Kontinuirana slučajna varijabla ima eksponencijalna (eksponencijalna )zakon raspodjele sa parametrom ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:

(12.1)

Ovo je konstantna pozitivna vrijednost. To. eksponencijalna raspodjela je određena jednim pozitivnim parametrom . Nađimo integralnu funkciju eksponencijalne distribucije:

(12.3)

Rice. 12.1. Diferencijalna eksponencijalna funkcija distribucije ()

Rice. 12.2. Kumulativna eksponencijalna funkcija distribucije ()

Numeričke karakteristike eksponencijalne distribucije

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu eksponencijalne distribucije:

Za izračunavanje varijanse koristit ćemo jedno od njegovih svojstava:

Jer , onda ostaje izračunati:

Zamjenom (12.6) u (12.5) konačno dobijamo:

(12.7)

Za slučajnu varijablu distribuiranu prema eksponencijalnom zakonu, matematičko očekivanje je jednako standardnoj devijaciji.

Primjer 1. Napišite diferencijalne i integralne funkcije eksponencijalne distribucije ako je parametar .

Rješenje. a) Gustina distribucije ima oblik:

b) Odgovarajuća integralna funkcija je jednaka:

Primjer 2. Pronađite vjerovatnoću pada u dati interval za SV distribuiran prema eksponencijalnom zakonu

Rješenje. Nađimo rješenje, zapamtite da: . Sada, uzimajući u obzir (12.3), dobijamo:

Funkcija pouzdanosti

Neki uređaj ćemo nazvati elementom, bez obzira da li je “jednostavan” ili “složen”. Pustite da element počne da radi u trenutku, a nakon određenog vremenskog perioda dolazi do kvara. Označimo sa kontinuiranim SV trajanje neometanog rada elementa. Ako element radi bez kvara (prije nego što dođe do kvara) vrijeme kraće od , onda će se, prema tome, desiti kvar tokom trajanja. dakle, vjerovatnoća neuspjeha vremensko trajanje određeno je integralnom funkcijom:

. (12.8)

Tada je vjerovatnoća rada bez otkaza za isto vremensko trajanje jednaka vjerovatnoći suprotnog događaja, tj.

Funkcija pouzdanostije funkcija koja određuje vjerovatnoću rada elementa bez greške u određenom vremenskom periodu.

Često trajanje rada elementa bez greške ima eksponencijalnu distribuciju, čija je integralna funkcija jednaka:

. (12.10)

Tada će, u slučaju eksponencijalne distribucije vremena rada elementa bez otkaza i uzimajući u obzir (12.9), funkcija pouzdanosti biti jednaka:

. (12.11)

Primjer 3. Vrijeme rada elementa bez otkaza raspoređuje se prema eksponencijalnom zakonu u (vrijeme u satima). Pronađite vjerovatnoću da će element raditi bez kvara 100 sati.

Rješenje. U našem primjeru, tada ćemo koristiti (12.11):

Zakon eksponencijalne pouzdanosti je vrlo jednostavan i pogodan za rješavanje praktičnih problema. Ovaj zakon ima sljedeće važne osobine:

Vjerojatnost rada elementa bez otkaza u vremenskom intervalu dužine ne ovisi o vremenu prethodnog rada prije početka intervala koji se razmatra, već ovisi samo o trajanju vremena(pri datoj stopi neuspjeha).

Dokažimo ovo svojstvo uvođenjem sljedećeg zapisa:

rad elementa bez kvara u intervalu od ;

Tada je događaj da element radi bez greške u intervalu trajanja. Nađimo vjerovatnoće ovih događaja koristeći formulu (12.11), uz pretpostavku da je vrijeme rada elementa bez greške podložno eksponencijalnom zakonu:

Nađimo uslovnu vjerovatnoću da će element raditi bez greške u vremenskom intervalu, pod uslovom da je već radio bez greške u prethodnom vremenskom intervalu:

(12.13)

Vidimo da rezultirajuća formula ne ovisi o , već samo o . Upoređujući (12.12) i (12.13), možemo zaključiti da je uslovna verovatnoća neometanog rada elementa u intervalu trajanja , izračunata pod pretpostavkom da je element radio bez otkaza u prethodnom intervalu, jednaka bezuslovnoj vjerovatnoća.

Dakle, u slučaju eksponencijalnog zakona pouzdanosti, rad elementa bez otkaza „u prošlosti“ ne utiče na verovatnoću njegovog rada bez otkaza „u bliskoj budućnosti“.

Elementi kombinatorike

Prostor elementarnih događaja. Slučajni događaji.

Vjerovatnoća

Savremeni koncept vjerovatnoće

Klasična probabilistička shema

Geometrijske vjerovatnoće

Zakon sabiranja vjerovatnoća

Teorema množenja vjerovatnoće

Formula ukupne vjerovatnoće

Teorema hipoteza. Bayesova formula.

Ponavljanje testova. Bernoullijeva šema.

Lokalna Moivre-Laplaceova teorema

Moivre-Laplaceova integralna teorema

Poissonova teorema (zakon rijetkih događaja)

Slučajne varijable

Funkcije distribucije

Kontinuirana slučajna varijabla i gustina distribucije

Osnovna svojstva gustine distribucije

Numeričke karakteristike jednodimenzionalne slučajne varijable

Osobine matematičkog očekivanja

Trenuci slučajne varijable

Svojstva disperzije

Iskrivljenost i eksces

Multivarijantne slučajne varijable

Svojstva dvodimenzionalne funkcije distribucije

Gustoća vjerovatnoće dvodimenzionalne slučajne varijable

Buffonov problem

Uslovna gustina distribucije

Numeričke karakteristike sistema slučajnih varijabli

Svojstva koeficijenta korelacije

Normalni (Gausov) zakon raspodjele

Vjerovatnoća pogađanja intervala

Svojstva normalne funkcije distribucije

Distribucija (hi-kvadrat)

Zakon eksponencijalne distribucije

Numeričke karakteristike eksponencijalne distribucije

Funkcija pouzdanosti

Kontinuirana slučajna varijabla $X$ poštuje zakon eksponencijalne (eksponencijalne) distribucije vjerovatnoće ako njena gustina raspodjele vjerovatnoće $f\left(x\right)$ ima sljedeći oblik:

$$f(x)=\lijevo\(\begin(matrica)
0.\ x< 0\\
\lambda e^(-\lambda x),\ x\ge 0
\end(matrica)\desno..$$

Tada funkcija distribucije:

$$F(x)=\levo\(\begin(matrica)
0.\ x< 0\\
1-e^(-\lambda x),\ x\ge 0
\end(matrix)\right.$$

Grafovi funkcija gustoće $f\left(x\right)$ i raspodjele $F\left(x\right)$ prikazani su na slici:

Za zakon eksponencijalne raspodjele, numeričke karakteristike se mogu izračunati korištenjem poznatih formula. Očekivana vrijednost I standardna devijacija jednaki su jedni drugima i jednaki $1/\lambda $, to jest:

$$M\left(X\right)=\sigma \left(X\right)=((1)\preko (\lambda )).$$

Disperzija:

$$D\levo(X\desno)=((1)\preko ((\lambda )^2)).$$

Parametar distribucije $\lambda $ u statističkom smislu karakterizira prosječan broj događaja koji se dešavaju u jedinici vremena. Dakle, ako je prosječno trajanje rada uređaja bez greške $1/\lambda $, tada će parametar $\lambda $ karakterizirati prosječan broj kvarova po jedinici vremena. Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu zakonu eksponencijalne distribucije mogu biti:

• Trajanje telefonskog razgovora;
• Vrijeme utrošeno na korisničku podršku;
• Period rada uređaja između kvarova;
• Vremenski intervali između pojavljivanja automobila na benzinskoj pumpi.

Primjer . Slučajna varijabla $X$ se distribuira prema eksponencijalnom zakonu $f\left(x\right)=\left\(\begin(matrix)
0.\ x< 0\\
5e^(-5x),\ x\ge 0
\end(matrix)\right.$. Tada je matematičko očekivanje $=$ standardna devijacija $\sigma (X)=1/\lambda =1/5=0.2$, varijansa $D(X)=1/(\lambda )^2=1/25=0 . 04.$

Primjer . Vrijeme rada uređaja je slučajna varijabla $X$, podložna eksponencijalnoj distribuciji. Poznato je da je prosječno vrijeme rada ovog uređaja 500$ sati. Kolika je vjerovatnoća da će ovaj uređaj raditi najmanje 600$ sati?

Matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ je jednako $M\left(X\right)=500=1/\lambda $, stoga parametar distribucije $\lambda =1/500=0,002.$ Možemo napisati funkcija distribucije:

$$F(x)=\levo\(\begin(matrica)
0.\ x< 0\\
1-e^(-\lambda x)=1-e^(-0,002x),\ x\ge 0
\end(matrix)\right.$$

Tada je vjerovatnoća da će uređaj raditi manje od 600$ sati jednaka:

$$P\lijevo(X\ge 600\desno)=1-P\lijevo(X< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$

U originalnim faktorima ćemo povezati faktore 1 - 7 sa faktorima iz odjeljka VI. 3 redoslijedom kojim su napisani, tj. faktor 1 je skraćenje, faktor 2 je simetrija, itd. Zatim ćemo povezati nivoe + i - faktora u tabeli. 4 sa dva nivoa faktora VI. 3 nasumično. Ovaj nasumični redoslijed postignut je korištenjem tablice slučajnih brojeva i poređenjem ovih brojeva sa 1/2. Rezultati ovog postupka prikazani su u tabeli. 5. Kombinacija tabela. 4 i 5 dat je plan u početnim faktorima datim u tabeli. 6, gdje A1, (i = 1,..., 4) označavaju nepoznate slučajne varijable koje imaju eksponencijalnu distribuciju sa parametrom br - b. Kao primjer, razmotrite kombinaciju 1 u tabeli. 6. Faktori 1 i 2 su na nivou + u tabeli. 4. Dakle, iz tab. 5 moramo uzeti skraćenu, iskrivljenu distribuciju sa podignutim repovima. U tabeli 1 vidimo da je ova raspodjela eksponencijalna distribucija slučajne varijable x. Faktor 6 je na nivou

U našem slučaju, za tehnološke proizvode, objektivni razlozi nam ne dozvoljavaju da koristimo ove zakone o distribuciji. Prvo, uslov za dobijanje normalnog zakona je zajedničko delovanje mnogih slučajnih faktora, od kojih nijedan nije dominantan. To ne odgovara uslovima rada i odbacivanja tehnoloških proizvoda, gde se nužno pojavljuju dominantni faktori. Drugo, eksponencijalni zakon zahtijeva uslove običnosti, stacionarnosti i naknadnog efekta, koji često nisu ispunjeni za ove proizvode. Konkretno, tok kvarova se ne može smatrati stacionarnim zbog njegovog promjenjivog u vremenu vjerovatnostnog režima.

Takve informacije odražavaju preovlađujuće uslove proizvodnih procesa i stoga su uzorak iz opšte populacije. Na osnovu zakona velikih brojeva, može se tvrditi da ako opća populacija poštuje određeni zakon raspodjele, onda će uzorak iz ove populacije, ako je njen volumen dovoljno velik, poštovati ovaj zakon. Najčešće je ovaj zakon nepoznat, a njegovo utvrđivanje izaziva značajne poteškoće. U takvim slučajevima prednost se daje dobro poznatim zakonima raspodjele, najčešće eksponencijalnim i normalnim.

Pod riječju nasumično podrazumijevamo da je vjerovatnoća da jedan automobil stigne na benzinsku pumpu za bilo koji kratak vremenski period, počevši u proizvoljnom trenutku / i da ima dužinu m, do unutar zanemarljivih vrijednosti, proporcionalna m sa određeni koeficijent proporcionalnosti X > 0. Vrijednost K se može tumačiti kao prosječan broj automobila koji se pojavljuju na stanici u jedinici vremena, a njena inverzna vrijednost 1L, kao prosječno vrijeme pojavljivanja jednog automobila. Vjerovatnoća da nijedan automobil neće stići u ovom vremenskom periodu smatra se približno jednakom 1 - t, a vjerovatnoća dolaska dva ili više automobila smatra se zanemarljivom u odnosu na vrijednost Yal-a. Iz napravljenih pretpostavki mogu se izvući sljedeći zaključci. Prvo, vremenski intervali / između dva uzastopna dolaska automobila zadovoljavaju eksponencijalnu distribuciju

Gubici koji nastaju zbog rada opreme za automatizaciju u ovom periodu mogu se izračunati na osnovu upotrebe teorije pouzdanosti, prema kojoj se iznenadni kvarovi definišu kao kvar sistema uslijed pojave neočekivanih, iznenadnih koncentracija vanjskih opterećenja i unutrašnjih naprezanja iznad izračunatih one. Ako su neki elementi i spojevi loše proizvedeni ili popravljeni, oni će otkazati pri manjim opterećenjima. Stoga su kvarovi neispravnih elemenata raspoređeni eksponencijalno (razmatra se Poissonova priroda raspodjele iznenadnih kvarova), s prosječnim vremenom rada nekoliko puta kraćim od ostalih elemenata.

Eksponencijalna distribucija. Ova distribucija, u pravilu, podliježe vremenu iznenadnih kvarova (tj. kvarova zbog skrivenih tehnoloških kvarova) i raspodjeli vremena između dva uzastopna kvara ako proizvodi rade u stabilnom stanju.

Razmotrimo slučaj kada je ispitivani parametar raspoređen po eksponencijalnom zakonu.

Ya. B. Shor daje sljedeću formulu za određivanje intervala povjerenja za opći prosjek u slučaju raspodjele slučajne varijable prema eksponencijalnom zakonu

Uprkos prividnoj jednostavnosti uslova pod kojima je dobijen poslednji izraz, sa teorijske tačke gledišta, pokazalo se da ih je nemoguće ispuniti za niz zanimljivih slučajeva. Ovo se dešava kada izvod g(x) u tački x = v ide u beskonačnost. Konkretno, to je slučaj sa dvostranom eksponencijalnom distribucijom, koju smo već susreli u primjerima 2 i 3 iz. U jednoj verziji konstrukcije optimalno

U ovom poglavlju ćemo pogledati najčešće korištene zakone raspodjele slučajnih varijabli, kao i glavne parametre ovih zakona. Biće date metode za pretraživanje funkcije raspodele verovatnoće slučajne varijable u slučaju neintegrabilne gustine verovatnoće, kao i algoritmi za dobijanje nizova slučajnih varijabli sa proizvoljnim zakonom raspodele, što je neophodno pri modelovanju slučajnih procesa. Posebna pažnja fokusirat će se na generaliziranu eksponencijalnu distribuciju, koja je najpogodnija za proučavanje cijena imovine.

Jedna od najvažnijih distribucija koja se nalazi u statistici je normalna raspodjela (Gaussova raspodjela), koja pripada klasi eksponencijalnih. Gustina vjerovatnoće ove distribucije

Druga vrsta eksponencijalne raspodjele, uz normalnu, je Laplaceova raspodjela, čija se gustina izražava formulom

Generalizirana eksponencijalna raspodjela.

Ranije u ovom poglavlju razmatrana su dva tipa eksponencijalnih distribucija, Gausova i Laplasova. Imaju dosta zajedničkog, simetrične su, zavise od dva parametra (//, sr),

U VI. 2 ukratko opisujemo MMR i svrhu eksperimenta, odnosno proučavanje osjetljivosti MMR-a na kršenje njegovih premisa. U VI.3 ćemo detaljno raspravljati razni faktori koji mogu uticati na ovu osetljivost. Definisaćemo nenormalnost distribucije kao faktor 1. Ovaj faktor opisuje mogućnost ili nemogućnost da slučajne varijable postanu manje od date konstante (tzv. skraćeni faktor distribucije); uzećemo asimetriju i repove distribucija kao faktor 2. Kombinovanjem faktora 1 i 2 izabraćemo četiri tipa distribucija (eksponencijalna, Erlang, ponderisana razlika dve slučajne varijable sa eksponencijalnom distribucijom i zbir razlika slučajnih varijabli sa eksponencijalnom distribucijom). Heterogenost varijansi će biti označena kao faktor 3. To znači da varijansa najbolje populacije (afki) može biti ili veća ili manja od varijanse konkurentske najgore populacije (u najnepovoljnijoj situaciji). Faktor 4 mjeri da li su dvije varijanse vrlo različite ili se uopće ne razlikuju. Faktor 5 pokazuje da li su varijanse najgorih populacija (u najnepovoljnijoj situaciji) jednake ili su sve različite. Faktor 6 određuje broj agregata (tri ili sedam), faktor 7 određuje udaljenost 8 = 6 između najboljeg i sljedećeg agregata u najnepovoljnijoj situaciji. Faktor P, koji garantuje minimalnu vrijednost vjerovatnoće pravi izbor, razmatra se

Takva informacija je uzorak iz opće populacije koja ima određeni zakon raspodjele. Često je ovaj zakon nepoznat i njegova definicija izaziva konstruktivne poteškoće. U takvim slučajevima prednost se daje dobro poznatim zakonima raspodjele, najčešće eksponencijalnim i normalnim.

zakoni distribucije. Konkretno, kod b = 1 pretvara se u eksponencijalni zakon, na b = 2 - u Rayleighov zakon, na b - = 3,25 - blizu normale. Ova okolnost omogućava korištenje istog matematičkog aparata prilikom proučavanja širokog spektra tokova kvarova proizvoda. Osim toga, ovo

Brojna istraživanja tvrde da će za kvarove tehničkih proizvoda zbog habanja, zamora, korozije i starenja, normalan ili logaritamski normalan zakon raspodjele biti sasvim zadovoljavajući, ali u slučaju iznenadnih kvarova nastalih zbog slučajnih preopterećenja, nezgoda itd. , eksponencijalni je prikladan zakon raspodjele.

Univerzalnost ovog zakona objašnjava se činjenicom da se za različite vrijednosti parametra b približava brojnim zakonima distribucije. Konkretno, kod b = pretvara se u eksponencijalni zakon, kod 6 = 2 - u Rayleighov zakon, na b = 3,25 - blizu normale.

U ovom primjeru razmatrali smo najjednostavniji slučaj: Poissonov ulazni tok, eksponencijalno vrijeme usluge, jedna servisna jedinica. Zapravo, u stvarnosti su distribucije mnogo komplikovanije, a benzinske pumpe uključuju i veći broj benzinskih stanica. Kako bi pojednostavio klasifikaciju sistema čekanja, američki matematičar D. Kendall predložio je zgodan sistem notacije koji je do danas postao široko rasprostranjen. Kendall je označio tip sistema čekanja koristeći tri simbola, od kojih prvi opisuje tip ulaznog toka, drugi - tip probabilističkog opisa sistema čekanja, a treći - broj uslužnih uređaja. Simbol M je označavao Poissonovu distribuciju ulaznog toka (sa eksponencijalnom distribucijom intervala između zahtjeva), isti simbol je korišten za eksponencijalnu distribuciju trajanja usluge. Dakle, sistem čekanja opisan i proučavan u ovom odeljku je označen kao M/M/1. M/G/3 sistem, na primjer, označava sistem sa Poissonovim ulaznim protokom, opštom (na engleskom - generalno) funkcijom raspodjele vremena usluge i tri servisna uređaja. Postoje i druge oznake: D - deterministička distribucija intervala između dolazaka zahtjeva ili trajanja usluge, E - Erlangova raspodjela reda n, itd.

Na osnovu ovde navedenih metoda za konstruisanje nizova slučajnih brojeva sa različitim distribucijama, moguće je konstruisati randl i rand2 procedure koje se koriste u programu ALGOL za proračune koristeći model benzinske stanice. Ako korišteni slučajni intervali između automobila i trajanja servisa imaju eksponencijalnu distribuciju, onda je bolje koristiti metodu inverzne funkcije, a ako postoji neka empirijska distribucija, onda metodu zasnovanu na pohranjivanju diskretnih vrijednosti u RAM računala.

Pređimo na opis vremena servisiranja automobila. Budući da vozači uzimaju različite količine benzina i razlikuju se u vještini, vrijeme servisa se teško može smatrati konstantnim. Neka je verovatnoća da će servis automobila koji se nalazi na benzinskoj pumpi u bilo kom trenutku t biti završen u malom intervalu U, f + rJ, približno jednakom JLIT, gde je i > 0. Verovatnoća da servis neće biti završen tokom ovog vremenskog perioda se smatra približno jednakim 1 - ct, a vjerovatnoća da će usluga biti završena. kada dva ili više automobila - zanemarljiva vrijednost. Onda

Gdje λ – konstantna pozitivna vrijednost.

Iz izraza (3.1) slijedi da je eksponencijalna raspodjela određena jednim parametrom λ.

Ova karakteristika eksponencijalne distribucije pokazuje na njega prednost u odnosu na distribucije , u zavisnosti od većeg broja parametara. Obično su parametri nepoznati i moramo pronaći njihove procjene (približne vrijednosti), naravno, Lakše je procijeniti jedan parametar nego dva ili tri, itd. . Primjer kontinuirane slučajne varijable distribuirane prema eksponencijalnom zakonu , može poslužiti kao vrijeme između pojavljivanja dva uzastopna događaja najjednostavnijeg toka.

Nađimo funkciju distribucije eksponencijalnog zakona .

Dakle

Grafovi gustoće i funkcije distribucije eksponencijalnog zakona prikazani su na Sl. 3.1.

S obzirom na to dobijamo:

Vrijednosti funkcije mogu se pronaći iz tabele.

Numeričke karakteristike eksponencijalne distribucije

Neka je kontinuirana slučajna varijablaΧ raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu

Nađimo matematičko očekivanje , koristeći formulu za izračunavanje za kontinuiranu slučajnu varijablu:

dakle:

Nađimo standardnu ​​devijaciju , za koji izdvajamo kvadratni korijen varijanse:

Upoređujući (3.4), (3.5) i (3.6), jasno je da

tj.matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije su jednaki.

Eksponencijalna raspodjela se široko koristi u raznim primjenama finansijskih i tehničkih problema, na primjer, u teoriji pouzdanosti.

4. Hi-kvadrat i Student distribucije.

4.1 Hi-kvadrat raspodjela (- distribucija)

Neka su Χ i (ί = 1, 2, ..., n) normalne nezavisne slučajne varijable , i matematičko očekivanje svakog od njih je nula , A standardna devijacija - jedinica .

Zatim zbir kvadrata ovih veličina

distribuira u skladu sa zakonomWithstepena slobode , ako su ove veličine povezane jednom linearnom relacijom, na primjer, onda je broj stupnjeva slobode

Hi-kvadrat distribucija je našla široku upotrebu u matematičkoj statistici.

Gustina ove distribucije

gdje je gama funkcija, posebno .

Ovo pokazuje da je hi-kvadrat distribucija određena jednim parametrom - broj stepena slobodek.

Kako se broj stupnjeva slobode povećava, hi-kvadrat raspodjela se polako približava normalnoj.

Hi-kvadrat raspodjela se dobija ako se uzme Erlangov zakon raspodjele λ = ½ I k = n /2 – 1.

Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable sa hi-kvadrat distribucijom, određuju se jednostavnim formulama, koje prikazujemo bez izvođenja:

Iz formule proizlazi da atHi-kvadrat distribucija se poklapa sa eksponencijalnom distribucijom kadaλ = ½ .

Kumulativna funkcija distribucije za hi-kvadrat distribuciju određuje se kroz posebne nepotpune tabelarne gama funkcije

Na slici 4.1. dato grafovi gustoće vjerovatnoće i funkcije raspodjele slučajne varijable koja ima hi-kvadrat raspodjelu za n = 4, 6, 10.

Sl.4.1. A )Grafovi gustoće vjerovatnoće sa hi-kvadrat distribucijom

Sl.4.1. b) Grafovi funkcije distribucije sa hi-kvadrat distribucijom

4.2 Raspodjela studenata

Neka je Z normalna slučajna varijabla i

A V – vrijednost nezavisna od Z, koja je raspoređena prema hi-kvadrat zakonu sak stepena slobode veličina:

ima distribuciju tzvt -distribucija ili Studentska distribucija (pseudonim engleskog statističara W. Gosseta),

Withk = n- 1 stepen slobode (n - obim statističkog uzorkovanja pri rješavanju statističkih problema).

Dakle , omjer normalizirane normalne vrijednosti i kvadratnog korijena nezavisne slučajne varijable raspoređene prema hi-kvadrat zakonu sa k stepena slobode , podijeljena k, distribuira se prema studentskom zakonu sa k stepena slobode.

Gustina raspodjele studenata:

Zabilježimo ovdje osnovne koncepte i formule povezane sa eksponencijalnom distribucijom kontinuirane slučajne varijable $X$ bez upuštanja u detalje njihovog izvođenja.

Definicija 1

Eksponencijalna ili eksponencijalna distribucija kontinuirane slučajne varijable $X$ je distribucija čija gustina ima oblik:

Slika 1.

Grafikon eksponencijalne gustine distribucije izgleda ovako (slika 1):

Slika 2. Grafikon gustine eksponencijalne distribucije.

Funkcija eksponencijalne distribucije

Kao što se lako može provjeriti, funkcija eksponencijalne distribucije ima oblik:

Slika 3.

gdje je $\gamma $ pozitivna konstanta.

Grafikon funkcije eksponencijalne distribucije izgleda ovako:

Slika 4. Grafikon funkcije eksponencijalne distribucije.

Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable s eksponencijalnom distribucijom

Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla padne u interval $(\alpha ,\beta)$ sa eksponencijalnom distribucijom izračunava se pomoću sljedeće formule:

Matematičko očekivanje: $M\left(X\right)=\frac(1)(\gamma ).$

Varijanca: $D\left(X\right)=\frac(1)((\gamma )^2).$

Standardna devijacija: $\sigma \left(X\right)=\frac(1)(\gamma )$.

Primjer problema eksponencijalne distribucije

Primjer 1

Slučajna varijabla $X$ poštuje zakon eksponencijalne raspodjele. Na dijelu domene definicije $\left \