Vjerovatnoća suprotno događaji(rad bez greške tokom vremena t) je jednako R(t) = P(T>t) = 1 - F(t).

Definicija. Funkcija pouzdanostiR(t) je funkcija koja određuje vjerovatnoću neometanog rada uređaja tokom vremena t.

Često on praksa Trajanje rada bez otkaza podliježe eksponencijalnom zakonu raspodjele.

Uopšte govoreći, Ako razmislite o novom uređaju, tada će vjerojatnost kvara na početku njegovog rada biti veća, tada će se broj kvarova smanjiti i imat će gotovo istu vrijednost neko vrijeme. Tada (kada uređaj iscrpi svoj resurs) broj kvarova će se povećati.

Drugi riječi, možemo reći da se funkcionisanje uređaja tokom čitavog njegovog postojanja (u smislu broja kvarova) može opisati kombinacijom dva eksponencijalna zakona (na početku i na kraju rada) i uniformnog zakona distribucije.

Funkcija pouzdanosti za bilo koji uređaj prema zakonu eksponencijalne distribucije jednaka je:

Ovaj omjer se zove eksponencijalni zakon pouzdanosti.

Važna nekretnina, što omogućava značajno pojednostavljenje rješavanja problema teorije pouzdanosti, jeste da je vjerovatnoća neometanog rada uređaja u vremenskom intervalu t ne zavisi od vremena prethodnog rada pre početka intervala koji se razmatra, već zavisi samo od trajanja vremena t.

Dakle način, rad uređaja bez kvara ovisi samo o stopi kvarova l i ne ovisi o nesmetanom radu uređaja u prošlosti.

Pošto ima slično svojstvo samo eksponencijalni zakon raspodjele, onda nam ova činjenica omogućava da odredimo da li je zakon raspodjele slučajne varijable eksponencijalan ili ne.

2.8 Hi-kvadrat raspodjela

Neka X i (i=1,2,…,n)- normalne nezavisne slučajne varijable, a matematičko očekivanje svake od njih je jednako nuli, a standardna devijacija jednaka jedan. Zatim zbir kvadrata ovih veličina

raspoređeni po zakonu („hi-kvadrat”) sa k=n stepeni slobode; ako su ove veličine povezane jednom linearnom relacijom, na primjer, tada je broj stupnjeva slobode k=n-1.

Gustina ove distribucije

Gdje -Gama funkcija; posebno,

Odavde to se vidi da je hi-kvadrat raspodjela određena jednim parametrom - brojem stupnjeva slobode k. Kako se broj stupnjeva slobode povećava, distribucija se polako približava normalnoj.

2.9 Distribucija studenata

Neka je Z normalna slučajna varijabla, sa M(Z)=0, s(Z)=1, a V varijabla nezavisna od Z, koja je raspoređena prema zakonu sa k stupnjeva slobode. Zatim vrijednost

ima distribuciju koja se zove t-distribucija ili Studentova raspodjela, k stupnjeva slobode. Dakle, odnos je normalizovan normalna veličina na kvadratni korijen nezavisne slučajne varijable raspoređene prema zakonu

« Hi-kvadrat sa k stepeni slobode, podijeljeno sa k, podijeljeno sa k je distribuirano prema Studentovom zakonu sa k stupnjeva slobode. . Kako se broj stupnjeva slobode povećava, distribucija se polako približava normalnoj.

2.9 Zakon normalne distribucije

Definicija. Normalno je distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustinom vjerovatnoće

Zakon normalne distribucije naziva se i Gaussov zakon.

Zakon normalne raspodjele zauzima centralno mjesto u teoriji vjerovatnoće. To je zbog činjenice da se ovaj zakon manifestira u svim slučajevima kada je slučajna varijabla rezultat djelovanja velikog broja razni faktori. Svi ostali zakoni distribucije se približavaju normalnom zakonu.

Može lako show da su parametri i uključeni u gustinu distribucije, respektivno, matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable X.

Nađimo funkciju distribucije F(x).

Grafikon gustine normalne distribucije naziva se normalna kriva ili Gausova kriva.

Normalna kriva ima sljedeća svojstva:

1 ) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj.

2 ) Pred svima X funkcija raspodjele uzima samo pozitivne vrijednosti.

3 ) Os OX je horizontalna asimptota grafa gustine vjerovatnoće, jer uz neograničeno povećanje apsolutne vrijednosti argumenta X, vrijednost funkcije teži nuli.

4 ) Nađimo ekstremum funkcije.

Jer at y’ > 0 at x< m I y'< 0 at x > m, zatim u tački x = t funkcija ima maksimum jednak .

5 ) Funkcija je simetrična u odnosu na pravu liniju x = a, jer razlika

(x - a) je uključen u funkciju gustine distribucije na kvadrat.

6 ) Da bismo pronašli prevojne tačke grafa, nalazimo drugi izvod funkcije gustoće.

At x = m+s i x = m- s drugi izvod jednak je nuli, a pri prolasku kroz ove tačke mijenja predznak, tj. u ovim tačkama funkcija ima prevojnu tačku.

Kontinuirana slučajna varijabla ima eksponencijalna (eksponencijalna )zakon raspodjele sa parametrom ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:

(12.1)

Ovo je konstantna pozitivna vrijednost. To. eksponencijalna raspodjela je određena jednim pozitivnim parametrom . Nađimo integralnu funkciju eksponencijalne distribucije:

(12.3)

Rice. 12.1. Diferencijalna eksponencijalna funkcija distribucije ()

Rice. 12.2. Kumulativna eksponencijalna funkcija distribucije ()

Numeričke karakteristike eksponencijalne distribucije

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu eksponencijalne distribucije:

Za izračunavanje varijanse koristit ćemo jedno od njegovih svojstava:

Jer , onda ostaje izračunati:

Zamjenom (12.6) u (12.5) konačno dobijamo:

(12.7)

Za slučajnu varijablu distribuiranu prema eksponencijalnom zakonu, matematičko očekivanje je jednako standardnoj devijaciji.

Primjer 1. Napišite diferencijalne i integralne funkcije eksponencijalne distribucije ako je parametar .

Rješenje. a) Gustina distribucije ima oblik:

b) Odgovarajuća integralna funkcija je jednaka:

Primjer 2. Pronađite vjerovatnoću pada u dati interval za SV distribuiran prema eksponencijalnom zakonu

Rješenje. Nađimo rješenje, zapamtite da: . Sada, uzimajući u obzir (12.3), dobijamo:

Funkcija pouzdanosti

Neki uređaj ćemo nazvati elementom, bez obzira da li je “jednostavan” ili “složen”. Pustite da element počne da radi u trenutku, a nakon određenog vremenskog perioda dolazi do kvara. Označimo sa kontinuiranim SV trajanje neometanog rada elementa. Ako element radi bez kvara (prije nego što dođe do kvara) vrijeme kraće od , onda će se, prema tome, desiti kvar tokom trajanja. dakle, vjerovatnoća neuspjeha vremensko trajanje određeno je integralnom funkcijom:

. (12.8)

Tada je vjerovatnoća rada bez otkaza za isto vremensko trajanje jednaka vjerovatnoći suprotnog događaja, tj.

Funkcija pouzdanostije funkcija koja određuje vjerovatnoću rada elementa bez greške u određenom vremenskom periodu.

Često trajanje rada elementa bez greške ima eksponencijalnu distribuciju, čija je integralna funkcija jednaka:

. (12.10)

Tada će, u slučaju eksponencijalne distribucije vremena rada elementa bez otkaza i uzimajući u obzir (12.9), funkcija pouzdanosti biti jednaka:

. (12.11)

Primjer 3. Vrijeme rada elementa bez otkaza raspoređuje se prema eksponencijalnom zakonu u (vrijeme u satima). Pronađite vjerovatnoću da će element raditi bez kvara 100 sati.

Rješenje. U našem primjeru, tada ćemo koristiti (12.11):

Zakon eksponencijalne pouzdanosti je vrlo jednostavan i pogodan za rješavanje praktičnih problema. Ovaj zakon ima sljedeće važne osobine:

Vjerojatnost rada elementa bez otkaza u vremenskom intervalu dužine ne ovisi o vremenu prethodnog rada prije početka intervala koji se razmatra, već ovisi samo o trajanju vremena(pri datoj stopi neuspjeha).

Dokažimo ovo svojstvo uvođenjem sljedećeg zapisa:

rad elementa bez kvara u intervalu od ;

Tada je događaj da element radi bez greške u intervalu trajanja. Nađimo vjerovatnoće ovih događaja koristeći formulu (12.11), uz pretpostavku da je vrijeme rada elementa bez greške podložno eksponencijalnom zakonu:

Nađimo uslovnu vjerovatnoću da će element raditi bez greške u vremenskom intervalu, pod uslovom da je već radio bez greške u prethodnom vremenskom intervalu:

(12.13)

Vidimo da rezultirajuća formula ne ovisi o , već samo o . Upoređujući (12.12) i (12.13), možemo zaključiti da je uslovna verovatnoća neometanog rada elementa u intervalu trajanja , izračunata pod pretpostavkom da je element radio bez otkaza u prethodnom intervalu, jednaka bezuslovnoj vjerovatnoća.

Dakle, u slučaju eksponencijalnog zakona pouzdanosti, rad elementa bez otkaza „u prošlosti“ ne utiče na verovatnoću njegovog rada bez otkaza „u bliskoj budućnosti“.

Elementi kombinatorike

Prostor elementarnih događaja. Slučajni događaji.

Vjerovatnoća

Savremeni koncept vjerovatnoće

Klasična probabilistička shema

Geometrijske vjerovatnoće

Zakon sabiranja vjerovatnoća

Teorema množenja vjerovatnoće

Formula ukupne vjerovatnoće

Teorema hipoteza. Bayesova formula.

Ponavljanje testova. Bernoullijeva šema.

Lokalna Moivre-Laplaceova teorema

Moivre-Laplaceova integralna teorema

Poissonova teorema (zakon rijetkih događaja)

Slučajne varijable

Funkcije distribucije

Kontinuirana slučajna varijabla i gustina distribucije

Osnovna svojstva gustine distribucije

Numeričke karakteristike jednodimenzionalne slučajne varijable

Osobine matematičkog očekivanja

Trenuci slučajne varijable

Svojstva disperzije

Iskrivljenost i eksces

Multivarijantne slučajne varijable

Svojstva dvodimenzionalne funkcije distribucije

Gustoća vjerovatnoće dvodimenzionalne slučajne varijable

Buffonov problem

Uslovna gustina distribucije

Numeričke karakteristike sistema slučajnih varijabli

Svojstva koeficijenta korelacije

Normalni (Gausov) zakon raspodjele

Vjerovatnoća pogađanja intervala

Svojstva normalne funkcije distribucije

Distribucija (hi-kvadrat)

Zakon eksponencijalne distribucije

Numeričke karakteristike eksponencijalne distribucije

Funkcija pouzdanosti

Gdje λ – konstantna pozitivna vrijednost.

Iz izraza (3.1) slijedi da je eksponencijalna raspodjela određena jednim parametrom λ.

Ova karakteristika eksponencijalne distribucije pokazuje na njega prednost u odnosu na distribucije , u zavisnosti od većeg broja parametara. Obično su parametri nepoznati i moramo pronaći njihove procjene (približne vrijednosti), naravno, Lakše je procijeniti jedan parametar nego dva ili tri, itd. . Primjer kontinuirane slučajne varijable distribuirane prema eksponencijalnom zakonu , može poslužiti kao vrijeme između pojavljivanja dva uzastopna događaja najjednostavnijeg toka.

Nađimo funkciju distribucije eksponencijalnog zakona .

Dakle

Grafovi gustoće i funkcije distribucije eksponencijalnog zakona prikazani su na Sl. 3.1.

S obzirom na to dobijamo:

Vrijednosti funkcije mogu se pronaći iz tabele.

Numeričke karakteristike eksponencijalne distribucije

Neka je kontinuirana slučajna varijablaΧ raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu

Nađimo matematičko očekivanje , koristeći formulu za izračunavanje za kontinuiranu slučajnu varijablu:

dakle:

Nađimo standardnu ​​devijaciju , za koji izdvajamo kvadratni korijen varijanse:

Upoređujući (3.4), (3.5) i (3.6), jasno je da

tj.matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije su jednaki.

Eksponencijalna raspodjela se široko koristi u raznim primjenama finansijskih i tehničkih problema, na primjer, u teoriji pouzdanosti.

4. Hi-kvadrat i Student distribucije.

4.1 Hi-kvadrat raspodjela (- distribucija)

Neka su Χ i (ί = 1, 2, ..., n) normalne nezavisne slučajne varijable , i matematičko očekivanje svakog od njih je nula , A standardna devijacija - jedinica .

Zatim zbir kvadrata ovih veličina

distribuira u skladu sa zakonomWithstepena slobode , ako su ove veličine povezane jednom linearnom relacijom, na primjer, onda je broj stupnjeva slobode

Hi-kvadrat distribucija je našla široku upotrebu u matematičkoj statistici.

Gustina ove distribucije

gdje je gama funkcija, posebno .

Ovo pokazuje da je hi-kvadrat distribucija određena jednim parametrom - broj stepena slobodek.

Kako se broj stupnjeva slobode povećava, hi-kvadrat raspodjela se polako približava normalnoj.

Hi-kvadrat raspodjela se dobija ako se uzme Erlangov zakon raspodjele λ = ½ I k = n /2 – 1.

Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable sa hi-kvadrat distribucijom, određuju se jednostavnim formulama, koje prikazujemo bez izvođenja:

Iz formule proizlazi da atHi-kvadrat distribucija se poklapa sa eksponencijalnom distribucijom kadaλ = ½ .

Kumulativna funkcija distribucije za hi-kvadrat distribuciju određuje se kroz posebne nepotpune tabelarne gama funkcije

Sl.4.1. A )Grafovi gustoće vjerovatnoće sa hi-kvadrat distribucijom

Sl.4.1. b) Grafovi funkcije distribucije sa hi-kvadrat distribucijom

4.2 Raspodjela studenata

Neka je Z normalna slučajna varijabla i

A V – vrijednost nezavisna od Z, koja je raspoređena prema hi-kvadrat zakonu sak stepena slobode veličina:

ima distribuciju tzvt -distribucija ili Studentska distribucija (pseudonim engleskog statističara W. Gosseta),

Withk = n- 1 stepen slobode (n - obim statističkog uzorkovanja pri rješavanju statističkih problema).

Dakle , omjer normalizirane normalne vrijednosti i kvadratnog korijena nezavisne slučajne varijable raspoređene prema hi-kvadrat zakonu sa k stepena slobode , podijeljena k, distribuira se prema studentskom zakonu sa k stepena slobode.

Gustina raspodjele studenata:

Razmotrimo eksponencijalnu distribuciju, izračunajmo njeno matematičko očekivanje, varijansu i medijan. Koristeći MS EXCEL funkciju EXP.DIST(), napravićemo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Hajde da generišemo niz slučajnih brojeva i procenimo parametar distribucije.

(engleski) Eksponencijalnodistribucija) često se koristi za izračunavanje vremena čekanja između nasumičnih događaja. Ispod su situacije u kojima se može koristiti Eksponencijalna distribucija :

• Vremenski intervali između pojavljivanja posetilaca u kafiću;
• Vremenski intervali normalnog rada opreme između pojave kvarova (kvarovi nastaju zbog slučajnih vanjskih utjecaja, a ne zbog habanja, vidi);
• Vrijeme provedeno u opsluživanju jednog kupca.

Generisanje slučajnih brojeva

Za generiranje niza brojeva raspoređenih po eksponencijalni zakon, možete koristiti formulu =-LN(RAND())/ λ

Funkcija RAND() generiše od 0 do 1, što tačno odgovara opsegu promena verovatnoće (vidi. primjer lista datoteka Generacija).

Ako su nasumični brojevi u rasponu B14:B213 , zatim procjenu parametra eksponencijalna distribucija λ može se uraditi pomoću formule =1/PROSEK(B14:B213) .

Zadaci

Eksponencijalna distribucijaširoko se koristi u disciplini inženjerstva pouzdanosti. Parametar λ pozvao stopa neuspjeha, A 1/ λ – prosečno vreme do otkaza .

Pretpostavimo da elektronska komponenta određenog sistema ima vijek trajanja opisan sa Eksponencijalna distribucija With stopa neuspjeha jednako 10^(-3) na sat, dakle λ = 10^(-3). Prosječno vrijeme do otkaza jednako 1000 sati. Za izračunavanje vjerovatnoće da će komponenta otkazati Prosječno vrijeme do otkaza onda morate napisati formulu:

One. rezultat ne zavisi od parametra λ .

U MS EXCEL-u rješenje izgleda ovako: =EXP.DIST(10^3, 10^(-3), TRUE)

Zadatak . Prosječno vrijeme do otkaza neka komponenta je jednaka 40 sati. Pronađite vjerovatnoću da će komponenta otkazati između 20 i 30 sati rada. =EXP.DIST(30, 1/40, TRUE)- EXP.DIST(20, 1/40, TRUE)

SAVJET: O drugim MS EXCEL distribucijama možete pročitati u članku.