अब हम उस श्रृंखला के अध्ययन की ओर बढ़ेंगे जिसके सदस्य किसी भी चिह्न की वास्तविक संख्याएँ हैं।

परिभाषा 1. हम शृंखला कहेंगे

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है तो बिल्कुल अभिसरण

ध्यान दें कि यह परिभाषा इस बारे में कुछ नहीं कहती है कि क्या श्रृंखला (1.49) को अभिसरण माना जाता है। यह पता चला है कि ऐसी धारणा अनावश्यक होगी, क्योंकि निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 1.9. श्रृंखला के अभिसरण (1.50) का तात्पर्य श्रृंखला के अभिसरण (1.49) से है।

सबूत। आइए हम श्रृंखला के लिए कॉची मानदंड का उपयोग करें (अर्थात्, प्रमेय 1.1)। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि किसी भी संख्या के लिए एक संख्या ऐसी होती है कि शर्त को संतुष्ट करने वाली सभी संख्याओं के लिए और किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए निम्नलिखित असमानता सत्य होती है:

हम कोई भी ठीक कर देते हैं। चूँकि श्रृंखला (1.50) अभिसरण करती है, तो प्रमेय 1.1 के आधार पर एक संख्या ऐसी होती है जो शर्त को संतुष्ट करने वाली सभी संख्याओं के लिए और किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए निम्नलिखित असमानता रखती है:

चूँकि कई पदों के योग का मापांक उनके मापांक के योग से अधिक नहीं होता है

असमानताओं (1.52) और (1.53) की तुलना करने पर, हमें असमानताएँ (1.51) प्राप्त होती हैं। प्रमेय सिद्ध है.

परिभाषा 2. श्रृंखला (1.49) को सशर्त रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि यह श्रृंखला अभिसरण करती है, जबकि मॉड्यूल की संगत श्रृंखला (1.50) विचलन करती है।

पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला का एक उदाहरण एक श्रृंखला है।

यह श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है, क्योंकि जब श्रृंखला (1.33) अभिसरण होती है।

आइए हम सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला का एक उदाहरण दें। आइए हम श्रृंखला के सशर्त अभिसरण को सिद्ध करें

चूंकि मॉड्यूल की संबंधित श्रृंखला (हार्मोनिक श्रृंखला), जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, विचलन करती है, तो श्रृंखला के सशर्त अभिसरण (1.54) को साबित करने के लिए यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि यह श्रृंखला अभिसरण करती है। आइए हम सिद्ध करें कि श्रृंखला (1.54) संख्या में परिवर्तित होती है। अनुच्छेद 2 § 9 अध्याय में। भाग 6 में हमने फ़ंक्शन के मैकलॉरिन सूत्र के अनुसार अपघटन प्राप्त किया

वहां, खंड से सभी x के लिए, शेष पद का निम्नलिखित अनुमान प्राप्त किया गया था।

बारी-बारी से पंक्तियाँ। लीबनिज़ का चिन्ह.
निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण

इस पाठ के उदाहरणों को समझने के लिए, आपको सकारात्मक संख्या श्रृंखला की अच्छी समझ होनी चाहिए: समझें कि श्रृंखला क्या है, श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक संकेत जानें, तुलना परीक्षण लागू करने में सक्षम हों, डी'एलेम्बर्ट का परीक्षण , कॉची का परीक्षण। लेखों का लगातार अध्ययन करके विषय को लगभग शून्य से उठाया जा सकता है नौसिखियों के लिए पंक्तियाँऔर डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह. कॉची के लक्षण. तार्किक रूप से, यह पाठ लगातार तीसरा है, और यह आपको न केवल वैकल्पिक पंक्तियों को समझने की अनुमति देगा, बल्कि पहले से कवर की गई सामग्री को समेकित करने की भी अनुमति देगा! इसमें थोड़ी नवीनता होगी, और वैकल्पिक पंक्तियों में महारत हासिल करना मुश्किल नहीं होगा। सब कुछ सरल और सुलभ है.

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला क्या है?यह बात नाम से ही स्पष्ट अथवा लगभग स्पष्ट है। बस एक साधारण उदाहरण.

आइए श्रृंखला को देखें और इसका अधिक विस्तार से वर्णन करें:

और अब आएगा कातिलाना कमेंट. एक वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्यों में वैकल्पिक चिह्न होते हैं: प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, आदि। अनंत की ओर।

संरेखण एक गुणक प्रदान करता है: यदि सम है, तो धन चिह्न होगा, यदि विषम है, तो ऋण चिह्न होगा (जैसा कि आपको पाठ से याद है) संख्या क्रम के बारे में, इस चीज़ को "चमकती रोशनी" कहा जाता है)। इस प्रकार, एक वैकल्पिक श्रृंखला को शून्य से एक डिग्री "एन" तक "पहचान" किया जाता है।

व्यावहारिक उदाहरणों में, श्रृंखला के पदों का विकल्प न केवल गुणक द्वारा, बल्कि उसके भाई-बहनों द्वारा भी प्रदान किया जा सकता है: , , , …. उदाहरण के लिए:

ख़तरा है "धोखा": , , आदि। - ऐसे गुणक चिह्न परिवर्तन प्रदान न करें. यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक के लिए: , , . धोखे की पंक्तियाँ न केवल विशेष रूप से प्रतिभाशाली छात्रों को दी जाती हैं, वे समाधान के दौरान समय-समय पर "स्वयं" उत्पन्न होती हैं कार्यात्मक श्रृंखला.

अभिसरण के लिए एक वैकल्पिक श्रृंखला की जांच कैसे करें?लीबनिज परीक्षण का प्रयोग करें. मैं जर्मन विचार के दिग्गज गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज के बारे में कुछ भी नहीं कहना चाहता, क्योंकि अपने गणितीय कार्यों के अलावा, उन्होंने दर्शनशास्त्र पर कई खंड लिखे। दिमाग के लिए खतरनाक.

लीबनिज़ का परीक्षण: यदि एक वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्य नीरसता सेमापांक में कमी, फिर श्रृंखला अभिसरित हो जाती है।

या दो बिंदुओं में:

1) श्रृंखला बारी-बारी से चल रही है।

2) श्रृंखला के पद मापांक में घटते हैं:, और नीरस रूप से घटते हैं।

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो श्रृंखला परिवर्तित हो जाती है.

संक्षिप्त जानकारीमॉड्यूल के बारे में मैनुअल में दिया गया है स्कूली गणित पाठ्यक्रम के लिए हॉट सूत्र, लेकिन सुविधा के लिए एक बार फिर:

"मोडुलो" का क्या मतलब है? मॉड्यूल, जैसा कि हम स्कूल से याद करते हैं, ऋण चिह्न को "खा जाता है"। चलिए पंक्ति पर वापस चलते हैं . इरेज़र से सभी चिन्हों को मानसिक रूप से मिटा दें आइए संख्याओं पर नजर डालें. हम उसे देखेंगे हर अगलेशृंखला सदस्य कमपिछले वाले की तुलना में. इस प्रकार, निम्नलिखित वाक्यांशों का अर्थ एक ही है:

- श्रृंखला के सदस्य संकेत की परवाह किए बिनाकम हो रहे हैं.
- श्रृंखला के सदस्य घटते हैं सापेक्ष.
- श्रृंखला के सदस्य घटते हैं द्वारा निरपेक्ष मूल्य.
– मापांकश्रृंखला का सामान्य पद शून्य हो जाता है:

// मदद का अंत

अब थोड़ी बात एकरसता की करें। एकरसता उबाऊ निरंतरता है।

श्रृंखला के सदस्य सख्ती से नीरसयदि श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य मापांक में कमी करता है सापेक्षपिछले से कम: . एक पंक्ति के लिए घटने की सख्त एकरसता पूरी होती है, इसका विस्तार से वर्णन किया जा सकता है:

या हम संक्षेप में कह सकते हैं: श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले वाले से कम: .

श्रृंखला के सदस्य सख्ती से नीरस नहींमॉड्यूलो में कमी यदि श्रृंखला मॉड्यूलो का प्रत्येक निम्नलिखित सदस्य पिछले वाले से बड़ा नहीं है:। फैक्टोरियल वाली एक श्रृंखला पर विचार करें: यहां एक ढीली एकरसता है, क्योंकि श्रृंखला के पहले दो पद मापांक में समान हैं। अर्थात् शृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले वाले से अधिक नहीं: .

लीबनिज़ के प्रमेय की शर्तों के तहत, घटती एकरसता को संतुष्ट किया जाना चाहिए (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह सख्त है या गैर-सख्त है)। इसके अलावा, श्रृंखला के सदस्य कर सकते हैं कुछ समय के लिए मापांक में भी वृद्धि, लेकिन श्रृंखला की "पूंछ" आवश्यक रूप से नीरस रूप से घटती होनी चाहिए।

मैंने जो ढेर लगाया है उससे डरने की कोई जरूरत नहीं है; व्यावहारिक उदाहरण सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे:

उदाहरण 1

श्रृंखला के सामान्य शब्द में कारक शामिल है, और यह लीबनिज परीक्षण की शर्तों की पूर्ति की जांच करने के लिए एक प्राकृतिक विचार को प्रेरित करता है:

1) विकल्प के लिए पंक्ति की जाँच करना। आमतौर पर इस बिंदु पर निर्णय श्रृंखला का विस्तार से वर्णन किया जाता है और फैसला सुनाओ "श्रृंखला बारी-बारी से चल रही है।"

2) क्या श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घटता है? यहां आपको सीमा को हल करने की आवश्यकता है, जो अक्सर बहुत सरल होती है।

- श्रृंखला की शर्तें मापांक में घटती नहीं हैं, और यह स्वचालित रूप से इसके विचलन को दर्शाती है - इस कारण से कि सीमा अस्तित्व में नहीं है *, अर्थात, श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड पूरा नहीं हुआ है।

उदाहरण 9

अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें

उदाहरण 10

अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें

संख्यात्मक सकारात्मक और वैकल्पिक श्रृंखला के उच्च गुणवत्ता वाले अध्ययन के बाद, स्पष्ट विवेक के साथ, आप कार्यात्मक श्रृंखला की ओर बढ़ सकते हैं, जो कम नीरस और नीरस रूप से दिलचस्प नहीं हैं।

उदाहरण 2.

जांच करें कि क्या श्रृंखला अभिसरण करती है।

क्योंकि

फिर सिलसिला एक हो जाता है.

अभिन्न अभिसरण परीक्षण

अभिसरण के लिए अभिन्न मानदंड निम्नलिखित प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है

प्रमेय 1.8.

सकारात्मक शर्तों वाली एक श्रृंखला दी गई है

यदि फ़ंक्शन निरंतर, सकारात्मक है और बढ़ता नहीं है, और बिंदुओं पर मान लेता है, तो श्रृंखला(1.23) और अनुचित अभिन्न(1.24) एक ही समय में अभिसरण या विचलन।

सबूत।

अगर , फिर कहाँ से

;

यदि अभिन्न (1.24) अभिसरण करता है और , वह किसी भी प्राकृतिक के साथ इस तरह,

.

चूंकि अनुक्रम नीरस रूप से बढ़ रहा है और घिरा हुआ है, तो अस्तित्व में है, यानी। श्रृंखला (1.23) भी अभिसरण करती है। यदि श्रृंखला (1.23) अभिसरण करती है और, तो किसी के लिए।

समानता (1.26) से यह इस प्रकार है किसी पर । अनुचित अभिन्न अंग भी अभिसरण करता है।

अभिन्न परीक्षण का उपयोग करके, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि श्रृंखला

(1.27)

कोई भी वास्तविक संख्या कहां है, पर अभिसरित होती है और कहां पर विसरित होती है।

वास्तव में, यह पर अभिसरण और विसरित होता है।

बारी-बारी से पंक्तियाँ। लीबनिज़ का परीक्षण

अदल-बदल करअगली एक श्रृंखला है जिसमें संख्याओं के साथ कोई दो पद हैं और विपरीत संकेत हैं, अर्थात्। फॉर्म की श्रृंखला

(1.30)

सबूत।

आइए सम और विषम संख्याओं वाली श्रृंखला (1.28) के आंशिक योग पर विचार करें:

आइए इनमें से पहले योग को रूपांतरित करें:

शर्त (1.29) के कारण, प्रत्येक कोष्ठक में अंतर धनात्मक है, इसलिए योग और हर किसी के लिए. इसलिए, आंशिक योगों का क्रम भी एकरस रूप से बढ़ रहा है और सीमित है। इसकी एक सीमा है, जिसे हम द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात। . क्योंकि , फिर, पिछली समानता और स्थिति (1.30) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अतः, सम और विषम संख्याओं वाली किसी श्रृंखला के आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा क्रमशः समान होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी श्रृंखला के सभी आंशिक योगों के अनुक्रम की एक सीमा होती है; वे। श्रृंखला एकत्रित होती है।

उदाहरण।

जांच करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

(1.31)

यह शृंखला परिवर्तनशील है। यह अभिसरण करता है क्योंकि यह प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है

एक वैकल्पिक श्रृंखला के शेषफल का अनुमान निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय 1.10.

लीबनिज़ के प्रमेय की शर्तों को पूरा करने वाली एक वैकल्पिक श्रृंखला के शेषफल के योग में पहले शेष पद का चिह्न होता है और यह निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होता है।

सबूत।

आइए पदों के बाद श्रृंखला के शेष भाग (1.28) पर विचार करें। मान लीजिए कि इसका योग, -i आंशिक योग है

चूँकि प्रमेय 1.9 की शर्तें संतुष्ट हैं सबके सामने, यानि , कहाँ

या

इसी प्रकार यह सिद्ध है कि शर्तों के पूरा होने के बाद श्रृंखला के शेष का योग शर्तों को पूरा करता है , अर्थात। और .

इसलिए, सम या विषम की परवाह किए बिना

इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला पर विचार करें:

(1.34)

प्रमेय 1.11.

यदि पंक्ति(1.34) अभिसरित होता है, फिर श्रृंखला अभिसरित होती है(1.33).

सबूत।

चूँकि श्रृंखला (1.34) अभिसरण करती है, तो कॉची मानदंड (प्रमेय 1.1) के आधार पर किसी के लिए ऐसी संख्या मौजूद होती है, तो सभी और किसी भी पूर्णांक के लिए असमानता कायम रहती है

.

वह । इसका मतलब यह है कि श्रृंखला (1.33) भी अभिसरण करती है।

टिप्पणी।

श्रृंखला का अभिसरण (1.33) श्रृंखला के अभिसरण (1.34) का अर्थ नहीं है। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला अभिसरण (धारा 1.6 देखें), और इसके सदस्यों के मॉड्यूल की श्रृंखला अलग हो जाती है (हार्मोनिक श्रृंखला, धारा 1.2 देखें)।

बिल्कुल अभिसरण,यदि इसके पदों के मापांक की एक श्रृंखला अभिसरित होती है। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला

पूर्णतया अभिसारी है, क्योंकि इसके पदों के मापांक की श्रृंखला अभिसरण करती है, अर्थात्। श्रृंखला (हर के साथ ज्यामितीय प्रगति, ).

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है गैर-बिल्कुल अभिसरण (सशर्त रूप से अभिसरण),यदि यह अभिसरण करता है, लेकिन इसके सदस्यों के मॉड्यूल की श्रृंखला अलग हो जाती है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण नहीं है (टिप्पणी देखें)।

पंक्तियों पर क्रियाएँ.

श्रृंखला का उत्पाद

प्रमेय 1.12.

यदि पंक्ति(1.35) अभिसरण, फिर श्रृंखला(1.36) अभिसरण भी होता है, और

(1.37)

सबूत।

आइए हम श्रृंखला (1.35) और (1.36) के आंशिक योग को यू-ई से निरूपित करें, अर्थात।

ज़ाहिर तौर से, । यदि श्रृंखला (1.35) अभिसरण करती है और इसका योग बराबर है, अर्थात , , वह

श्रृंखला (1.35) के अलावा, श्रृंखला पर विचार करें

भी पूर्णतया अभिसरित होता है तथा इसका योग बराबर होता है

टिप्पणी।

श्रृंखला पर परिचालन के नियम हमेशा सीमित रकम पर परिचालन के नियमों से मेल नहीं खाते हैं। विशेष रूप से, सीमित योगों में आप मनमाने ढंग से पदों के क्रम को बदल सकते हैं, शब्दों को अपनी इच्छानुसार समूहित कर सकते हैं, और योग नहीं बदलेगा। अंतिम योग के पदों को उल्टे क्रम में जोड़ा जा सकता है; यह किसी श्रृंखला के लिए संभव नहीं है, क्योंकि इसमें कोई अंतिम पद नहीं है।

सदस्यों को एक श्रृंखला में समूहित करना हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला

भिन्न है क्योंकि

और इसकी आंशिक मात्रा की कोई सीमा नहीं है। सदस्यों को समूहीकृत करने के बाद

हमें एक अभिसारी श्रृंखला प्राप्त होती है, इसका योग शून्य है। सदस्यों के एक अलग समूह के साथ

हमें एक अभिसारी श्रृंखला प्राप्त होती है जिसका योग एक के बराबर होता है।

हम बिना प्रमाण के दो प्रमेय प्रस्तुत करते हैं।

प्रमेय 1.14.

पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से इसके अभिसरण का उल्लंघन नहीं होता है; श्रृंखला का योग वही रहता है;

प्रमेय 1.15.

यदि कोई श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण नहीं करती है, तो उसके पदों को उचित रूप से पुनर्व्यवस्थित करके श्रृंखला के योग को एक मनमाना मान देना और यहां तक ​​कि श्रृंखला को अपसारी बनाना हमेशा संभव होता है।

पंक्ति

एक सीरीज दी जाए ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n))और α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | ए एन | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). तब

कॉची और डी'अलेम्बर्ट परीक्षणों में अभिसरण के बारे में बयान ज्यामितीय प्रगति (हर के साथ) के साथ तुलना से लिया गया है लिम ¯ एन → ∞ ⁡ | ए एन + 1 ए एन | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)और α (\displaystyle \alpha )क्रमशः), विचलन के बारे में - इस तथ्य से कि श्रृंखला का सामान्य पद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता है।

कॉची का परीक्षण इस अर्थ में डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण से अधिक मजबूत है कि यदि डी'एलेम्बर्ट का परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, तो कॉची का परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है; यदि कॉची का परीक्षण किसी को अभिसरण के बारे में कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है, तो डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण भी किसी को कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है; ऐसी श्रृंखलाएँ हैं जिनके लिए कॉची का परीक्षण अभिसरण का संकेत देता है, लेकिन डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण अभिसरण का संकेत नहीं देता है।

इंटीग्रल कॉची-मैकलॉरिन परीक्षण

एक सीरीज दी जाए ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)और कार्य f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )ऐसा है कि:

फिर सिलसिला ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))और अभिन्न ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)एक साथ अभिसरण या विचलन, और ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

राबे की निशानी

एक सीरीज दी जाए ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)और R n = n (a n a n + 1 - 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

राबे का परीक्षण सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित है

पंक्तियों पर क्रियाएँ

उदाहरण

श्रृंखला पर विचार करें 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +। . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). इस पंक्ति के लिए:

इस प्रकार, कॉची का परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, जबकि डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है।

श्रृंखला पर विचार करें ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

इस प्रकार, कॉची का परीक्षण विचलन को इंगित करता है, जबकि डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है।

पंक्ति ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))पर एकत्रित होता है α > 1 (\displaystyle \अल्फा >1)और पर विचलन करता है α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), तथापि:

इस प्रकार, कॉची और डी'एलेम्बर्ट के संकेत हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देते हैं।

पंक्ति ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))हार्मोनिक श्रृंखला के बाद से, लीबनिज़ मानदंड के अनुसार सशर्त रूप से अभिसरण होता है, लेकिन पूरी तरह से नहीं ∑ n = 1 ∞ | (− 1) एन एन | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))विचलन

, बिंदु के बाएँ पड़ोस में असीमित है बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी). दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)बुलाया बिल्कुल अभिसरण, यदि अभिन्न अभिसरण करता है ∫ ए बी | एफ(एक्स) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

परिभाषा 2.2.वह संख्या शृंखला जिसके सदस्यों के बाद किसी संख्या के अलग-अलग चिह्न होते हैं, कहलाती है वैकल्पिक संकेत .

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, निम्नलिखित मान्य है: अभिसरण के लिए सामान्य पर्याप्त परीक्षण.

प्रमेय 2.2.एक वैकल्पिक श्रृंखला दी जाए

यदि इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है

तब प्रत्यावर्ती श्रृंखला (2.2) स्वयं अभिसरण हो जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विपरीत कथन सत्य नहीं है: यदि श्रृंखला (2.2) अभिसरण करती है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि श्रृंखला (2.3) अभिसरण होगी।

परिभाषा 2.3. बिल्कुल अभिसरण , यदि उसके सदस्यों के मॉड्यूल से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है।

एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त रूप से अभिसरण , यदि यह स्वयं अभिसरण करता है, लेकिन इसके सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला अलग हो जाती है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखलाओं में, पूर्णतया अभिसरण श्रृंखला एक विशेष स्थान रखती है। ऐसी श्रृंखला में कई गुण होते हैं, जिन्हें हम बिना प्रमाण के तैयार करेंगे।

योगों के साथ दो पूर्णतः अभिसारी श्रृंखलाओं का गुणनफल एक पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला है जिसका योग बराबर होता है।

इस प्रकार, बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला को सामान्य श्रृंखला की तरह जोड़ा, घटाया और गुणा किया जाता है। ऐसी श्रृंखला का योग उस क्रम पर निर्भर नहीं करता जिसमें पद लिखे गए हैं।

सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के मामले में, संबंधित कथन (गुण), आम तौर पर बोलते हुए, मान्य नहीं होते हैं।

इस प्रकार, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, यह सुनिश्चित करना संभव है कि श्रृंखला का योग बदल जाए। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला लीबनिज़ के परीक्षण के अनुसार सशर्त रूप से अभिसरण होता है। माना कि इस श्रृंखला का योग बराबर है। आइए इसके पदों को फिर से लिखें ताकि एक सकारात्मक पद के बाद दो नकारात्मक पद रह जाएं। हमें एक शृंखला मिलती है

राशि आधी कर दी गई है!

इसके अलावा, सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, कोई पूर्व निर्धारित योग या अपसारी श्रृंखला (रीमैन की प्रमेय) के साथ एक अभिसरण श्रृंखला प्राप्त कर सकता है।

इसलिए, श्रृंखला पर संचालन उनके पूर्ण अभिसरण को सुनिश्चित किए बिना नहीं किया जा सकता है। पूर्ण अभिसरण स्थापित करने के लिए, सकारात्मक शब्दों के साथ संख्या श्रृंखला के अभिसरण के सभी संकेतों का उपयोग किया जाता है, सामान्य शब्द को हर जगह इसके मॉड्यूल के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण 2.1. .

समाधान।मूल श्रृंखला वैकल्पिक है. आइए हम किसी दी गई श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मानों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें, अर्थात। पंक्ति . चूँकि, तब एक समान श्रृंखला के पद डिरिचलेट श्रृंखला के पदों से बड़े नहीं होते हैं , जो अभिसरण के लिए जाना जाता है। इसलिए, तुलना की कसौटी के आधार पर, यह श्रृंखला बिल्कुल मेल खाती है। ,

उदाहरण 2.2.अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें.

समाधान।

2) निरपेक्ष पदों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें। हम डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करते हैं

डी'एलेम्बर्ट की कसौटी के अनुसार, निरपेक्ष शब्दों से बनी एक श्रृंखला अभिसरण करती है। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है। ,

उदाहरण 2.3.अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें .

समाधान। 1) यह पंक्ति बारी-बारी से है। हम लीबनिज़ की कसौटी का उपयोग करते हैं। आइए देखें कि शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं।

इसलिए, मूल श्रृंखला अभिसरण करती है।

2) निरपेक्ष पदों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें। हम सीमित तुलना मानदंड का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करते हैं। एक हार्मोनिक श्रृंखला पर विचार करें जो विचलन करती है।

नतीजतन, दोनों श्रृंखलाएं समान व्यवहार करती हैं, यानी। निरपेक्ष पदों से बनी श्रृंखला भी भिन्न होती है। इसका मतलब यह है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है। ,