एक सतत यादृच्छिक चर है घातीय (घातीय )पैरामीटर के साथ वितरण कानून यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:

(12.1)

यहां एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है। वह। घातीय वितरण एक सकारात्मक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है ... आइए हम घातांक बंटन का संचयी फलन ज्ञात करें:

(12.3)

चावल। 12.1. डिफरेंशियल एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन ()

चावल। 12.2 घातीय वितरण का संचयी कार्य ()

घातीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं

आइए गणितीय अपेक्षा और घातीय वितरण के विचरण की गणना करें:

प्रसरण की गणना करने के लिए, हम इसके गुणों में से एक का उपयोग करेंगे:

चूंकि , तो यह गणना करना बाकी है:

(12.6) को (12.5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

(12.7)

घातीय कानून के अनुसार वितरित एक यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा मानक विचलन के बराबर है।

उदाहरण 1।घातांक वितरण के अंतर और संचयी कार्यों को लिखें, यदि पैरामीटर।

समाधान... ए) वितरण घनत्व का रूप है:

बी) संबंधित अभिन्न कार्य इसके बराबर है:

उदाहरण 2।घातांकीय नियम के अनुसार वितरित SV के लिए दिए गए अंतराल से टकराने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

समाधान... आइए एक समाधान ढूंढते हैं, यह याद रखते हुए:। अब, (12.3) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

विश्वसनीयता समारोह

आइए डिवाइस को एक तत्व कहते हैं, भले ही वह "सरल" या "जटिल" हो। तत्व को एक समय में काम करना शुरू कर दें, और अवधि समाप्त होने के बाद, एक विफलता होती है। आइए हम निरंतर एसवी द्वारा निरूपित करें - तत्व के अपटाइम की अवधि। यदि तत्व बिना असफलता (विफलता से पहले) से कम समय के लिए काम करता है, तो, परिणामस्वरूप, अवधि के दौरान एक विफलता होगी। इस तरह, विफलता की संभावनासमय के साथ, अवधि अभिन्न कार्य द्वारा निर्धारित की जाती है:

. (12.8)

तब समान समय अवधि के लिए विफलता-मुक्त संचालन की संभावना विपरीत घटना की संभावना के बराबर होती है, अर्थात।

विश्वसनीयता समारोहएक फ़ंक्शन कहा जाता है जो एक समय अवधि के लिए किसी तत्व के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना को निर्धारित करता है.

अक्सर किसी तत्व के अपटाइम की अवधि का एक घातीय वितरण होता है, जिसका अभिन्न कार्य है:

. (12.10)

फिर, तत्व के अपटाइम के घातीय वितरण के मामले में और खाते में (12.9), विश्वसनीयता फ़ंक्शन इसके बराबर होगा:

. (12.11)

उदाहरण 3.तत्व का अपटाइम घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है (घंटों में समय)। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि तत्व बिना असफलता के 100 घंटे कार्य करेगा।

समाधान... हमारे उदाहरण में, तब हम उपयोग करेंगे (12.11):

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए विश्वसनीयता का घातीय नियम बहुत सरल और सुविधाजनक है। इस कानून में निम्नलिखित महत्वपूर्ण संपत्ति है:

अवधि के एक समय अंतराल पर किसी तत्व के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना पिछले ऑपरेशन के समय पर विचार किए गए अंतराल की शुरुआत से पहले निर्भर नहीं करती है, लेकिन केवल समय की अवधि पर निर्भर करती है(किसी दी गई विफलता दर पर).

आइए हम निम्नलिखित संकेतन की शुरुआत करके इस संपत्ति को साबित करें:

अवधि के अंतराल पर किसी तत्व का विफलता-मुक्त संचालन;

फिर घटना यह है कि तत्व अवधि के अंतराल के लिए त्रुटिपूर्ण रूप से काम करता है। आइए हम सूत्र (12.11) का उपयोग करके इन घटनाओं की संभावनाओं का पता लगाएं, यह मानते हुए कि तत्व का अपटाइम घातीय कानून के अधीन है:

आइए हम सशर्त संभावना पाते हैं कि तत्व समय अंतराल पर त्रुटिपूर्ण रूप से काम करेगा, बशर्ते कि यह पहले से ही पिछले समय अंतराल पर त्रुटिपूर्ण रूप से काम कर चुका हो:

(12.13)

हम देखते हैं कि परिणामी सूत्र निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल पर निर्भर करता है। (12.12) और (12.13) की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अवधि के अंतराल पर किसी तत्व के असफल संचालन की सशर्त संभावना, इस धारणा पर गणना की जाती है कि तत्व ने पिछले अंतराल में विफलता के बिना काम किया है, के बराबर है बिना शर्त संभावना।

इसलिए, विश्वसनीयता के घातीय कानून के मामले में, "अतीत में" किसी तत्व का विफलता-मुक्त संचालन "निकट भविष्य में" इसके विफलता-मुक्त संचालन की संभावना के मूल्य को प्रभावित नहीं करता है।

संयुक्त तत्व

प्राथमिक घटनाओं का स्थान। यादृच्छिक घटनाएं।

संभावना

संभाव्यता की आधुनिक अवधारणा

शास्त्रीय संभाव्य योजना

ज्यामितीय संभावनाएं

प्रायिकताओं के योग का नियम

प्रायिकता गुणन प्रमेय

कुल संभावना सूत्र

अनुमान प्रमेय। बेयस का सूत्र।

परीक्षणों की पुनरावृत्ति। बर्नौली की योजना।

स्थानीय मोइवर-लाप्लास प्रमेय

इंटीग्रल डी मोइवर-लाप्लास प्रमेय

पॉइसन की प्रमेय (दुर्लभ घटनाओं का नियम)

यादृच्छिक चर

वितरण कार्य

सतत यादृच्छिक चर और वितरण घनत्व

वितरण घनत्व के मूल गुण

एक आयामी यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं

गणितीय अपेक्षा गुण

एक यादृच्छिक चर के क्षण

फैलाव गुण

विषमता और कुर्टोसिस

बहुआयामी यादृच्छिक चर

द्वि-आयामी वितरण फ़ंक्शन के गुण

द्वि-आयामी यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व

बफन की समस्या

सशर्त वितरण घनत्व

यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं

सहसंबंध गुणांक गुण

सामान्य (गाऊसी) वितरण कानून

अंतराल से टकराने की प्रायिकता

सामान्य वितरण समारोह के गुण

वितरण (ची-स्क्वायर)

घातीय (घातीय) वितरण कानून

घातीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं

विश्वसनीयता समारोह

एक सतत यादृच्छिक चर $ X $ एक घातांक (घातीय) संभाव्यता वितरण का पालन करता है यदि इसकी संभाव्यता वितरण घनत्व $ f \ बाएँ (x \ दाएँ) $ का निम्न रूप है:

$$ f (x) = \ बाएँ \ (\ start (मैट्रिक्स)
0, \ x< 0\\
\ लैम्ब्डा ई ^ (- \ लैम्ब्डा एक्स), \ x \ जीई 0
\ अंत (मैट्रिक्स) \ सही .. $$

फिर वितरण समारोह:

$$ एफ (एक्स) = \ बाएं \ (\ प्रारंभ (मैट्रिक्स)
0, \ x< 0\\
1-ई ^ (- \ लैम्ब्डा एक्स), \ x \ जीई 0
\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं। $$

घनत्व कार्यों के रेखांकन $ f \ बाएँ (x \ दाएँ) $ और वितरण $ F \ बाएँ (x \ दाएँ) $ चित्र में दिखाए गए हैं:

एक घातीय वितरण कानून के लिए, ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके संख्यात्मक विशेषताओं की गणना की जा सकती है। अपेक्षित मूल्यतथा मानक विचलनएक दूसरे के बराबर और $ 1 / \ लैम्ब्डा $ के बराबर हैं, अर्थात:

$$ एम \ बाएं (एक्स \ दाएं) = \ सिग्मा \ बाएं (एक्स \ दाएं) = ((1) \ ओवर (\ लैम्ब्डा))। $$

फैलाव:

$$ D \ बाएँ (X \ दाएँ) = ((1) \ over ((\ lambda) ^ 2))। $$

वितरण पैरामीटर $ \ लैम्ब्डा $ सांख्यिकीय अर्थ में समय की प्रति इकाई होने वाली घटनाओं की औसत संख्या को दर्शाता है। इसलिए, यदि औसत डिवाइस अपटाइम $ 1 / \ लैम्ब्डा $ है, तो $ \ लैम्ब्डा $ पैरामीटर प्रति यूनिट समय में विफलताओं की औसत संख्या को चिह्नित करेगा। एक घातांकीय वितरण कानून के अधीन यादृच्छिक चर के उदाहरण हो सकते हैं:

• टेलीफोन पर बातचीत की अवधि;
• ग्राहक सेवा पर बिताया गया समय;
• ब्रेकडाउन के बीच डिवाइस के संचालन की अवधि;
• गैस स्टेशन पर कारों की उपस्थिति के बीच का समय अंतराल।

उदाहरण ... यादृच्छिक चर $ X $ को तेजी से वितरित किया जाता है $ f \ बाएँ (x \ दाएँ) = \ बाएँ \ (\ start (मैट्रिक्स)
0, \ x< 0\\
5e ^ (- 5x), \ x \ ge 0
\ अंत (मैट्रिक्स) \ सही। $। तब अपेक्षा $ = $ मानक विचलन $ \ सिग्मा (एक्स) = 1 / \ लैम्ब्डा = 1/5 = 0.2 $, विचरण $ डी (एक्स) = 1 / (\ लैम्ब्डा) ^ 2 = 1/25 = 0 , 04 $

उदाहरण ... डिवाइस का संचालन समय एक यादृच्छिक चर $ X $ है, जो घातीय वितरण के अधीन है। यह ज्ञात है कि इस उपकरण का औसत संचालन समय $ 500 $ घंटे है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह उपकरण कम से कम $600$ घंटे काम करेगा?

यादृच्छिक चर $ X $ की गणितीय अपेक्षा $ M \ बाएँ (X \ दाएँ) = 500 = 1 / \ लैम्ब्डा $ है, इसलिए वितरण पैरामीटर $ \ लैम्ब्डा = 1/500 = 0.002। $ हम वितरण फ़ंक्शन लिख सकते हैं :

$$ एफ (एक्स) = \ बाएं \ (\ प्रारंभ (मैट्रिक्स)
0, \ x< 0\\
1-ई ^ (- \ लैम्ब्डा एक्स) = 1-ई ^ (- 0.002x), \ x \ जीई 0
\ अंत (मैट्रिक्स) \ दाएं। $$

तब संभावना है कि डिवाइस $ 600 $ घंटे से कम काम करेगा:

$$ P \ बाएँ (X \ ge 600 \ दाएँ) = 1-P \ बाएँ (X .)< 600\right)=1-F\left(600\right)=1-\left(1-e^{-0,002\cdot 600}\right)\approx 0,301.$$

आधारभूत कारकों के लिए, हम खंड VI से गुणनखंड 1 से 7 को गुणनखंडों से जोड़ेंगे। 3 जिस क्रम में वे लिखे गए हैं, अर्थात्, कारक 1 छंटनी है, कारक 2 समरूपता है, आदि। फिर हम तालिका में कारकों के स्तर + और - को जोड़ देंगे। 4 VI कारकों के दो स्तरों के साथ। 3 बेतरतीब ढंग से। यह यादृच्छिक क्रम यादृच्छिक संख्याओं की एक तालिका का उपयोग करके और उन संख्याओं की 1/2 से तुलना करके प्राप्त किया गया था। इस प्रक्रिया के परिणाम तालिका में दिखाए गए हैं। 5. तालिका का संयोजन। तालिका में दिए गए प्रारंभिक कारकों में 4 और 5 योजना देता है। 6, जहाँ A1, (i = 1, ..., 4) अज्ञात यादृच्छिक चरों को निरूपित करता है जिनका पैरामीटर br - b के साथ घातांकीय वितरण है। एक उदाहरण के रूप में, तालिका में संयोजन 1 पर विचार करें। 6. गुणनखंड 1 और 2 तालिका में + स्तर पर हैं। 4. नतीजतन, तालिका से। 5 हमें पूंछ के साथ एक छोटा, तिरछा वितरण लेना है। टेबल 1 हम देखते हैं कि यह वितरण एक यादृच्छिक चर x का एक घातांकीय वितरण है। फैक्टर 6 स्तर पर है

हमारे मामले में, तकनीकी उत्पादों के उद्देश्य कारण इन वितरण कानूनों का उपयोग करने की अनुमति नहीं देते हैं। सबसे पहले, एक सामान्य कानून प्राप्त करने की शर्त कई यादृच्छिक कारकों की संयुक्त कार्रवाई है, जिनमें से कोई भी प्रमुख नहीं है। यह तकनीकी उद्देश्यों के लिए परिचालन स्थितियों और उत्पादों की अस्वीकृति के अनुरूप नहीं है, जहां प्रमुख कारक आवश्यक रूप से प्रकट होते हैं। दूसरे, घातीय कानून के लिए सामान्यता, स्थिरता और परिणाम की शर्तों की आवश्यकता होती है, जो अक्सर इन उत्पादों के लिए पूरी नहीं होती हैं। विशेष रूप से, विफलताओं के प्रवाह को समय के साथ बदलने वाली इसकी संभाव्यता व्यवस्था के कारण स्थिर नहीं माना जा सकता है।

इस तरह की जानकारी उत्पादन प्रक्रियाओं की मौजूदा स्थितियों को दर्शाती है और इसलिए सामान्य आबादी से एक नमूना है। बड़ी संख्या के कानून के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि यदि सामान्य जनसंख्या एक निश्चित वितरण कानून का पालन करती है, तो इस आबादी से पर्याप्त मात्रा में नमूना, इस कानून का पालन करेगा। सबसे अधिक बार, यह कानून अज्ञात है, और इसकी परिभाषा काफी कठिनाइयों का कारण बनती है। ऐसे मामलों में, प्रसिद्ध वितरण कानूनों को वरीयता दी जाती है, जो अक्सर घातीय और सामान्य होते हैं।

एक शब्द से हमारा गलती से यह मतलब होगा कि किसी एक कार के गैस स्टेशन पर किसी भी छोटे समय के अंतराल पर पहुंचने की संभावना एक मनमाना समय क्षण से शुरू होती है / और लंबाई m, नगण्य मूल्यों तक, एक निश्चित आनुपातिकता के साथ m के समानुपाती होती है गुणांक X> 0. K के मान की व्याख्या कारों की औसत संख्या के रूप में की जा सकती है जो स्टेशन पर प्रति यूनिट समय पर दिखाई देती हैं, और इसका उलटा मान 1L, एक कार के दिखने के औसत समय के रूप में। इस अवधि के दौरान कोई कार नहीं आने की संभावना लगभग 1 - मीटर के बराबर मानी जाती है, और दो या दो से अधिक कारों के आने की संभावना याल के मूल्य की तुलना में नगण्य है। किए गए अनुमानों से निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। सबसे पहले, कारों के लगातार दो आगमन के बीच का समय अंतराल / घातीय वितरण को संतुष्ट करता है

इस अवधि के दौरान स्वचालन उपकरण के संचालन से उत्पन्न होने वाले नुकसान की गणना विश्वसनीयता सिद्धांत के उपयोग के आधार पर की जा सकती है, जिसके अनुसार अचानक विफलताओं को अप्रत्याशित, बाहरी भार की अचानक सांद्रता और गणना से अधिक आंतरिक तनाव के कारण सिस्टम विफलता के रूप में परिभाषित किया जाता है। वाले। यदि कुछ तत्वों और कनेक्शनों को खराब तरीके से बनाया या मरम्मत किया जाता है, तो वे कम भार पर विफल हो जाएंगे। इसलिए, दोषपूर्ण तत्वों की विफलताओं को तेजी से वितरित किया जाता है (अचानक विफलताओं के वितरण की पॉइसन प्रकृति पर विचार किया जाता है), औसत संचालन समय अन्य तत्वों की तुलना में कई गुना कम होता है।

घातांकी रूप से वितरण। यह वितरण, एक नियम के रूप में, अचानक विफलताओं के परिचालन समय (अर्थात, गुप्त प्रौद्योगिकी दोषों के कारण विफलता) और दो क्रमिक विफलताओं के बीच समय के वितरण का पालन करता है, यदि उत्पाद स्थिर स्थिति में काम करते हैं।

आइए उस मामले पर विचार करें जब जांच किए गए पैरामीटर को तेजी से वितरित किया जाता है।

Ya.B. शोर एक यादृच्छिक चर के घातीय वितरण के मामले में सामान्य औसत के लिए विश्वास अंतराल निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित सूत्र देता है

जिन परिस्थितियों में अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त की गई थी, उनकी सहजता के बावजूद, सैद्धांतिक रूप से, कई दिलचस्प मामलों के लिए, वे अव्यावहारिक हो जाते हैं। यह तब होता है जब व्युत्पन्न g (x) बिंदु x = v पर अनंत हो जाता है। विशेष रूप से, यह दो-तरफा घातीय वितरण के मामले में है, जिसे हम पहले ही उदाहरण 2 और 3 से प्राप्त कर चुके हैं। इष्टतम के निर्माण के एक संस्करण में

इस अध्याय में हम यादृच्छिक चरों के वितरण के सबसे सामान्य नियमों के साथ-साथ इन कानूनों के मुख्य मापदंडों पर विचार करेंगे। एक गैर-अभिन्न संभाव्यता घनत्व के मामले में एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को खोजने के लिए तरीके दिए जाएंगे, साथ ही एक मनमाना वितरण कानून के साथ यादृच्छिक चर के अनुक्रम प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम, जो यादृच्छिक प्रक्रियाओं का अनुकरण करते समय आवश्यक है। विशेष ध्यानएक सामान्यीकृत घातीय वितरण दिया जाएगा, जो परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण का अध्ययन करने के लिए सबसे उपयुक्त है।

आँकड़ों में पाए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण वितरणों में से एक सामान्य वितरण (गॉसियन वितरण) है, जो घातांक के वर्ग से संबंधित है। इस बंटन का प्रायिकता घनत्व है

एक अन्य प्रकार का घातीय वितरण, सामान्य के साथ, लाप्लास वितरण है, जिसका घनत्व सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

सामान्यीकृत घातीय वितरण।

इससे पहले इस अध्याय में, गॉस और लाप्लास के दो प्रकार के घातीय वितरण पर विचार किया गया था। उनके पास बहुत कुछ है, वे सममित हैं, वे दो मापदंडों (//, s) पर निर्भर करते हैं,

छठी में। 2, हम संक्षेप में एमएमडी और प्रयोग के उद्देश्य का वर्णन करते हैं, अर्थात, इसके परिसर के उल्लंघन के लिए एमएमडी संवेदनशीलता का अध्ययन। VI.3 में हम विस्तार से चर्चा करेंगे कई कारकजो इस संवेदनशीलता को प्रभावित कर सकता है। हम वितरण असामान्यता को कारक 1 के रूप में परिभाषित करते हैं। यह कारक यादृच्छिक चर के लिए किसी दिए गए स्थिरांक (तथाकथित छोटा वितरण कारक) से कम होने की संभावना या असंभवता का वर्णन करता है, वितरण की विषमता और पूंछ, हम कारक 2 लेंगे। कारक 1 और 2 को मिलाकर, हम चार प्रकार के वितरण चुनते हैं (घातीय, एरलांग, घातीय वितरण के साथ दो यादृच्छिक चर का भारित अंतर और घातीय वितरण के साथ यादृच्छिक चर के अंतर का योग)। प्रसरण विषमता को कारक 3 के रूप में निरूपित किया जाएगा। इसका मतलब यह है कि सबसे अच्छी आबादी (afki) का विचरण प्रतिस्पर्धी सबसे खराब आबादी (सबसे कम अनुकूल स्थिति में) के विचरण से अधिक या कम हो सकता है। फैक्टर 4 मापता है कि दो भिन्नताएं बहुत भिन्न हैं या नहीं। कारक 5 इंगित करता है कि क्या सबसे खराब आबादी (सबसे कम अनुकूल स्थिति में) के प्रसरण समान हैं या सभी भिन्न हैं। फैक्टर 6 आबादी की संख्या (तीन या सात) निर्धारित करता है, कारक 7 सबसे कम अनुकूल स्थिति में सबसे अच्छी और अगली आबादी के बीच की दूरी 8 = 6 निर्धारित करता है। कारक पी, संभाव्यता के न्यूनतम मूल्य की गारंटी सही चुनावमाना

ऐसी जानकारी सामान्य आबादी का एक नमूना है, जिसका एक निश्चित वितरण कानून है। अधिकतर, यह कानून अज्ञात है और इसकी परिभाषा रचनात्मक कठिनाइयों का कारण बनती है। ऐसे मामलों में, x> ज्ञात वितरण कानूनों को प्राथमिकता दी जाती है, अक्सर - घातीय और सामान्य।

वितरण कानून। विशेष रूप से, बी = 1 के लिए यह एक घातीय कानून में बदल जाता है, बी = 2 के लिए - रेले के कानून में, बी = 3.25 के साथ - यह सामान्य के करीब है। यह परिस्थिति उत्पाद विफलताओं के सबसे विविध प्रवाह के अध्ययन में एक ही गणितीय उपकरण का उपयोग करना संभव बनाती है। इसके अलावा, यह

कई अध्ययनों में, यह तर्क दिया गया है कि पहनने, थकान, जंग और उम्र बढ़ने के कारण तकनीकी उत्पादों की विफलताओं के लिए, एक सामान्य या लघुगणकीय रूप से सामान्य वितरण कानून काफी संतोषजनक होगा, जबकि यादृच्छिक अधिभार, दुर्घटनाओं से उत्पन्न होने वाली अचानक विफलताओं के मामले में , आदि, एक घातीय कानून उपयुक्त है वितरण कानून।

इस कानून की सार्वभौमिकता को इस तथ्य से समझाया गया है कि पैरामीटर बी के विभिन्न मूल्यों के लिए यह कई वितरण कानूनों तक पहुंचता है। विशेष रूप से, जब बी = यह एक घातीय कानून में बदल जाता है, जब 6 = 2 - रेले के कानून में, जब बी = 3.25 - यह सामान्य के करीब होता है।

इस उदाहरण में, हमने पॉइसन इनपुट स्ट्रीम, एक्सपोनेंशियल सर्विस टाइम, एक सर्वर इंस्टॉलेशन के सबसे सरल मामले पर विचार किया। वास्तव में, वितरण बहुत अधिक जटिल हैं, और गैस स्टेशनों में बड़ी संख्या में गैस स्टेशन शामिल हैं। कतार प्रणाली के वर्गीकरण को सुव्यवस्थित करने के लिए, अमेरिकी गणितज्ञ डी. केंडल ने एक सुविधाजनक संकेतन प्रणाली का प्रस्ताव रखा जो अब तक व्यापक हो गई है। केंडल ने तीन प्रतीकों का उपयोग करके कतार प्रणाली के प्रकार को निर्दिष्ट किया, जिनमें से पहला इनपुट स्ट्रीम के प्रकार का वर्णन करता है, दूसरा - सेवा प्रणाली के संभाव्य विवरण का प्रकार, और तीसरा - सेवारत उपकरणों की संख्या। प्रतीक एम इनपुट स्ट्रीम के पॉइसन वितरण (दावों के बीच अंतराल के घातीय वितरण के साथ) को दर्शाता है, उसी प्रतीक का उपयोग सेवा अवधि के घातीय वितरण के लिए किया गया था। इस प्रकार, इस खंड में वर्णित और अध्ययन की गई कतार प्रणाली का पदनाम एम / एम / 1 है। एम / जी / 3 सिस्टम, उदाहरण के लिए, पॉइसन इनपुट स्ट्रीम, सामान्य (अंग्रेजी में - सामान्य) सेवा समय वितरण फ़ंक्शन और तीन सर्वर वाले सिस्टम के लिए खड़ा है। अन्य संकेतन भी हैं: डी दावों या सेवा अवधियों के बीच अंतराल का एक नियतात्मक वितरण है, ई ऑर्डर एन का एक एरलांग वितरण है, आदि।

विभिन्न वितरणों के साथ यादृच्छिक संख्याओं के अनुक्रमों के निर्माण के लिए यहां उल्लिखित विधियों के आधार पर, प्रक्रियाओं रैंडल और रैंड 2 का निर्माण करना संभव है, जिनका उपयोग अल्गोल कार्यक्रम में गैस स्टेशन मॉडल पर गणना के लिए किया गया था। यदि कारों और सेवा की अवधि के बीच उपयोग किए गए यादृच्छिक अंतराल में एक घातीय वितरण होता है, तो उलटा कार्यों की विधि का उपयोग करना बेहतर होता है, और यदि कुछ अनुभवजन्य वितरण होता है, तो कंप्यूटर में असतत मूल्यों को संग्रहीत करने के आधार पर एक विधि टक्कर मारना।

आइए कार सेवा समय के विवरण पर चलते हैं। चूंकि ड्राइवर अलग-अलग मात्रा में गैसोलीन लेते हैं और कौशल में भिन्न होते हैं, सेवा समय को शायद ही स्थिर माना जा सकता है। माना कि किसी कार की सेवा, जो किसी भी क्षण t पर गैस स्टेशन पर है, एक छोटे अंतराल U, f + rJ में पूरी हो जाएगी, लगभग JLIT के बराबर है, जहाँ u> 0. प्रायिकता कि सेवा इस अवधि के दौरान समाप्त नहीं होगा, लगभग 1 - ct के बराबर माना जाता है, और सेवा पूरी होने की संभावना है। दो या दो से अधिक कारों का स्नान - नगण्य मूल्य। फिर

कहाँ पे λ एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है।

व्यंजक (3.1) से, यह इस प्रकार है कि घातांक वितरण एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है λ.

घातीय वितरण की यह विशेषता उसकी ओर इशारा करता है वितरण पर लाभ , बड़ी संख्या में मापदंडों के आधार पर। पैरामीटर आमतौर पर अज्ञात होते हैं और हमें निश्चित रूप से उनके अनुमान (अनुमानित मान) खोजने होंगे, दो या तीन की तुलना में एक पैरामीटर का अनुमान लगाना आसान है, आदि। . घातीय नियम के अनुसार वितरित एक सतत यादृच्छिक चर का एक उदाहरण , सरलतम प्रवाह की लगातार दो घटनाओं की घटनाओं के बीच का समय काम कर सकता है।

आइए हम घातांकीय नियम का वितरण फलन ज्ञात करें .

इसलिए

घनत्व के ग्राफ और घातीय कानून के वितरण समारोह को अंजीर में दिखाया गया है। 3.1.

ध्यान में रख कर हम पाते हैं:

फ़ंक्शन मान तालिका से पाए जा सकते हैं।

घातीय वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं

चलो एक सतत यादृच्छिक चरΧ घातीय कानून के अनुसार वितरित

अपेक्षित मान ज्ञात कीजिए , निरंतर यादृच्छिक चर के लिए इसकी गणना के लिए सूत्र का उपयोग करना:

इसलिये:

मानक विचलन का पता लगाएं , जिसके लिए हम प्रसरण का वर्गमूल निकालते हैं:

(3.4), (3.5), और (3.6) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि

अर्थात।गणितीय अपेक्षा और घातांक वितरण का मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं।

घातीय वितरण व्यापक रूप से वित्तीय और तकनीकी समस्याओं के विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, विश्वसनीयता के सिद्धांत में।

4. ची-स्क्वायर वितरण और छात्र का टी-वितरण।

4.1 ची-स्क्वायर वितरण (- वितरण)

मान लीजिए i (ί = 1, 2, ..., n) सामान्य स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं , तथा उनमें से प्रत्येक की गणितीय अपेक्षा शून्य के बराबर है , ए मानक विचलन - इकाई .

तो इन राशियों के वर्गों का योग

कानून द्वारा वितरितसाथस्वतंत्रता का दर्जा , यदि ये मात्राएँ एक रैखिक संबंध से संबंधित हैं, उदाहरण के लिए, तो स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या

ची-स्क्वायर वितरण का व्यापक रूप से गणितीय आँकड़ों में उपयोग किया जाता है।

इस वितरण का घनत्व

गामा फ़ंक्शन कहाँ है, विशेष रूप से।

इससे पता चलता है कि ची-स्क्वायर वितरण एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है - स्वतंत्रता की डिग्री की संख्याक।

जैसे-जैसे स्वतंत्रता की डिग्री बढ़ती है, काई-वर्ग वितरण धीरे-धीरे सामान्य हो जाता है।

अगर हम एरलांग वितरण कानून लेते हैं तो ची-स्क्वायर वितरण प्राप्त होता है λ = ½ तथा कश्मीर = एन /2 – 1.

एक ची-वर्ग वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता, सरल सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं, जिन्हें हम बिना व्युत्पत्ति के प्रस्तुत करते हैं:

यह इस सूत्र से निकलता है कि परची-वर्ग वितरण घातीय वितरण के साथ मेल खाता हैλ = ½ .

ची-स्क्वायर वितरण के लिए संचयी वितरण फलन विशेष अपूर्ण सारणीबद्ध गामा फलनों के माध्यम से निर्धारित किया जाता है

चित्र 4.1। दिया जाता है n = 4, 6, 10 के लिए ची-वर्ग वितरण वाले यादृच्छिक चर के संभाव्यता घनत्व और वितरण फ़ंक्शन के प्लॉट।

चित्र 4.1। ए ) ची-वर्ग वितरण के लिए प्रायिकता घनत्व प्लॉट

चित्र 4.1। ख) ची-वर्ग वितरण के लिए वितरण फलन के प्लॉट

4.2 छात्र वितरण

मान लीजिए Z एक सामान्य यादृच्छिक चर है, और

ए वी Z से स्वतंत्र एक मात्रा है, जिसे ची-स्क्वायर कानून के अनुसार वितरित किया जाता हैक स्वतंत्रता की डिग्री। तबआकार:

एक वितरण कहा जाता हैटी -वितरण या छात्र का वितरण (अंग्रेजी सांख्यिकीविद् वी। गोसेट का छद्म नाम),

साथक = एन - स्वतंत्रता की 1 डिग्री (एन - सांख्यिकीय समस्याओं को हल करते समय सांख्यिकीय नमूने का आकार)।

इसलिए , ची-स्क्वायर कानून के अनुसार वितरित एक स्वतंत्र यादृच्छिक चर के वर्गमूल के सामान्यीकृत सामान्य मान का अनुपात कस्वतंत्रता का दर्जा , द्वारा विभाजित क,के साथ छात्र कानून के अनुसार वितरित कस्वतंत्रता का दर्जा।

छात्र का वितरण घनत्व:

हम यहां उनकी व्युत्पत्ति के विवरण में जाने के बिना एक सतत यादृच्छिक चर $ X $ के घातीय वितरण से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं और सूत्रों को नोट करते हैं।

परिभाषा 1

एक सतत यादृच्छिक चर $ X $ का एक घातीय या घातीय वितरण एक वितरण है जिसका घनत्व रूप है:

चित्र 1।

घातीय वितरण घनत्व ग्राफ का रूप है (चित्र 1):

चित्रा 2. घातीय वितरण घनत्व का प्लॉट।

घातीय वितरण समारोह

चूंकि यह जांचना आसान है, घातीय वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

चित्र तीन।

जहां $ \ gamma $ एक सकारात्मक स्थिरांक है।

घातांक वितरण फलन का ग्राफ इस प्रकार है:

चित्रा 4. घातीय वितरण समारोह का ग्राफ।

एक घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर को मारने की संभावना

एक घातीय वितरण के साथ अंतराल $ (\ अल्फा, \ बीटा) $ में निरंतर यादृच्छिक चर गिरने की संभावना की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

उम्मीद: $ M \ बाएँ (X \ दाएँ) = \ frac (1) (\ गामा)। $

भिन्नता: $ D \ बाएँ (X \ दाएँ) = \ frac (1) ((\ gamma) ^ 2)। $

मानक विचलन: $ \ सिग्मा \ बाएँ (X \ दाएँ) = \ फ़्रेक (1) (\ गामा) $।

घातीय वितरण समस्या का एक उदाहरण

उदाहरण 1

यादृच्छिक चर $ X $ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है। परिभाषा के क्षेत्र में $ \ बाएँ \