पंक्ति

एक सीरीज दी जाए ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n))और α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | ए एन | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). तब

कॉची और डी'अलेम्बर्ट परीक्षणों में अभिसरण के बारे में बयान ज्यामितीय प्रगति (हर के साथ) के साथ तुलना से लिया गया है लिम ¯ एन → ∞ ⁡ | ए एन + 1 ए एन | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)और α (\displaystyle \alpha )क्रमशः), विचलन के बारे में - इस तथ्य से कि श्रृंखला का सामान्य पद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता है।

कॉची का परीक्षण इस अर्थ में डी'एलेम्बर्ट के परीक्षण से अधिक मजबूत है कि यदि डी'एलेम्बर्ट का परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, तो कॉची का परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है; यदि कॉची का परीक्षण किसी को अभिसरण के बारे में कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है, तो डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण भी किसी को कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है; ऐसी श्रृंखलाएँ हैं जिनके लिए कॉची का परीक्षण अभिसरण का संकेत देता है, लेकिन डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण अभिसरण का संकेत नहीं देता है।

इंटीग्रल कॉची-मैकलॉरिन परीक्षण

एक सीरीज दी जाए ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)और कार्य f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )ऐसा है कि:

फिर सिलसिला ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))और अभिन्न ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)एक साथ अभिसरण या विचलन, और ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

राबे की निशानी

एक सीरीज दी जाए ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)और R n = n (a n a n + 1 - 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

राबे का परीक्षण सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित है

पंक्तियों पर क्रियाएँ

उदाहरण

श्रृंखला पर विचार करें 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +। . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). इस पंक्ति के लिए:

इस प्रकार, कॉची का परीक्षण अभिसरण को इंगित करता है, जबकि डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है।

श्रृंखला पर विचार करें ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

इस प्रकार, कॉची का परीक्षण विचलन को इंगित करता है, जबकि डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है।

पंक्ति ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))पर एकत्रित होता है α > 1 (\displaystyle \अल्फा >1)और पर विचलन करता है α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), तथापि:

इस प्रकार, कॉची और डी'एलेम्बर्ट के संकेत हमें कोई निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देते हैं।

पंक्ति ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))हार्मोनिक श्रृंखला के बाद से, लीबनिज़ मानदंड के अनुसार सशर्त रूप से अभिसरण होता है, लेकिन पूरी तरह से नहीं ∑ n = 1 ∞ | (− 1) एन एन | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))विचलन

, बिंदु के बाएँ पड़ोस में असीमित है बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी). दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)बुलाया बिल्कुल अभिसरण, यदि अभिन्न अभिसरण करता है ∫ ए बी | एफ(एक्स) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

प्रत्यावर्ती श्रृंखला वह श्रृंखला होती है जिसके पद वैकल्पिक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक होते हैं। . अक्सर, वैकल्पिक श्रृंखला पर विचार किया जाता है, जिसमें शब्द एक समय में एक के बाद एक आते हैं: प्रत्येक सकारात्मक के बाद एक नकारात्मक आता है, और प्रत्येक नकारात्मक के बाद एक सकारात्मक आता है। लेकिन ऐसी वैकल्पिक पंक्तियाँ होती हैं जिनमें सदस्य दो, तीन, इत्यादि के माध्यम से वैकल्पिक होते हैं।

एक वैकल्पिक श्रृंखला के उदाहरण पर विचार करें, जिसकी शुरुआत इस तरह दिखती है:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

और तुरंत सामान्य नियमवैकल्पिक पंक्तियों के रिकॉर्ड.

किसी भी श्रृंखला की तरह, किसी दी गई श्रृंखला को जारी रखने के लिए, आपको एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करना होगा जो श्रृंखला का सामान्य पद निर्धारित करता है। हमारे मामले में यह है एन + 2 .

किसी शृंखला के सदस्यों के चिह्नों का प्रत्यावर्तन कैसे निर्धारित करें? किसी फ़ंक्शन को कुछ डिग्री तक शून्य से एक गुणा करना। किस डिग्री में? आइए हम तुरंत इस बात पर जोर दें कि प्रत्येक डिग्री श्रृंखला की शर्तों के लिए संकेतों के विकल्प को सुनिश्चित नहीं करती है।

मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि वैकल्पिक श्रृंखला के पहले पद पर एक सकारात्मक चिह्न हो, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है। तब शून्य से एक घात होना चाहिए एन− 1 . इस अभिव्यक्ति में एक से शुरू होने वाली संख्याओं को प्रतिस्थापित करना शुरू करें और आपको मिलेगा शून्य से एक पर प्रतिपादक के रूप में, तब भी, तब विषम संख्या. यह वही है आवश्यक शर्तवैकल्पिक संकेत! जब हमें वैसा ही परिणाम मिलता है एन+ 1 . यदि हम चाहते हैं कि प्रत्यावर्ती श्रृंखला का पहला पद ऋणात्मक चिह्न के साथ हो, तो हम उभयनिष्ठ पद के फलन को घात से एक से गुणा करके इस श्रृंखला को परिभाषित कर सकते हैं। एन. हमें एक सम संख्या, एक विषम संख्या इत्यादि प्राप्त होती है। जैसा कि हम देख सकते हैं, वैकल्पिक संकेतों के लिए पहले से वर्णित शर्त पूरी हो गई है।

इस प्रकार, हम उपरोक्त वैकल्पिक श्रृंखला को सामान्य रूप में लिख सकते हैं:

किसी श्रृंखला के सदस्य के चिह्नों को वैकल्पिक करने के लिए, घात शून्य से एक का योग हो सकता है एनऔर कोई भी सकारात्मक या नकारात्मक, सम या विषम संख्या। यही बात 3 पर भी लागू होती है एन , 5एन, ... अर्थात्, प्रत्यावर्ती श्रृंखला के सदस्यों के चिह्नों को बारी-बारी से योग के रूप में शून्य से एक पर डिग्री प्रदान की जाती है एन, किसी भी विषम संख्या और किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

शून्य से एक पर कौन सी शक्तियाँ श्रृंखला की शर्तों के संकेतों के विकल्प को सुनिश्चित नहीं करती हैं? जो फॉर्म में मौजूद हैं एन, किसी भी सम संख्या से गुणा किया गया है, जिसमें शून्य, सम या विषम सहित कोई भी संख्या जोड़ी गई है। ऐसी डिग्री के संकेतकों के उदाहरण: 2 एन , 2एन + 1 , 2एन − 1 , 2एन + 3 , 4एन+ 3 ... ऐसी शक्तियों के मामले में, किस संख्या में "एन" जोड़ा जाता है, इसके आधार पर, एक सम संख्या से गुणा करने पर, या तो केवल सम या केवल विषम संख्याएं प्राप्त होती हैं, जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, ऐसा नहीं होता है श्रृंखला के पदों के चिह्नों का विकल्प दीजिए।

वैकल्पिक श्रृंखला - एक विशेष मामला वैकल्पिक श्रृंखला . प्रत्यावर्ती श्रृंखला मनमाने चिह्नों की शर्तों वाली श्रृंखला है , अर्थात वे जो किसी भी क्रम में सकारात्मक और नकारात्मक हो सकते हैं। एकांतर श्रृंखला का एक उदाहरण:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

इसके बाद, हम प्रत्यावर्ती और प्रत्यावर्ती श्रृंखला के अभिसरण के संकेतों पर विचार करते हैं। लाइबनिज़ परीक्षण का उपयोग करके संकेतों की वैकल्पिक श्रृंखला का सशर्त अभिसरण स्थापित किया जा सकता है। और श्रृंखला की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए - वैकल्पिक श्रृंखला (वैकल्पिक श्रृंखला सहित) - पूर्ण अभिसरण का मानदंड लागू होता है।

संकेतों की वैकल्पिक श्रृंखला का अभिसरण। लीबनिज़ का परीक्षण

वैकल्पिक संकेतों की श्रृंखला के लिए, अभिसरण की निम्नलिखित कसौटी मान्य है- लाइबनिज़ कसौटी।

प्रमेय (लीबनिज़ परीक्षण)।यदि निम्नलिखित दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं, तो श्रृंखला अभिसरण करती है, और इसका योग पहले पद से अधिक नहीं होता है:

• प्रत्यावर्ती श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है: यू1 > यू 2 > यू 3 > ... > यू n>...;
• असीमित वृद्धि के साथ इसके सामान्य पद की सीमा एनशून्य के बराबर.

परिणाम। यदि हम प्रत्यावर्ती श्रृंखला के योग को उसके योग के रूप में लेते हैं एनपद, तो अनुमत त्रुटि पहले छोड़े गए पद के निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होगी।

उदाहरण 1।श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है. इसके सदस्यों के निरपेक्ष मान घटते हैं:

और सामान्य पद की सीमा

शून्य के बराबर:

लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए श्रृंखला अभिसरण होती है।

उदाहरण 2.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है. पहले हम यह साबित करते हैं:

, .

अगर एन= 1, तो सभी के लिए एन > एनअसमानता 12 कायम है एन − 7 > एन. बदले में, सभी के लिए एन. इसलिए, अर्थात्, श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है। आइए हम श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें (का उपयोग करके)। एल हॉस्पिटल का नियम):

सामान्य पद की सीमा शून्य है. लाइबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए अभिसरण के प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है।

उदाहरण 3.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। एक वैकल्पिक श्रृंखला दी गई है। आइए जानें कि लीबनिज मानदंड की पहली शर्त, यानी आवश्यकता पूरी होती है या नहीं। आवश्यकता की पूर्ति के लिए यह आवश्यक है

हमने यह सुनिश्चित किया है कि सभी की आवश्यकताएं पूरी हों एन > 0 . लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा ज्ञात करें:

.

सीमा शून्य नहीं है. इस प्रकार, लीबनिज़ मानदंड की दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए अभिसरण प्रश्न से बाहर है।

उदाहरण 4.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। इस श्रृंखला में, दो नकारात्मक शब्दों के बाद दो सकारात्मक शब्द आते हैं। यह शृंखला भी परिवर्तनशील है। आइए जानें कि लीबनिज के परीक्षण की पहली शर्त पूरी होती है या नहीं।

आवश्यकता सभी के लिए पूरी की जाती है एन > 1 . लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है (एल'हॉपिटल का नियम लागू करते हुए):

.

हमें शून्य मिला. इस प्रकार लाइबनिज़ के परीक्षण की दोनों शर्तें पूरी होती हैं। अभिसरण हो रहा है.

उदाहरण 5.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। यह एक वैकल्पिक श्रृंखला है. आइए जानें कि लीबनिज के परीक्षण की पहली शर्त पूरी होती है या नहीं। क्योंकि

,

क्योंकि एन ≥ 0 , फिर 3 एन+ 2 > 0 . बदले में, सभी के लिए एन, इसीलिए । परिणामस्वरूप, श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है। लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या श्रृंखला के सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है (एल'हॉपिटल का नियम लागू करते हुए):

.

हमें शून्य मान मिला. लीबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए यह श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 6.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान। आइए जानें कि इस वैकल्पिक श्रृंखला के लिए लीबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है या नहीं:

श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घट जाता है। लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है:

.

सामान्य पद की सीमा शून्य नहीं है. लीबनिज के परीक्षण की दूसरी शर्त संतुष्ट नहीं है। इसलिए, यह शृंखला अलग हो जाती है।

लीबनिज का परीक्षण एक संकेत है श्रृंखला का सशर्त अभिसरण. इसका मतलब यह है कि ऊपर मानी गई वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण और विचलन के बारे में निष्कर्ष को पूरक किया जा सकता है: ये श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण (या विचलन) करती हैं।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला का पूर्ण अभिसरण

चलो पंक्ति

- वैकल्पिक संकेत. आइए हम इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें:

परिभाषा। एक श्रृंखला को पूर्ण रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि उसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बनी श्रृंखला अभिसरण करती है। यदि कोई प्रत्यावर्ती श्रृंखला अभिसरण करती है, और उसके सदस्यों के निरपेक्ष मानों से बनी श्रृंखला अपसरण करती है, तो ऐसी प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त या गैर-पूर्ण रूप से अभिसरण .

प्रमेय.यदि कोई श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है, तो यह सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण 7.निर्धारित करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

समाधान। इस शृंखला के अनुरूप सकारात्मक शब्दों के आगे यह शृंखला है सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला, जिसमें , इसलिए श्रृंखला अलग हो जाती है। आइए देखें कि लीबनिज़ परीक्षण की शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं।

आइए श्रृंखला के पहले पाँच पदों के निरपेक्ष मान लिखें:

.

जैसा कि हम देख सकते हैं, श्रृंखला के पदों का निरपेक्ष मान घटता है। लीबनिज की पहली कसौटी संतुष्ट है। आइए जानें कि क्या सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है:

हमें शून्य मान मिला. लीबनिज़ के परीक्षण की दोनों शर्तें पूरी होती हैं। अर्थात् लीबनिज की कसौटी के अनुसार अभिसरण होता है। और सकारात्मक पदों वाली संगत श्रृंखला विसरित हो जाती है। इसलिए, यह श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

उदाहरण 8.निर्धारित करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

बिल्कुल, सशर्त, या भिन्न।

समाधान। इस श्रृंखला के अनुरूप सकारात्मक पदों के आगे श्रृंखला है। यह एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला है, जिसमें, इसलिए, श्रृंखला विचलन करती है। आइए देखें कि लीबनिज़ परीक्षण की शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं।

अब हम उस श्रृंखला के अध्ययन की ओर बढ़ेंगे जिसके सदस्य किसी भी चिह्न की वास्तविक संख्याएँ हैं।

परिभाषा 1. हम शृंखला कहेंगे

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है तो बिल्कुल अभिसरण

ध्यान दें कि यह परिभाषा इस बारे में कुछ नहीं कहती है कि क्या श्रृंखला (1.49) को अभिसरण माना जाता है। यह पता चला है कि ऐसी धारणा अनावश्यक होगी, क्योंकि निम्नलिखित प्रमेय सत्य है।

प्रमेय 1.9. श्रृंखला के अभिसरण (1.50) का तात्पर्य श्रृंखला के अभिसरण (1.49) से है।

सबूत। आइए हम श्रृंखला के लिए कॉची मानदंड का उपयोग करें (अर्थात्, प्रमेय 1.1)। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि किसी भी संख्या के लिए एक संख्या ऐसी होती है कि शर्त को संतुष्ट करने वाली सभी संख्याओं के लिए और किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए निम्नलिखित असमानता सत्य होती है:

हम कोई भी ठीक कर देते हैं। चूँकि श्रृंखला (1.50) अभिसरण करती है, तो प्रमेय 1.1 के आधार पर एक संख्या ऐसी होती है जो शर्त को संतुष्ट करने वाली सभी संख्याओं के लिए और किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए निम्नलिखित असमानता रखती है:

चूँकि कई पदों के योग का मापांक उनके मापांक के योग से अधिक नहीं होता है

असमानताओं (1.52) और (1.53) की तुलना करने पर, हमें असमानताएँ (1.51) प्राप्त होती हैं। प्रमेय सिद्ध है.

परिभाषा 2. श्रृंखला (1.49) को सशर्त रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि यह श्रृंखला अभिसरण करती है, जबकि मॉड्यूल की संगत श्रृंखला (1.50) विचलन करती है।

पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला का एक उदाहरण एक श्रृंखला है।

यह श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण करती है, क्योंकि जब श्रृंखला (1.33) अभिसरण होती है।

आइए हम सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला का एक उदाहरण दें। आइए हम श्रृंखला के सशर्त अभिसरण को सिद्ध करें

चूंकि मॉड्यूल की संबंधित श्रृंखला (हार्मोनिक श्रृंखला), जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, विचलन करती है, तो श्रृंखला के सशर्त अभिसरण (1.54) को साबित करने के लिए यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि यह श्रृंखला अभिसरण करती है। आइए हम सिद्ध करें कि श्रृंखला (1.54) संख्या में परिवर्तित होती है। अनुच्छेद 2 § 9 अध्याय में। भाग 6 में हमने फ़ंक्शन के मैकलॉरिन सूत्र के अनुसार अपघटन प्राप्त किया

वहां, खंड से सभी x के लिए, शेष पद का निम्नलिखित अनुमान प्राप्त किया गया था।

(आम तौर पर बोलने वाले) जटिल शब्दों के साथ, जिसके लिए श्रृंखला अभिसरित होती है

श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण के लिए (1) यह आवश्यक और पर्याप्त है (श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण के लिए कॉची मानदंड) कि किसी के लिए एक संख्या मौजूद है जैसे कि सभी संख्याओं और सभी पूर्णांकों के लिए निम्नलिखित मान्य है:

यदि कोई शृंखला पूर्णतया अभिसारी है, तो वह अभिसारी हो जाती है। पंक्ति

बिल्कुल एकाग्र होता है और एक पंक्ति

अभिसरण होता है, लेकिन पूर्णतया नहीं। होने देना

एक श्रृंखला जो श्रृंखला (1) के समान शब्दों से बनी है, लेकिन आम तौर पर एक अलग क्रम में ली गई है। श्रृंखला (1) के पूर्ण अभिसरण से, श्रृंखला (3) का पूर्ण अभिसरण होता है, और श्रृंखला (3) का योग श्रृंखला (1) के समान होता है। यदि पंक्तियाँ

तो, बिल्कुल अभिसरण: उनमें से कोई भी रैखिक संयोजन

बिल्कुल अभिसरण भी करता है; इन श्रृंखलाओं के पदों के सभी संभावित जोड़ीवार उत्पादों से प्राप्त एक श्रृंखला, एक मनमाना क्रम में व्यवस्थित, भी बिल्कुल अभिसरण है और इसका योग इन श्रृंखलाओं के योगों के उत्पाद के बराबर है। पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला के सूचीबद्ध गुण आगे बढ़ते हैं एकाधिक पंक्तियाँ

पूर्ण रूप से अभिसरण होता है, अर्थात, सूचकांकों द्वारा श्रृंखला (4) के सदस्यों को क्रमिक रूप से जोड़ने पर प्राप्त सभी श्रृंखलाएं पूर्ण रूप से अभिसरण होती हैं, और एकाधिक श्रृंखला (4) और दोहराई गई श्रृंखला (5) का योग बराबर होता है और बनी किसी एकल श्रृंखला के योग के साथ मेल खाता है श्रृंखला के सभी सदस्यों से (4)।

यदि श्रृंखला (1) के पद तत्वों के मानदंड के साथ एक निश्चित बानाच स्थान के तत्व हैं, तो श्रृंखला (1) कहलाती है। यदि श्रृंखला अभिसरण करती है तो बिल्कुल अभिसरण

ए.एस. के मामले में. आर। बानाच स्थान के तत्व, विशेष रूप से, बीजगणितीय प्रणालियों में, बिल्कुल अभिसरण संख्या श्रृंखला के उपरोक्त गुणों को सामान्यीकृत किया जाता है। आर। बानाच स्थान के तत्व इस स्थान में एकत्रित होते हैं। इसी तरह, ए.एस. की अवधारणा। आर। बानाच क्षेत्र में कई श्रृंखलाओं को आगे बढ़ाया जाता है।

गणितीय विश्वकोश. - एम.: सोवियत विश्वकोश. आई. एम. विनोग्रादोव। 1977-1985.

देखें अन्य शब्दकोशों में "बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला" क्या है:

कार्यात्मक श्रृंखला (1) (आम तौर पर बोलने वाले) जटिल शब्दों के साथ, सेट आंशिक का क्रम... ... गणितीय विश्वकोश

सामग्री। 1) परिभाषा. 2) एक श्रृंखला द्वारा निर्धारित संख्या। 3) श्रृंखला का अभिसरण और विचलन। 4) सशर्त और पूर्ण अभिसरण। 5) समान अभिसरण। 6) फ़ंक्शंस का श्रृंखला में विस्तार। 1 कई। परिभाषाएं। आर. तत्वों का एक क्रम है... ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रॉकहॉस और आई.ए. एप्रोन

एक अनंत योग, एक निश्चित रैखिक टोपोलॉजिकल के तत्वों का एक क्रम (किसी दी गई श्रृंखला के सदस्य कहा जाता है)। अंतरिक्ष और उनके परिमित योग का एक निश्चित अनंत सेट (जिसे दुनिया का आंशिक योग कहा जाता है...) गणितीय विश्वकोश

एक श्रृंखला, एक अनंत योग, उदाहरण के लिए, रूप का u1 + u2 + u3 +... + un +... या, संक्षेप में,। (1) आर के सबसे सरल उदाहरणों में से एक, जो पहले से ही प्रारंभिक गणित में पाया जाता है, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति 1 + क्यू + क्यू 2 +... + क्यू... का योग है।

I एक अनंत योग है, उदाहरण के लिए, u1 + u2 + u3 +... + un +... के रूप में या, संक्षेप में, योग के सबसे सरल उदाहरणों में से एक, जो पहले से ही प्राथमिक गणित में पाया जाता है, एक अनंत रूप से घटता हुआ योग है जोड़... ... महान सोवियत विश्वकोश

कार्यों का अनुक्रम, जो अछायांकित क्षेत्र में, प्राकृतिक लघुगणक (लाल) में परिवर्तित होता है। में इस मामले मेंघात श्रृंखला का Nवां आंशिक योग है, जहां N पदों की संख्या को इंगित करता है। कार्यात्मक श्रृंखला...विकिपीडिया

एस एक एकाधिक श्रृंखला है, जो तालिका सदस्यों से बने रूप की अभिव्यक्ति है। इस तालिका के प्रत्येक सदस्य को सूचकांक एम, एन, के साथ क्रमांकित किया गया है। . . , पी, जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से सभी प्राकृतिक संख्याओं से होकर गुजरती है। के.आर. का सिद्धांत. दोहरी श्रृंखला के सिद्धांत के समान। यह सभी देखें… … गणितीय विश्वकोश

एकाधिक चापों की कोसाइन और साइन की एक श्रृंखला, यानी रूप या अंदर की एक श्रृंखला जटिल रूपजहां क्रमशः ak, bk या ck कहा जाता है। टी.आर. गुणांक पहली बार टी. आर. एल. यूलर (एल. यूलर, 1744) में पाया गया। उन्हें सल्फर में अपघटन प्राप्त हुआ। 18 वीं सदी के सिलसिले में... ... गणितीय विश्वकोश

वह श्रृंखला जहां k से स्वतंत्र किसी क्षेत्र में होलोमोर्फिक हैं, तो श्रृंखला (*) कहलाती है। हार्टोग्सा के पास. डी प्रकार के हार्टोग्स डोमेन में होलोमोर्फिक कोई भी फ़ंक्शन डीजी के भीतर एक बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण फ़ंक्शन में विघटित किया जा सकता है। एल.आर. पूरे में... ... गणितीय विश्वकोश

उदाहरण 2.

जांच करें कि क्या श्रृंखला अभिसरण करती है।

क्योंकि

फिर सिलसिला एक हो जाता है.

अभिन्न अभिसरण परीक्षण

अभिसरण के लिए अभिन्न मानदंड निम्नलिखित प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है

प्रमेय 1.8.

सकारात्मक शर्तों वाली एक श्रृंखला दी गई है

यदि फ़ंक्शन निरंतर, सकारात्मक है और बढ़ता नहीं है, और बिंदुओं पर मान लेता है, तो श्रृंखला(1.23) और अनुचित अभिन्न(1.24) एक ही समय में अभिसरण या विचलन।

सबूत।

अगर , फिर कहाँ से

;

यदि अभिन्न (1.24) अभिसरण करता है और , वह किसी भी प्राकृतिक के साथ इस तरह,

.

चूंकि अनुक्रम नीरस रूप से बढ़ रहा है और घिरा हुआ है, तो अस्तित्व में है, यानी। श्रृंखला (1.23) भी अभिसरण करती है। यदि श्रृंखला (1.23) अभिसरण करती है और, तो किसी के लिए।

समानता (1.26) से यह इस प्रकार है किसी पर । अनुचित अभिन्न अंग भी अभिसरण करता है।

अभिन्न परीक्षण का उपयोग करके, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि श्रृंखला

(1.27)

कोई भी वास्तविक संख्या कहां है, पर अभिसरित होती है और कहां पर विसरित होती है।

वास्तव में, यह पर अभिसरण और विसरित होता है।

बारी-बारी से पंक्तियाँ। लीबनिज़ का परीक्षण

अदल-बदल करअगली एक श्रृंखला है जिसमें संख्याओं के साथ कोई दो पद हैं और विपरीत संकेत हैं, अर्थात्। फॉर्म की श्रृंखला

(1.30)

सबूत।

आइए सम और विषम संख्याओं वाली श्रृंखला (1.28) के आंशिक योग पर विचार करें:

आइए इनमें से पहले योग को रूपांतरित करें:

शर्त (1.29) के कारण, प्रत्येक कोष्ठक में अंतर धनात्मक है, इसलिए योग और हर किसी के लिए. इसलिए, आंशिक योगों का क्रम भी एकरस रूप से बढ़ रहा है और सीमित है। इसकी एक सीमा है, जिसे हम द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात। . क्योंकि , फिर, पिछली समानता और स्थिति (1.30) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

अतः, सम और विषम संख्याओं वाली किसी श्रृंखला के आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा क्रमशः समान होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी श्रृंखला के सभी आंशिक योगों के अनुक्रम की एक सीमा होती है; वे। श्रृंखला एकत्रित होती है।

उदाहरण।

जांच करें कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है

(1.31)

यह शृंखला परिवर्तनशील है। यह अभिसरण करता है क्योंकि यह प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है

एक वैकल्पिक श्रृंखला के शेषफल का अनुमान निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय 1.10.

लीबनिज़ के प्रमेय की शर्तों को पूरा करने वाली एक वैकल्पिक श्रृंखला के शेषफल के योग में पहले शेष पद का चिह्न होता है और यह निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होता है।

सबूत।

आइए पदों के बाद श्रृंखला के शेष भाग (1.28) पर विचार करें। मान लीजिए कि इसका योग, -i आंशिक योग है

चूँकि प्रमेय 1.9 की शर्तें संतुष्ट हैं सबके सामने, यानि , कहाँ

या

इसी प्रकार यह सिद्ध है कि शर्तों के पूरा होने के बाद श्रृंखला के शेष का योग शर्तों को पूरा करता है , अर्थात। और .

इसलिए, सम या विषम की परवाह किए बिना

इस श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला पर विचार करें:

(1.34)

प्रमेय 1.11.

यदि पंक्ति(1.34) अभिसरित होता है, फिर श्रृंखला अभिसरित होती है(1.33).

सबूत।

चूँकि श्रृंखला (1.34) अभिसरण करती है, तो कॉची मानदंड (प्रमेय 1.1) के आधार पर किसी के लिए ऐसी संख्या मौजूद होती है, तो सभी और किसी भी पूर्णांक के लिए असमानता कायम रहती है

.

वह । इसका मतलब यह है कि श्रृंखला (1.33) भी अभिसरण करती है।

टिप्पणी।

श्रृंखला का अभिसरण (1.33) श्रृंखला के अभिसरण (1.34) का अर्थ नहीं है। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला अभिसरण (धारा 1.6 देखें), और इसके सदस्यों के मॉड्यूल की श्रृंखला अलग हो जाती है (हार्मोनिक श्रृंखला, धारा 1.2 देखें)।

बिल्कुल अभिसरण,यदि इसके पदों के मापांक की एक श्रृंखला अभिसरित होती है। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला

पूर्णतया अभिसारी है, क्योंकि इसके पदों के मापांक की श्रृंखला अभिसरण करती है, अर्थात्। श्रृंखला (हर के साथ ज्यामितीय प्रगति, ).

वैकल्पिक श्रृंखलाबुलाया गैर-बिल्कुल अभिसरण (सशर्त रूप से अभिसरण),यदि यह अभिसरण करता है, लेकिन इसके सदस्यों के मॉड्यूल की श्रृंखला अलग हो जाती है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण नहीं है (टिप्पणी देखें)।

पंक्तियों पर क्रियाएँ.

श्रृंखला का उत्पाद

प्रमेय 1.12.

यदि पंक्ति(1.35) अभिसरण, फिर श्रृंखला(1.36) अभिसरण भी होता है, और

(1.37)

सबूत।

आइए हम श्रृंखला (1.35) और (1.36) के आंशिक योग को यू-ई से निरूपित करें, अर्थात।

ज़ाहिर तौर से, । यदि श्रृंखला (1.35) अभिसरण करती है और इसका योग बराबर है, अर्थात , , वह

श्रृंखला (1.35) के अलावा, श्रृंखला पर विचार करें

भी पूर्णतया अभिसरित होता है तथा इसका योग बराबर होता है

टिप्पणी।

श्रृंखला पर परिचालन के नियम हमेशा सीमित रकम पर परिचालन के नियमों से मेल नहीं खाते हैं। विशेष रूप से, सीमित योगों में आप मनमाने ढंग से पदों के क्रम को बदल सकते हैं, शब्दों को अपनी इच्छानुसार समूहित कर सकते हैं, और योग नहीं बदलेगा। अंतिम योग के पदों को उल्टे क्रम में जोड़ा जा सकता है; यह किसी श्रृंखला के लिए संभव नहीं है, क्योंकि इसमें कोई अंतिम पद नहीं है।

सदस्यों को एक श्रृंखला में समूहित करना हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला

भिन्न है क्योंकि

और इसकी आंशिक मात्रा की कोई सीमा नहीं है। सदस्यों को समूहीकृत करने के बाद

हमें एक अभिसारी श्रृंखला प्राप्त होती है, इसका योग शून्य है। सदस्यों के एक अलग समूह के साथ

हमें एक अभिसारी श्रृंखला प्राप्त होती है जिसका योग एक के बराबर होता है।

हम बिना प्रमाण के दो प्रमेय प्रस्तुत करते हैं।

प्रमेय 1.14.

पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से इसके अभिसरण का उल्लंघन नहीं होता है; श्रृंखला का योग वही रहता है;

प्रमेय 1.15.

यदि कोई श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण नहीं करती है, तो उसके पदों को उचित रूप से पुनर्व्यवस्थित करके श्रृंखला के योग को एक मनमाना मान देना और यहां तक ​​कि श्रृंखला को अपसारी बनाना हमेशा संभव होता है।