V različnih vejah matematike, pa tudi pri uporabi matematike v tehnologiji, pogosto pride do situacije, ko se algebraične operacije ne izvajajo na številkah, temveč na predmetih drugačne narave. Na primer seštevanje matrik, množenje matrik, seštevanje vektorjev, operacije na polinomih, operacije na linearnih transformacijah itd.
Definicija 1. Obroč je množica matematičnih objektov, v katerih sta definirani dve dejanji - "seštevanje" in "množenje", ki povezujeta urejene pare elementov z njihovo "vsoto" in "produktom", ki sta elementa iste množice. Ti ukrepi izpolnjujejo naslednje zahteve:
1.a+b=b+a(komutativnost seštevanja).
2.(a+b)+c=a+(b+c)(asociativnost dodajanja).
3. Obstaja ničelni element 0, tako da a+0=a, za katero koli a.
4. Za kogarkoli a obstaja nasprotni element − a tako da a+(−a)=0.
5. (a+b)c=ac+bc(leva distribucija).
5".c(a+b)=ca+cb(desna distribucija).
Zahteve 2, 3, 4 pomenijo, da množica matematičnih objektov tvori skupino, skupaj s točko 1 pa imamo opravka s komutativno (Abelovo) skupino glede na seštevanje.
Kot je razvidno iz definicije, v splošni definiciji obroča ni nobenih omejitev za množenje, razen distributivnosti z dodatkom. Vendar pa je v različnih situacijah potrebno upoštevati obroče z dodatnimi zahtevami.
6. (ab)c=a(bc)(asociativnost množenja).
7.ab=ba(komutativnost množenja).
8. Obstoj enega samega elementa 1, tj. takega a·1=1· a=a, za kateri koli element a.
9. Za kateri koli element elementa a obstaja inverzni element a−1 tako, da aa −1 =a −1 a= 1.
V različnih obročih se lahko 6, 7, 8, 9 izvajajo ločeno ali v različnih kombinacijah.
Obroč se imenuje asociativen, če je izpolnjen pogoj 6, komutativen, če je izpolnjen pogoj 7, komutativen in asociativen, če sta izpolnjena pogoja 6 in 7. Obroč se imenuje obroč z identiteto, če je izpolnjen pogoj 8.
Primeri prstanov:
1. Niz kvadratnih matrik.
res. Izpolnjevanje točk 1-5, 5" je očitno. Ničelni element je ničelna matrika. Poleg tega je izpolnjena točka 6 (asociativnost množenja), točka 8 (enotski element je enotska matrika). Točki 7 in 9 niso izpolnjeni, ker je v splošnem primeru množenje kvadratnih matrik nekomutativno, pa tudi inverz kvadratne matrike ne obstaja vedno.
2. Množica vseh kompleksnih števil.
3. Množica vseh realnih števil.
4. Množica vseh racionalnih števil.
5. Množica vseh celih števil.
Definicija 2. Vsak sistem števil, ki vsebuje vsoto, razliko in zmnožek katerih koli dveh njegovih števil, se imenuje številčni obroč.
Primeri 2-5 so številski obroči. Številski obroči so tudi vsa soda števila, pa tudi vsa cela števila, brez ostanka deljiva z nekim naravnim številom n. Upoštevajte, da niz lihih števil ni obroč, ker vsota dveh lihih števil je sodo število.
se imenuje vrstni red elementa a. Če tak n ne obstaja, potem element a imenujemo element neskončnega reda.
Izrek 2.7 (Fermatov mali izrek). Če je G in je G končna skupina, potem |G| =e.
Sprejeli bomo brez dokazov.
Spomnimo se, da je vsaka skupina G, ° algebra z eno binarno operacijo, za katero so izpolnjeni trije pogoji, tj. navedene aksiome skupine.
Podmnožica G 1 množice G z enako operacijo kot v skupini se imenuje podskupina, če je G 1 , ° skupina.
Dokažemo lahko, da je neprazna podmnožica G 1 množice G podskupina skupine G, ° če in samo če množica G 1 skupaj s poljubnima elementoma a in b vsebuje element a ° b -1 .
Naslednji izrek je mogoče dokazati.
Izrek 2.8. Podskupina ciklične skupine je ciklična.
§ 7. Algebra z dvema operacijama. Prstan
Oglejmo si algebre z dvema binarnima operacijama.
Obroč je neprazna množica R, na kateri sta uvedeni dve binarni operaciji + in °, imenovani seštevanje in množenje, tako da:
1) R; + je Abelova skupina;
2) množenje je asociativno, tj. Za a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;
3) množenje je distributivno glede na seštevanje, tj. Za
a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(a ° c) in (a +b)° c= (a° c)+(b° c).
Obroč imenujemo komutativni, če je za a,b R: a ° b=b ° a.
Obroč zapišemo kot R; +, °.
Ker je R Abelova (komutativna) skupina glede na sediment, ima aditivno enoto, ki jo označimo z 0 ali θ in imenujemo ničla. Aditivni inverz R je označen z -a. Še več, v vsakem obroču R imamo:
0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.
Potem to razumemo
x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 za x R; x° y=(x + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 za y R.
Pokazali smo torej, da za x R velja: x ° 0 = 0 ° x = 0. Vendar pa iz enakosti x ° y = 0 ne sledi, da je x = 0 ali y = 0. Pokažimo to s primerom .
Primer. Oglejmo si niz funkcij, zveznih na intervalu. Uvedimo običajni operaciji seštevanja in množenja za te funkcije: f(x)+ ϕ (x) in f(x)· ϕ (x) . Kot lahko vidimo, dobimo prstan, ki je označen s C. Razmislite o funkciji f(x) in ϕ (x), prikazani na sliki. 2.3. Potem dobimo, da je f(x) ≡ / 0 in ϕ (x) ≡ / 0, vendar f(x) ϕ (x) ≡ 0.
Dokazali smo, da je produkt enak nič, če je eden od faktorjev enak nič: a ° 0= 0 za a R in na primeru pokazali, da je lahko a ° b= 0 za a ≠ 0 in b ≠ 0.
Če v obroču R velja, da je a ° b= 0, potem a imenujemo levi in b desni delitelj ničle. Element 0 smatramo za trivialni delitelj ničle.
f(x)·ϕ(x)≡0 |
|||||
ϕ(x) |
|||||
Komutativni obroč brez deliteljev ničle, razen trivialnega delitelja ničle, se imenuje integralni obroč ali območje integritete.
To je enostavno videti
0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y
in zato je x ° (-y)=(-x) ° y inverz elementa x° y, tj.
x ° (-y) = (-x)° y = -(x ° y).
Podobno se lahko pokaže, da je (- x) ° (- y) = x ° y.
§ 8. Prstan z enotnostjo
Če je v obroču R enota glede na množenje, potem to množilno enoto označimo z 1.
Enostavno je dokazati, da je multiplikativna enota (tako kot aditivna) edinstvena. Multiplikativni inverz R (inverz množenja) bo označen z a-1.
Izrek 2.9. Elementa 0 in 1 sta različna elementa neničelnega obroča R.
Dokaz. Naj R ne vsebuje samo 0. Potem imamo za a ≠ 0 a° 0= 0 in a° 1= a ≠ 0, kar implicira, da je 0 ≠ 1, ker če bi 0= 1, bi njuni produkti na a sovpadali.
Izrek 2.10. Dodatna enota, tj. 0, nima multiplikativnega obrata.
Dokaz. а° 0= 0° а= 0 ≠ 1 za а R . Tako neničelni obroč nikoli ne bo skupina pri množenju.
Karakteristika obroča R je najmanjše naravno število k
tako da je a + a + ... + a = 0 za vse a R . Značilnosti prstana
k − krat
zapisano k=char R . Če navedeno število k ne obstaja, potem nastavimo char R= 0.
Naj bo Z množica vseh celih števil;
Q – množica vseh racionalnih števil;
R – množica vseh realnih števil; C je množica vseh kompleksnih števil.
Vsaka od množic Z, Q, R, C z običajnimi operacijami seštevanja in množenja je obroč. Ti obroči so komutativni, z multiplikativno enoto, ki je enaka številu 1. Ti obroči nimajo ničelnih deliteljev, zato so domene integritete. Značilnost vsakega od teh obročev je nič.
Obroč zveznih funkcij na (obroč C) je tudi obroč z multiplikativno enoto, ki sovpada s funkcijo, ki je identično enaka ena na. Ta obroč ima delilnike nič, zato ni območje integritete in je char C= 0.
Poglejmo še en primer. Naj bo M neprazna množica in R = 2M množica vseh podmnožic množice M. Uvedimo dve operaciji na R: simetrično razliko A + B = A B (ki jo bomo imenovali seštevanje) in presečišče (ki jo bomo bo poklical množenje). Lahko se prepričate, da ste prejeli
prstan z enoto; aditivna enota tega obroča bo , množična enota obroča pa bo množica M. Za ta obroč za kateri koli A, A R velja: A+ A = A A=. Zato je charR = 2.
§ 9. Polje
Polje je komutativni obroč, katerega neničelni elementi tvorijo komutativno skupino glede na množenje.
Naj podamo neposredno definicijo polja in navedemo vse aksiome.
Polje je niz P z dvema binarnima operacijama "+" in "°", imenovanima seštevanje in množenje, tako da:
1) seštevanje je asociativno: za a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;
2) aditivna enota obstaja: 0 P, da je za P: a+0 =0 +a=a;
3) obstaja inverzni element za seštevanje: za a P (-a) P:
(-a)+a=a+(-a)=0;
4) seštevanje je komutativno: za a, b P: a+b=b+a ;
(aksiomi 1 – 4 pomenijo, da je polje Abelova skupina pri dodatku);
5) množenje je asociativno: za a, b, c P: a ° (b ° c)=(a ° b) ° c ;
6) obstaja množilna enota: 1 P, kar za P:
1 ° a=a° 1 =a;
7) za vsak neničelni element(a ≠ 0) obstaja obratni element množenja: za a P je a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;
8) množenje je komutativno: za a,b P: a ° b=b ° a ;
(aksiomi 5 – 8 pomenijo, da polje brez ničelnega elementa tvori komutativno skupino pri množenju);
9) množenje je distribucijsko glede na seštevanje: za a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).
Primeri polj:
1) R;+, - polje realnih števil;
2) Q;+, - polje racionalnih števil;
3) C;+, - polje kompleksnih števil;
4) naj bo P 2 = (0,1). Ugotovimo, da je 1 +2 0=0 +2 1=1,
1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Potem je F 2 = P 2 ;+ 2 polje in se imenuje binarna aritmetika.
Izrek 2.11. Če je a ≠ 0, potem je enačba a° x=b enolično rešljiva v polju.
Dokaz . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b
Opomba: To predavanje obravnava koncepte prstanov. Podane so osnovne definicije in lastnosti obročnih elementov ter obravnavani asociativni obroči. Obravnavani so številni značilni problemi, dokazani so glavni izreki in podani problemi za samostojno obravnavo
Prstani
Pokličemo množico R z dvema binarnima operacijama (seštevanje + in množenje). asociativni obroč z enoto, Če:
Če je operacija množenja komutativna, se kliče obroč komutativni prstan. Komutativni obroči so eden glavnih predmetov študija v komutativni algebri in algebrski geometriji.
Opombe 1.10.1.
Primeri 1.10.2 (primeri asociativnih obročev).
Videli smo že, da skupina ostankov (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, modulo n z operacijo seštevanja, je komutativna skupina (glej primer 1.9.4, 2)).
Definirajmo operacijo množenja z nastavitvijo. Preverimo pravilnost te operacije. Če je C k =C k" , C l =C l" , potem je k"=k+nu , l"=l+nv , in torej C k"l" =C kl .
Ker (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, potem je asociativni komutativni obroč z enoto C 1 obroč ostankov modulo n).
Lastnosti obročev (R,+,.)
Lema 1.10.3 (Newtonov binom). Naj bo R obroč z 1 , , . Nato:
Dokaz.
Opredelitev 1.10.4. Pokličemo podmnožico S obroča R podprstan, Če:
a) S je podskupina glede na adicij v skupini (R,+);
b) ker imamo ;
c) za obroč R z 1 se predpostavlja, da .
Primeri 1.10.5 (primeri podringov). 
Problem 1.10.6. Opišite vsa podkolesa v obroču ostankov Zn po modulu n.
Opomba 1.10.7. V obroču Z 10 elementi, ki so večkratniki števila 5, tvorijo obroč z 1, ki ni podobroč v Z 10 (ti obroči imajo različne enotske elemente).
Opredelitev 1.10.8. Če je R obroč in , ab=0, potem se element a imenuje levi ničelni delilnik v R, element b pa desni ničelni delilnik v R.
Opomba 1.10.9. V komutativnih obročih seveda ni razlike med levim in desnim deliteljem nič.
Primer 1.10.10. V Z, Q, R ni ničelnih deliteljev.
Primer 1.10.11. Obroč zveznih funkcij C ima ničelne delilnike. Res, če
potem , , fg=0 .
Primer 1.10.12. Če je n=kl, 1 Lema 1.10.13. Če v obroču R ni (levih) deliteljev ničle, potem iz ab=ac , kjer je Dokaz. Če je ab=ac, potem je a(b-c)=0. Ker a ni levi ničelni delilec, potem je b-c=0, tj. b=c. Opredelitev 1.10.14. Element se imenuje nilpotenten, če je x n =0 za nekatere Jasno je, da je nilpotentni element ničelni delilnik (če je n>1, potem Vaja 1.10.15. Obroč Z n vsebuje nilpotentne elemente, če in samo če je n deljiv z m 2 , kjer je , . Opredelitev 1.10.16. Imenuje se element x obroča R idempotenten, če je x 2 =x . Jasno je, da je 0 2 =0, 1 2 =1. Če je x 2 =x in , potem je x(x-1)=x 2 -x=0, zato so netrivialni idempotenti delilniki ničle. Z U(R) označujemo množico invertibilnih elementov asociativnega obroča R, tj. tistih, za katere obstaja inverzni element s=r -1 (tj. rr -1 =1=r -1 r ). Neprazna množica TO, na katerem sta podani dve binarni operaciji - seštevanje (+) in množenje ( ), ki izpolnjujeta pogoje: 1) glede operacije seštevanja TO- komutativna skupina; 2) glede operacije množenja TO- polskupina; 3) operaciji seštevanja in množenja sta povezani z zakonom distributivnosti, tj. . (a+b)c=ac+bc, c(a+b) =ca+cb za vse a, b, c K, poklical prstan (K,+, ). Struktura (ZA,+) se imenuje aditivna skupina prstani. Če je operacija množenja komutativna, tj. ab=ba. za vse A, b, potem se kliče prstan komutativni. Če glede na operacijo množenja obstaja enotski element, ki je v obroču običajno označen z enoto 1,. potem to pravijo TO Tukaj je prstan z enim. Podmnožica L obroča se imenuje pod prstanom,če L je podskupina aditivne skupine obroča in L je zaprta pod operacijo množenja, torej za vse a, b L je izvršen a+b L in ab L. Presek podobročev bo podobroč. Potem, kot v primeru skupin, v podobroču, ustvarjena veliko S K, imenujemo presečišče vseh podobrocev TO, ki vsebuje S. 1. Množica celih števil glede na operaciji množenja in seštevanja je (Z, +, )-komutativni obroč. Kompleti nZ cela števila, deljiva z P, bo podzvok brez enotnosti za n>1. Podobno so množice racionalnih in realnih števil komutativni obroči z enoto. 2. Množica kvadratnih matrik reda p glede na operacije seštevanja in množenja matrik obstaja obroč z enoto E- enotska matrika. pri n>1 je nekomutativno. 3. Naj bo K poljuben komutativni obroč. Upoštevajmo vse možne polinome s spremenljivo X in koeficientov a 0, a 1, a 2,..., in n, od TO. Glede na algebraične operacije seštevanja in množenja polinomov je to komutativni obroč. To se imenuje obroč polinomov K iz spremenljivke X nad obročem TO(na primer nad obročem celih, racionalnih, realnih števil). Obroč polinomov je definiran podobno K od T spremenljivke kot obroč polinomov v eni spremenljivki x t nad obročem K. 4. Naj X- poljuben nabor, TO-poljubni obroč. Razmislite o množici vseh funkcij f: X K, definirana na množici X z vrednostmi v TO Vsoto in zmnožek funkcij definirajmo kot običajno z enačbami (f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x), kjer sta operaciji + in - v obroču TO. Preprosto je preveriti, ali so izpolnjeni vsi pogoji, vključeni v definicijo obroča, in da bo konstruirani obroč komutativen, če je prvotni obroč komutativen K. To se imenuje obroč funkcij na setu X z vrednostmi v obroču TO. Številne lastnosti obročev so ponovne izjave ustreznih lastnosti skupin in polskupin, na primer: a m a n =a m + n, (a t) p = a tp za vse m, n in vsi a. Druge posebne lastnosti prstanov modelirajo lastnosti števil: 1) za vse a a 0=0 a=0; 2) .(-а)b=а(-b)=-(ab); 3) - a=(-1)a. res: 2) 0=a(podobno (-a)b=-(ab)); 3) z uporabo druge lastnosti imamo- a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a. Polje V obročih celih, racionalnih in realnih števil, iz dejstva, da je produkt ab=0, iz tega sledi, da bodisi A=0, oz b=0. Toda v obroču kvadratnih matrik reda n>1 ta lastnost ni več izpolnjena, saj je na primer = . Če v ringu K ab=0 pri A 0, b, To A se imenuje levo in b- prav ničelni delilnik.Če v TO ni ničelnih deliteljev (razen elementa 0, ki je trivialni ničelni delilnik), potem K imenovan prstan brez ničelnih deliteljev. 1. V funkcijskem obroču f: R R na množici realnih števil R upoštevajte funkcije f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Za njih f 1 (x)=0 pri x in f 2(x)=0 pri x, in s tem izdelek f 1 (x) f 2 (x)- vendar nična funkcija f 1 (x) in f 2(x) . Zato ima ta obroč ničelne delilnike. 2. Razmislite o naboru parov celih števil ( a, b), v katerem sta določeni operaciji seštevanja in množenja: (a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2); (a 1, b 1)(a 2, b 2)= (a 1 a 2, b 1 b 2). Ta množica tvori komutativni obroč z enoto (1,1) in ničelnimi delilniki, saj je (1,0)(0,1)=(0,0). Če v obroču ni ničelnih deliteljev, potem je v njem izpolnjen zakon odpovedi, tj. ab=ac, a=c. res, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c. Pustiti TO- prstan, z enoto. Element A klical reverzibilen,če tak element obstaja a -1, za katere aa -1 =a -1 a=1. Invertibilni element ne more biti ničelni delilnik, ker. če ab=0
, To a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(podoben ba=0 ). Izrek. Vsi invertibilni elementi obroča K z identiteto tvorijo skupino pri množenju. Dejansko množenje v TO asociativno je enota vsebovana v množici invertibilnih elementov in produkt ne izhaja iz množice invertibilnih elementov, saj če A in b so reverzibilne, torej Pomembno algebraično strukturo tvorijo komutativni obroči TO, v kateri je vsak neničelni element obrnljiv, tj. glede na operacijo množenja je množica K\(0) tvori skupino. V takšnih obročih so definirane tri operacije: seštevanje, množenje in deljenje. komutativni obroč R z enoto 1 0, v kateri je vsak neničelni element obrnljiv, se imenuje polje. Glede na množenje tvorijo vsi neničelni elementi polja skupino, imenovano multiplikativna skupina polja. delo ab -1 je zapisan kot ulomek in je smiseln le, če b 0. Element je edina rešitev enačbe bx=a. Operacije z ulomki sledijo pravilom, ki so nam znana: Dokažimo na primer drugega od njih. Pustiti x= in y=- rešitve enačb bx=a, dy=c. Iz teh enačb sledi dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=- edina rešitev enačbe bdt=da+bc. 1. Obroč celih števil ne tvori polja. Polje je množica racionalnih števil in množica realnih števil. 8.7. Naloge za samostojno delo v 8. poglavju 8.1. Ugotovite, ali je operacija iskanja skalarnega produkta vektorjev v n-dimenzionalnem evklidskem prostoru komutativna in asociativna. Svoj odgovor utemelji. 8.2. Ugotovite, ali je množica kvadratnih matrik reda n glede na operacijo množenja matrik skupina ali monoid. 8.3. Označite, katere od naslednjih množic tvorijo skupino glede na operacijo množenja: a) niz celih števil; b) množica racionalnih števil; c) množico realnih števil, različnih od nič. 8.4. Ugotovite, katera od naslednjih struktur tvori niz kvadratnih matrik reda n z determinanto, enako ena: glede na običajne operacije seštevanja in množenja matrik: skupina; b) prstan; 8.5. Pokažite, kakšno strukturo tvori množica celih števil glede na operaciji množenja in seštevanja: a) nekomutativni obroč; b) komutativni obroč; 8.6. Katero od naslednjih struktur tvori množica matrik oblike z realnima a in b glede na običajne operacije seštevanja in množenja matrik: obroč; 8.7. Katero število je treba izključiti iz množice realnih števil, tako da preostala števila tvorijo skupino glede na običajno operacijo množenja: 8.8. Ugotovite, katera od naslednjih struktur tvori niz, sestavljen iz dveh elementov a in e, z binarno operacijo, definirano na naslednji način: ee=e, ea=a, ae=a, aa=e. skupina; b) Abelovo skupino. 8.9. Ali so soda števila obroč glede na običajne operacije seštevanja in množenja? Svoj odgovor utemelji. 8.10. Ali je obroč množica števil v obliki a+b, kjer sta a in b poljubni racionalni števili, glede na operaciji seštevanja in množenja? Odgovor utemelji. DEFINICIJA IN PRIMERI SKUPINE. Odr1 Naj bo G neprazna množica elementov poljubne narave. G se imenuje skupina 1) Bao ° je podan na množici G. 2) bao ° je asociativen. 3) Obstaja nevtralni element nÎG. 4) Za vsak element iz G vedno obstaja element, ki mu je simetričen in prav tako pripada G. Primer. Množica Z – števil z operacijo +. Odr2.Skupina se imenuje abelski, če je komutativna glede na dani bao°. Primeri skupin: 1) Z,R,Q "+" (Z+) Najenostavnejše lastnosti skupin V skupini je samo en nevtralni element V skupini je za vsak element en sam element, ki mu je simetričen Naj bo G skupina z bao °, potem so enačbe oblike: a°x=b in x°a=b (1) sta rešljiva in imata edinstveno rešitev. Dokaz. Oglejmo si enačbe (1) za x. Očitno za $! a". Ker je operacija ° asociativna, potem je očitno x=b°a" edina rešitev. 34. PARITETA PODPOSTAJE* Definicija 1. Zamenjava se imenuje celo, če se razgradi na produkt sodega števila transpozicij, sicer pa lihega. 1. stavek.Zamenjava Je celo<=>- celo permutacija. Zato je število sodih zamenjav od n števil je enako n!\2. 2. stavek. Substituciji f in f - 1 imata enak paritetni značaj. > Dovolj je preveriti, da je if produkt transpozicij, torej< primer: PODSKUPINA. KRITERIJ PODSKUPINE. Def. Naj bo G skupina z bao° in neprazno podmnožico HÌG, potem se H imenuje podskupina G, če je H podskupina glede na bao° (tj. ° je bao na H. In H s to operacijo je skupina). Izrek (kriterij podskupine). Naj bo G skupina glede na operacijo°, ƹHÎG. H je podskupina<=>"h 1 ,h 2 ОH je izpolnjen pogoj h 1 °h 2 "ОH (kjer je h 2 " simetričen element h 2). Doc. =>: Naj bo H podskupina (morate dokazati, da je h 1 °h 2 "ОH). Vzemite h 1 ,h 2 ОH, nato h 2 "ОH in h 1 °h" 2 ОH (ker je h" 2 simetričen element do h 2). <=:
(morate dokazati, da je H podskupina). Ker je H¹Æ , potem obstaja vsaj en element. Vzemimo hÎH, n=h°h"ОH, torej nevtralni element nОH. Za h 1 vzamemo n, za h 2 pa h, nato pa h"ОH Þ " hОH simetrični element h pripada tudi H. Dokažimo, da sestava poljubnih elementov iz H pripada H. Vzemimo h 1 in kot h 2 vzemimo h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH. Primer. G=S n , n>2, α - nek element iz X=(1,…,n). Kot H vzamemo neprazno množico H= S α n =(fО S n ,f(α)=α), pod delovanjem preslikave iz S α n α ostane na mestu. Preverjamo po merilih. Vzemimo katerikoli h 1 ,h 2 ОH. Izdelek h 1. h 2 "ОH, tj. H je podskupina, ki se imenuje stacionarna podskupina elementa α. RING, POLJE. PRIMERI. Def. Pustiti TO neprazna množica z dvema algebrskima operacijama: seštevanjem in množenjem. TO klical prstan, če so izpolnjeni naslednji pogoji: 1)
TO -
Abelova skupina (komutativna glede na dani bao °) glede na seštevanje; 2) množenje je asociativno; 3)
množenje je distributivno glede na seštevanje(). Če je množenje komutativno, potem TO klical komutativni obroč. Če obstaja nevtralni element glede na množenje, potem TO klical prstan z enim. Primeri. 1) Množica celih števil Z tvori obroč glede na običajne operacije seštevanja in množenja. Ta obroč je komutativen, asociativen in ima identiteto. 2) Množici Q racionalnih števil in R realnih števil sta polji glede na običajne operacije seštevanja in množenja števil. Najenostavnejše lastnosti prstanov. 1. Ker TO je torej Abelova skupina pri dodatku TO prenesejo se najpreprostejše lastnosti skupin. 2. Množenje je porazdelitveno glede na razliko: a(b-c)=ab-ac. Dokaz. Ker ab-ac+ac=ab in a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, potem a(b-c)=ab-ac. 3. Obroč ima lahko delilnike nič, tj. ab=0, vendar iz tega ne sledi a=0 b=0. Na primer, v obroču matrik velikosti 2´2 so elementi, ki niso enaki nič, tako da bo njihov produkt enak nič: , kjer - igra vlogo ničelnega elementa. 4. a·0=0·а=0. Dokaz. Naj bo 0=b-b. Potem je a(b-b)=ab-ab=0. Podobno je 0·a=0. 5. a(-b)=(-a) b=-ab. Dokaz: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0. 6. Če v ringu TO obstaja enota in je sestavljena iz več kot enega elementa, potem enota ni enaka nič, kjer je 1─ nevtralen element pri množenju; 0 ─ nevtralni element, ko je dodan. 7. Naj TO obroč z istovetnostjo, potem množica invertibilnih elementov obroča tvori skupino glede na množenje, ki se imenuje multiplikativna skupina obroča K in označujejo K*. Def. Komutativni obroč z identiteto, ki vsebuje vsaj dva elementa, v katerem je vsak neničelni element obrnljiv, se imenuje polje. Najenostavnejše lastnosti polja 1. Ker polje je obroč, potem se vse lastnosti obročev prenesejo na polje. 2. V polju ni ničelnih deliteljev, tj. če je ab=0, potem je a=0 ali b=0. Dokaz. Če a¹0, potem $ a -1. Upoštevajte a -1 (ab)=(a -1 a)b=0 , in če a¹0 , potem b=0, podobno, če b¹0 3. Enačba oblike a´x=b, a¹0, b – poljubna, v polju ima enolično rešitev x= a -1 b ali x=b/a. Rešitev te enačbe imenujemo delna rešitev. Primeri. 1)PÌC, P - številsko polje. 2)P=(0;1);
, , sledi, da je b=c (tj. zmožnost črtanja z neničelnim elementom na levi, če ni levih ničelnih deliteljev; in na desni, če ni desnih ničelnih deliteljev).
. Najmanjše naravno število n imenujemo stopnja nilpotentnosti elementa .
, ). Obratna trditev ne drži (v Z 6 ni nilpotentnih elementov, vendar so 2, 3, 4 neničelni delilniki ničle).
(ab) -1 =b -1 a -1 .
