su suma es , es decir , , entonces

Además de la serie (1.35), considere la serie

también converge absolutamente y su suma es igual a

Comentario.

Las reglas para operar en series no siempre coinciden con las reglas para operar en sumas finitas. En particular, en sumas finitas, uno puede cambiar arbitrariamente el orden de los términos, agrupar los términos de cualquier manera, la suma no cambiará de esto. Los términos de la suma final se pueden sumar en orden inverso, para una serie no existe tal posibilidad, porque no tiene un último término.

No siempre es posible agrupar miembros en una serie. Por ejemplo, una fila

es divergente porque

y no hay límite a sus sumas parciales. Después de agrupar a los miembros

obtenemos una serie convergente, su suma es igual a cero. Con una agrupación diferente de miembros

obtenemos una serie convergente cuya suma es igual a uno.

Presentamos dos teoremas sin demostración.

Teorema 1.14.

Reorganizar los términos de una serie absolutamente convergente no viola su convergencia, mientras que la suma de la serie permanece igual.

Teorema 1.15.

Si una serie converge de manera no absoluta, entonces, mediante una reorganización adecuada de sus términos, siempre es posible dar a la suma de la serie un valor arbitrario e incluso hacer que la serie sea divergente.