Eilė

Tegu pateikiama serija ∑ a n (\ rodymo stilius \ suma a_ (n)) ir α = lim ¯n → ∞ ⁡ | a n | n (\ displaystyle \ alpha = \ varlimsup _ (n \ to \ infty) (\ sqrt [(n)] (| a_ (n) |)))... Tada

Teiginys apie konvergenciją Cauchy ir d'Alembert testuose yra išvestas iš palyginimo su geometrine progresija (su vardikliais lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\ displaystyle \ varlimsup _ (n \ to \ infty) \ left | (\ frac (a_ (n + 1)) (a_ (n))) \ dešinė |) ir α (\ ekrano stilius \ alfa) atitinkamai), dėl divergencijos – nuo ​​to, kad bendras serijos terminas nėra linkęs į nulį.

Koši testas yra stipresnis už d'Alembert testą ta prasme, kad jei d'Alembert testas rodo konvergenciją, tai Cauchy testas rodo konvergenciją; jei Koši testas neleidžia daryti išvados apie konvergenciją, tai d'Alembert testas taip pat neleidžia daryti jokių išvadų; yra eilučių, kurioms Cauchy testas rodo konvergenciją, o d'Alembert testas nerodo konvergencijos.

Integral Cauchy – Maclaurin testas

Tegu pateikiama serija ∑ n = 1 ∞ a n, a n ⩾ 0 (\ displaystyle \ summa _ (n = 1) ^ (\ infty) a_ (n), a_ (n) \ geqslant 0) ir funkcija f (x): R → R (\ ekrano stilius f (x): \ mathbb (R) \ to \ mathbb (R)) tokia, kad:

Tada serija ∑ n = 1 ∞ a n (\ ekrano stilius \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) a_ (n)) ir integralas ∫ 1 ∞ f (x) d x (\ displaystyle \ int \ limits _ (1) ^ (\ infty) f (x) dx) suartėti arba skirtis vienu metu, ir ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ an ⩾ ∫ k ∞ f (x) dx ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ an (\ displaystyle \ forall k \ geqslant 1 \ \ sum _ (n = k) ) a_ (n) \ geqslant \ int \ limits _ (k) ^ (\ infty) f (x) dx \ geqslant \ suma _ (n = k + 1) ^ (\ infty) a_ (n))

Raabės ženklas

Tegu pateikiama serija ∑ a n (\ rodymo stilius \ suma a_ (n)), a n> 0 (\ displaystyle a_ (n)> 0) ir R n = n (a n a n + 1 - 1) (\ displaystyle R_ (n) = n \ left ((\ frac (a_ (n))) (a_ (n + 1))) - 1 \ right)).

Raabės testas paremtas palyginimu su apibendrinta harmonikų serija

Virš eilučių

Pavyzdžiai

Apsvarstykite seriją 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +. ... ... (\ displaystyle (\ frac (1) (2)) + (\ frac (1) (3)) + (\ frac (1) (2 ^ (2))) + (\ frac (1) (3 ^ () 2))) + (\ frac (1) (2 ^ (3))) + ...)... Šiai eilutei:

Taigi Cauchy testas rodo konvergenciją, o d'Alembert testas neleidžia daryti jokių išvadų.

Apsvarstykite seriją ∑ n = 1 ∞ 2 n - (- 1) n (\ rodymo stilius \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) 2 ^ (n - (- 1) ^ (n)))

Taigi Koši ženklas rodo skirtumą, o d'Alembert ženklas neleidžia daryti jokių išvadų.

Eilė ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\ displaystyle \ summa _ (n = 1) ^ (\ infty) (\ frac (1) (n ^ (\ alfa)))) susilieja ties α> 1 (\ displaystyle \ alpha> 1) ir skiriasi ties α ⩽ 1 (\ displaystyle \ alfa \ leqslant 1), bet:

Taigi Cauchy ir D'Alembert ženklai neleidžia daryti jokių išvadų.

Eilė ∑ n = 1 ∞ (- 1) n n (\ ekrano stilius \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) (\ frac ((-1) ^ (n)) (n))) konverguoja sąlyginai pagal Leibnizo kriterijų, bet ne absoliučiai, nes harmoninė eilutė ∑ n = 1 ∞ | (- 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\ ekrano stilius \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) \ left | (\ frac ((-1) ^ (n)) (n)) \ dešinė | = \ suma _ (n = 1) ^ (\ infty) (\ frac (1) (n))) skiriasi.

, yra neapribotas kairėje taško kaimynystėje b (\ displaystyle b)... Netinkamas antrojo tipo integralas ∫ a b f (x) d x (\ ekrano stilius \ int \ ribos _ (a) ^ (b) f (x) dx) paskambino absoliučiai konvergencija jei integralas ∫ a b | f (x) | d x (\ displaystyle \ int \ limits _ (a) ^ (b) | f (x) | dx).

Kintamos eilutės yra eilutės, kurių sąlygos yra pakaitomis teigiamos ir neigiamos. ... Dažniausiai svarstomos kintamos serijos, kuriose nariai kaitaliojasi per vieną: po kiekvieno teigiamo seka neigiamas, po kiekvieno neigiamo – teigiamas. Tačiau yra kintamų eilučių, kuriose nariai kaitaliojasi dviem, trimis ir pan.

Apsvarstykite kintamos serijos pavyzdį, kurio pradžia atrodo taip:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

ir iš karto bendrosios kintamų eilučių rašymo taisyklės.

Kaip ir bet kurios serijos atveju, norint tęsti šią seriją, reikia nurodyti funkciją, kuri nustato bendrą serijos terminą. Mūsų atveju taip yra n + 2 .

O kaip nustatyti eilės narių ženklų kaitą? Funkciją tam tikru mastu padauginus iš minus vieneto. Kokiu laipsniu? Iš karto pabrėžiame, kad ne kiekvienas laipsnis suteikia serialo nariams ženklų kaitą.

Tarkime, kad norime, kad pirmasis kintamos eilutės narys būtų teigiamas, kaip yra anksčiau pateiktame pavyzdyje. Tada minus vienas turi būti valdžioje n– 1. Pradėkite keisti skaičius šioje išraiškoje, pradedant vienu ir gausite kaip eksponentas prie minus vieno, tada lyginis, tada nelyginis skaičius... Štai kas yra būtina sąlygaženklų kaitaliojimas! Mes gauname tą patį rezultatą n+1. Jei norime, kad pirmasis kintamosios serijos narys būtų su neigiamu ženklu, tada šią eilutę galime apibrėžti bendrojo nario funkciją padauginę iš vieneto iš laipsnio n... Gauname lyginį, tada nelyginį skaičių ir pan. Kaip matote, jau aprašyta kintamų ženklų sąlyga yra įvykdyta.

Taigi aukščiau pateiktą kintamą seriją galime parašyti bendra forma:

Kintamiems serijos nario požymiams laipsnis minus vienas gali būti suma n ir bet koks teigiamas arba neigiamas, lyginis arba nelyginis skaičius. Tas pats pasakytina ir apie 3 n , 5n, ... Tai yra, kintamos serijos narių ženklų kaitaliojimas suteikia laipsnį minus vienetu sumos pavidalu n, padauginta iš bet kurio nelyginio skaičiaus ir bet kurio skaičiaus.

Kokios galios minus vienas neužtikrina serialo narių ženklų kaitos? Tie, kurie yra formoje n, padauginta iš bet kurio lyginio skaičiaus, prie kurio pridedamas bet koks skaičius, įskaitant nulį, lyginį arba nelyginį. Tokių laipsnių rodiklių pavyzdžiai: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... Tokių laipsnių atveju, priklausomai nuo to, prie kokio skaičiaus pridedamas "en", padaugintas iš lyginio skaičiaus, gaunami arba tik lyginiai arba tik nelyginiai skaičiai, o tai, kaip jau išsiaiškinome, neduokite serialo narių ženklų kaitos ...

Eilių kaitaliojimas – ypatingas atvejis kintamos eilutės . Kintamos eilutės yra eilutės su savavališkų simbolių nariais , tai yra tie, kurie gali būti teigiami ir neigiami bet kokia seka. Kintamos serijos pavyzdys:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Toliau apsvarstykite kintamų ir kintamų eilučių konvergencijos kriterijus. Sąlyginę kintamų eilučių konvergenciją galima nustatyti naudojant Leibnizo testą. O platesniam serijų diapazonui – kintamosioms (taip pat ir kintamosioms) – galioja absoliučios konvergencijos ženklas.

Kintamųjų eilučių konvergencija. Leibnizo ženklas

Kintamoms eilutėms taikomas toks konvergencijos kriterijus – Leibnizo kriterijus.

Teorema (Leibnizo testas). Eilutė konverguoja ir jos suma neviršija pirmojo nario, jei vienu metu įvykdomos šios dvi sąlygos:

• kintamosios serijos narių absoliučios vertės mažėja: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n>...;
• jo bendro termino riba su neribotu padidėjimu n yra nulis.

Pasekmė. Jei kintamosios eilutės suma laikoma jos suma n terminų, tuomet šiuo atveju leidžiama paklaida neviršys absoliučios pirmojo išmesto termino reikšmės.

1 pavyzdys. Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas. Tai kintamoji eilutė. Jos narių absoliučios vertės mažėja:

ir bendro termino riba

lygus nuliui:

Tenkinamos abi Leibnizo kriterijaus sąlygos, todėl eilutė suartėja.

2 pavyzdys. Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas. Tai kintamoji eilutė. Pirmiausia įrodysime, kad:

, .

Jeigu N= 1, tada visiems n > N nelygybė 12 n − 7 > n... Savo ruožtu visiems n... Taigi, tai yra, eilutės sąlygos mažėja absoliučia verte. Raskime serijos bendrojo termino ribą (taikant L'Hôpital taisyklė):

Bendra termino riba yra nulis. Tenkinamos abi Leibnizo kriterijaus sąlygos, todėl atsakymas į konvergencijos klausimą yra teigiamas.

3 pavyzdys. Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas. Pateikiama kintamoji eilutė. Išsiaiškinkime, ar tenkinama pirmoji Leibnizo kriterijaus sąlyga, tai yra reikalavimas. Kad reikalavimas būtų įvykdytas, būtina, kad

Įsitikinome, kad reikalavimas būtų įvykdytas visiems n > 0 ... Pirmasis Leibnizo testas galioja. Raskime serijos bendro termino ribą:

.

Riba nėra nulis. Taigi antroji Leibnizo kriterijaus sąlyga neįvykdyta, todėl konvergencija negali būti svarstoma.

4 pavyzdys. Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas. Šioje serijoje po dviejų neigiamų terminų seka du teigiami. Ši eilutė taip pat yra kintamoji. Išsiaiškinkime, ar įvykdyta pirmoji Leibnizo testo sąlyga.

Reikalavimas įvykdytas visiems n > 1 ... Pirmasis Leibnizo testas galioja. Išsiaiškinkime, ar bendrojo nario riba lygi nuliui (naudodami L'Hôpital taisyklę):

.

Gavome nulį. Taigi tenkinamos abi Leibnizo kriterijaus sąlygos. Vyksta konvergencija.

5 pavyzdys. Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas. Tai kintamoji eilutė. Išsiaiškinkime, ar įvykdyta pirmoji Leibnizo testo sąlyga. Nes

,

Nes n ≥ 0 tada 3 n+ 2> 0. Savo ruožtu visiems n, Štai kodėl . Vadinasi, eilutės sąlygos mažėja absoliučia verte. Pirmasis Leibnizo testas galioja. Išsiaiškinkime, ar serijos bendrojo nario riba yra lygi nuliui (naudodami L'Hôpital taisyklę):

.

Gavo nulinę vertę. Tenkinamos abi Leibnizo kriterijaus sąlygos, todėl ši eilutė suartėja.

6 pavyzdys. Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas. Išsiaiškinkime, ar tenkinama pirmoji Leibnizo testo sąlyga šiai kintamajai serijai:

Eilutės nariai mažėja absoliučia verte. Pirmasis Leibnizo testas galioja. Išsiaiškinkime, ar bendrojo nario riba lygi nuliui:

.

Bendra termino riba nėra nulis. Antroji Leibnizo charakteristikos sąlyga neįvykdyta. Todėl ši serija skiriasi.

Leibnizo ženklas yra ženklas sąlyginė eilučių konvergencija... Tai reiškia, kad aukščiau nagrinėtas išvadas apie kintamų ženklų serijų konvergenciją ir divergenciją galima papildyti: šios eilutės suartėja (arba skiriasi) sąlyginai.

Absoliuti kintamųjų eilučių konvergencija

Tegul eilė

- pakaitomis. Apsvarstykite seriją, sudarytą iš absoliučių jos narių verčių:

Apibrėžimas. Serija vadinama absoliučiai konvergentine, jei seka, sudaryta iš jos narių absoliučių verčių, susilieja. Jei kintamoji eilutė suartėja, o serija, sudaryta iš jos narių absoliučių verčių, skiriasi, tada tokia kintamoji eilutė vadinama sąlygiškai arba neabsoliučiai konvergencinis .

Teorema. Jei serija yra absoliučiai konverguojanti, ji konverguoja ir sąlygiškai.

7 pavyzdys. Nustatykite, ar serija susilieja

Sprendimas. Šią seriją šalia teigiamų narių atitinka serialas This apibendrinta harmoninė serija, kuriame todėl serija skiriasi. Patikrinkime Leibnizo kriterijaus sąlygų laikymąsi.

Parašykime pirmųjų penkių serijos narių absoliučias vertes:

.

Kaip matote, eilutės sąlygos mažėja absoliučia verte. Pirmasis Leibnizo testas galioja. Išsiaiškinkime, ar bendrojo nario riba lygi nuliui:

Gavo nulinę vertę. Abi Leibnizo kriterijaus sąlygos yra įvykdytos. Tai yra, pagal Leibnizo kriterijų vyksta konvergencija. Ir atitinkamos serijos skiriasi teigiamais terminais. Vadinasi, ši serija konverguoja sąlyginai.

8 pavyzdys. Nustatykite, ar serija susilieja

absoliučiai, sąlygiškai arba skiriasi.

Sprendimas. Šią seriją šalia teigiamų terminų atitinka serija Tai apibendrinta harmoninė serija, kurioje, todėl serijos skiriasi. Patikrinkime Leibnizo kriterijaus sąlygų laikymąsi.

Dabar kreipiamės į serijų tyrimą, kurių terminai yra bet kurio ženklo realieji skaičiai.

Apibrėžimas 1. Mes vadinsime serijas

absoliučiai susiliejanti, jei serija

Atkreipkite dėmesį, kad šis apibrėžimas nieko nepasako apie tai, ar tai reiškia pačios eilutės (1.49) konvergenciją. Pasirodo, tokia prielaida būtų nereikalinga, nes ši teorema yra teisinga.

1.9 teorema. Eilučių konvergencija (1,50) reiškia eilučių (1,49) konvergenciją.

Įrodymas. Eilėms naudojame Koši kriterijų (t. y. 1.1 teorema). Būtina įrodyti, kad bet kuriam yra toks skaičius, kad visiems skaičiams, atitinkantiems sąlygą, ir bet kuriam natūraliajam skaičiui yra nelygybė

Taisome bet kurią. Kadangi eilutė (1.50) konverguoja, pagal 1.1 teoremą yra toks skaičius, kad visiems skaičiams, atitinkantiems sąlygą, ir bet kuriam natūraliajam skaičiui nelygybė

Kadangi kelių narių sumos modulis neviršija jų modulių sumos, tai

Palyginus nelygybes (1,52) ir (1,53), gauname nelygybes (1,51). Teorema įrodyta.

Apibrėžimas 2. Serija (1.49) vadinama sąlyginai konvergentine, jei ši eilutė konverguoja, o atitinkama modulių serija (1.50) skiriasi.

Absoliučiai konvergencinės serijos pavyzdys yra serija.

Ši eilutė absoliučiai suartėja, nes eilutė (1,33) suartėja ties.

Pateiksime sąlygiškai susiliejančios serijos pavyzdį. Įrodykime sąlyginę eilučių konvergenciją

Kadangi atitinkamos modulių serijos (harmoninės serijos), kaip jau žinome, skiriasi, tai norint įrodyti sąlyginę eilučių konvergenciją (1,54), pakanka įrodyti, kad ši eilutė konverguoja. Įrodykime, kad eilutė (1.54) suartėja į skaičių. 2 poskyrio 9 dalyje Ch. Per 6 h. 1 gavome funkcijos Maclaurin išplėtimą

Toje pačioje vietoje visiems x iš atkarpos gaunamas toks liekanos įvertinimas.

su (paprastai kalbant) sudėtingais terminais, kurių serija sutampa

Absoliučiai eilučių (1) konvergencijai būtina ir pakanka (Košio kriterijus absoliučiai eilučių konvergencijai), kad bet kuriai egzistuotų toks skaičius, kad visiems skaičiams ir visiems sveikiesiems skaičiams

Jei serija yra absoliučiai konverguojanti, tada ji konverguoja. Eilė

absoliučiai susilieja ir skaičius

susilieja, bet ne absoliučiai. Leisti

Serija, sudaryta iš tų pačių terminų kaip ir serija (1), tačiau paprastai paimta kita tvarka. Iš (1) eilučių absoliučios konvergencijos išplaukia, kad absoliuti eilutė(3) ir serijos (3) suma yra tokia pati kaip serijos (1). Jei gretos

absoliučiai suartėti: bet koks linijinis jų derinys

taip pat absoliučiai susilieja; eilutė, gauta iš visų rūšių porinių šių eilučių narių sandaugų, išdėstytų savavališka tvarka, taip pat absoliučiai suartėja ir jos suma lygi šių eilučių sumų sandaugai. Išvardintos absoliučiai konvergencinių eilučių savybės perkeliamos į kelios serijos

konverguoja absoliučiai, tai yra, visos eilutės, gautos nuosekliai sudedant serijų (4) sąlygas per indeksus, absoliučiai suartėja, o kartotinių eilučių (4) ir pakartojimų (5) sumos yra lygios ir sutampa su bet kurios eilės suma. viena serija, sudaryta iš visų serijos terminų (4).

Jei serijos (1) nariai yra tam tikros Banacho erdvės elementai su elementų norma, tada serija (1) vadinama. absoliučiai susiliejanti, jei serija

Tuo atveju, kai A. s. R. Banacho erdvės elementų, aukščiau nagrinėtų absoliučiai konvergencinių skaitinių eilučių savybės taip pat apibendrinamos, ypač A. s. R. Šioje erdvėje susilieja Banacho erdvės elementai. Taip pat A. s. R. perkeliama į kelias serijas Banach erdvėje.

Matematikos enciklopedija. - M .: sovietinė enciklopedija... I. M. Vinogradovas. 1977-1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra „ABSOLUTELY CONVERGING SERIES“ kituose žodynuose:

Funkcinė eilutė (1) su (paprastai kalbant) sudėtingais terminais, susiliejančiais į aibę X ir tokia, kad bet kuriai e> 0 egzistuoja skaičius ne, kad visiems n> ne ir visai nelygybei kur ir Kitaip tariant, dalinė seka ...... Matematikos enciklopedija

Turinys. 1) Apibrėžimas. 2) Skaičius, apibrėžtas serija. 3) Eilučių konvergencija ir divergencija. 4) Sąlyginė ir absoliuti konvergencija. 5) Vienoda konvergencija. 6) Funkcijų išskaidymas nuosekliai. 1. Apibrėžimai. R. yra elementų seka, ...... F.A. enciklopedinis žodynas. Brockhausas ir I.A. Efronas

Begalinė suma, tam tikros tiesinės topologijos elementų seka (vadinama terminu). tarpai ir apibrėžta begalinė jų baigtinių sumų aibė (vadinama iš dalies ir su ummm, m ir r I ... ... Matematikos enciklopedija

Serija, begalinė suma, pavyzdžiui, formos u1 + u2 + u3 + ... + un + ... arba, trumpai tariant,. (1) Vienas iš paprasčiausių R. pavyzdžių, jau sutinkamas elementariojoje matematikoje, yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos 1 + q + q 2 + ... + q ... ...

I yra begalinė suma, pavyzdžiui, formos u1 + u2 + u3 + ... + un + ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Funkcijų seka, kuri konverguoja į natūralų logaritmą nenuspalvintoje srityje (raudona). V tokiu atveju tai N i dalinė laipsnių eilutės suma, kur N nurodo terminų skaičių. Funkcinis diapazonas ... Vikipedija

S yra kartotinė eilutė, formos išraiška, sudaryta iš lentelės narių. Kiekvienas šios lentelės narys sunumeruotas indeksais m, n,. ... ... , p, kurie nepriklauso vienas nuo kito visi natūralieji skaičiai. K. p. teorija. yra panašus į dvigubų serijų teoriją. Taip pat žiūrėkite…… Matematikos enciklopedija

Kelių lankų kosinusų ir sinusų serija, tai yra, formos arba formos serija integruota forma kur vadinama ak, bk arba atitinkamai ck. koeficientai T. p. Pirmą kartą T. r. rastas L. Euler (L. Euler, 1744). Jis gavo dekompoziciją In ser. 18-ojo amžiaus ryšium su ...... Matematikos enciklopedija

Serija, kurioje funkcijos, kurios yra holomorfinės tam tikroje srityje, nepriklausomai nuo k. Jei visoms, vadinasi serija (*). netoli Hartogo. Bet kuri funkcija, kuri Hartogs yra holomorfinė formos domenui D, suskaidoma į absoliučiai ir tolygiai konverguojančias DG viduje. L. r. Pilnai ... ... Matematikos enciklopedija

2 pavyzdys.

Ištirkite, ar serijos susilieja.

Tiek, kiek

Tada serija susilieja.

Integralinės konvergencijos kriterijus

Integralinis konvergencijos kriterijus išreiškiamas tokia teorema

1.8 teorema.

Duotas skaičius su teigiamais nariais

Jei funkcija yra nuolatinė, teigiama ir nedidėja, o taškuose ima reikšmes, tada serija(1.23) ir netinkamas integralas(1.24) suartėti arba skirtis tuo pačiu metu.

Įrodymas.

Jeigu , tada kur

;

Jeigu integralas (1.24) suartėja ir , tada su bet kokiu natūraliu. Vadinasi,

.

Kadangi monotoniškai didėjanti ir ribojama seka, tai ji egzistuoja, t.y. eilutė (1,23) taip pat suartėja. Jei eilutė (1.23) susilieja ir, tada bet kuriai.

Iš lygybės (1.26) išplaukia, kad bet kuriam. Netinkamas integralas taip pat suartėja.

Naudojant integralo kriterijų, galima įrodyti, kad serija

(1.27)

kur yra bet koks realusis skaičius, konverguoja ties ir skiriasi ties.

Iš tiesų, jis susilieja ir skiriasi.

Kintamos eilutės. Leibnizo ženklas

Pakaitomis eilute vadinama eilutė, kurioje bet kurie du nariai su skaičiais ir turi priešingus požymius, t.y. savotiška eilė

(1.30)

Įrodymas.

Apsvarstykite dalines serijų (1.28) sumas su lyginiais ir nelyginiais skaičiais:

Paverskime pirmąją iš šių sumų:

Pagal sąlygą (1.29) skirtumas kiekviename skliaustelyje yra teigiamas, todėl suma ir visiems. Taigi, net dalinių sumų seka monotoniškai didėja ir ribojama. Ji turi ribą, kurią žymime, t.y. ... Tiek, kiek , tada, atsižvelgdami į ankstesnę lygybę ir sąlygą (1.30), gauname

Taigi tam tikros serijos dalinių sumų seka su lyginiais ir nelyginiais skaičiais turi tą pačią ribą. Iš to išplaukia, kad visų eilučių dalinių sumų seka turi ribą; tie. serija susilieja.

Pavyzdys.

Ištirkite, ar serijos susilieja

(1.31)

Ši eilutė yra kintama. Jis susilieja, nes tenkina teoremos sąlygas

Likusios kintamos serijos įvertis nustatomas naudojant šią teoremą.

1.10 teorema.

Leibnizo teoremos sąlygas tenkinančios kintamos eilutės likusios dalies suma turi pirmojo likusio nario ženklą ir neviršija jos absoliučia verte.

Įrodymas.

Apsvarstykite likusią serijos dalį (1.28) po terminų. Tada tegul jo suma yra -oji dalinė suma

Kadangi tenkinamos 1.9 teoremos sąlygos, tai visiems, t.y. , kur

arba

Panašiu būdu įrodoma, kad likusios eilutės po terminų suma tenkina sąlygas , t.y. ir .

Todėl, nepaisant tolygumo ar keistumo

Apsvarstykite seriją, sudarytą iš tam tikros serijos narių modulių:

(1.34)

1.11 teorema.

Jei eilė(1.34) susilieja, tada serija(1.33).

Įrodymas.

Kadangi eilutė (1.34) konverguoja pagal Koši kriterijų (1.1 teorema), bet koks toks skaičius egzistuoja, tai bet kuriam ir visam sveikajam skaičiui nelygybė

.

kad . Tai reiškia, kad eilutė (1,33) taip pat suartėja.

komentuoti.

Eilučių (1.33) konvergencija nereiškia eilučių (1.34) konvergencijos. Pavyzdžiui, serialas konverguoja (žr. 1.6 punktą), o jo terminų modulių serija skiriasi (harmoninės eilutės, žr. 1.2 punktą).

visiškai susilieja, jei susilieja eilė jos narių modulių. Pavyzdžiui, serialas

yra absoliučiai konverguojantis, nes susilieja eilė jos narių modulių, t.y. eilutė (geometrinė progresija su vardikliu,).

Kintamoji serija vadinama ne absoliučiai susilieja (sąlygiškai konverguoja), jei jis susilieja, ir eilė jo narių modulių išsiskiria. Pavyzdžiui, serija nėra absoliučiai konvergentiška (žr. pastabą).

Veiksmai virš eilučių.

Skaičiaus sandauga

1.12 teorema.

Jei eilė(1.35) susilieja, tada serija(1.36) taip pat susilieja, ir

(1.37)

Įrodymas.

Žymime u - e eilučių (1.35) ir (1.36) dalines sumas, tai yra,

Akivaizdu,. Jei eilutė (1.35) suartėja ir jos suma lygi, t.y. , , tada

Be serijų (1,35), apsvarstykite serijas

taip pat absoliučiai konverguoja ir jo suma yra

komentuoti.

Eilučių veiksmų taisyklės ne visada sutampa su veiksmų su baigtinėmis sumomis taisyklėmis. Visų pirma, esant baigtinėms sumoms, galite savavališkai pakeisti terminų tvarką, sugrupuoti terminus kaip norite, suma nuo to nepasikeis. Galutinės sumos sąlygas galima pridėti atvirkštine tvarka, serijai tokios galimybės nėra, nes ji neturi paskutinio termino.

Ne visada įmanoma sugrupuoti narius į seriją. Pavyzdžiui, serialas

skiriasi nuo

ir jo dalinėms sumoms nėra jokių apribojimų. Sugrupavus narius

gauname konverguojančią eilutę, jos suma lygi nuliui. Su skirtinga narių grupe

gauname susiliejančią eilutę, kurios suma lygi vienetui.

Pateikiame dvi teoremas be įrodymų.

1.14 teorema.

Absoliučiai konvergencinės eilutės sąlygų permutacija nepažeidžia jos konvergencijos, eilučių suma išlieka ta pati.

1.15 teorema.

Jei serija absoliučiai nesusilieja, tada tinkamai pertvarkius jos narius, visada galima eilutės sumai suteikti savavališką reikšmę ir netgi padaryti eilutę divergentiška.