En diversas ramas de las matemáticas, así como en la aplicación de las matemáticas a la tecnología, a menudo surge una situación en la que las operaciones algebraicas no se realizan con números, sino con objetos de diferente naturaleza. Por ejemplo, suma de matrices, multiplicación de matrices, suma de vectores, operaciones con polinomios, operaciones con transformaciones lineales, etc.

Definición 1. Un anillo es un conjunto de objetos matemáticos en el que se definen dos acciones: "suma" y "multiplicación", que asocian pares ordenados de elementos con su "suma" y "producto", que son elementos del mismo conjunto. Estas acciones satisfacen los siguientes requisitos:

1.a+b=b+a(conmutatividad de la suma).

2.(a+b)+c=a+(b+c)(asociatividad de la suma).

3. Hay un elemento cero 0 tal que a+0=a, para cualquier a.

4. Para cualquiera a hay un elemento opuesto: a tal que a+(−a)=0.

5. (a+b)c=ac+bc(distributividad izquierda).

5".c(a+b)=ca+cb(distributividad correcta).

Los requisitos 2, 3, 4 significan que el conjunto de objetos matemáticos forma un grupo, y junto con el punto 1 estamos ante un grupo conmutativo (abeliano) con respecto a la suma.

Como puede verse en la definición, en la definición general de anillo, no se imponen restricciones a las multiplicaciones, excepto la distributividad con la suma. Sin embargo, en diferentes situaciones se hace necesario considerar anillos con requisitos adicionales.

6. (ab)c=a(bc)(asociatividad de la multiplicación).

7.ab=ba(conmutatividad de la multiplicación).

8. La existencia de un solo elemento 1, es decir. semejante a·1=1· a=a, para cualquier elemento a.

9. Para cualquier elemento de artículo a hay un elemento inverso a−1 tal que Automóvil club británico −1 =a −1 un = 1.

En varios anillos 6, 7, 8, 9 se pueden realizar por separado o en varias combinaciones.

Un anillo se llama asociativo si se cumple la condición 6, conmutativo si se cumple la condición 7, conmutativo y asociativo si se cumplen las condiciones 6 y 7. Un anillo se llama anillo con identidad si se cumple la condición 8.

Ejemplos de anillos:

1. Conjunto de matrices cuadradas.

En realidad. El cumplimiento de los puntos 1-5, 5" es obvio. El elemento cero es la matriz cero. Además, se cumple el punto 6 (asociatividad de la multiplicación), el punto 8 (el elemento unitario es la matriz unitaria). Puntos 7 y 9 no se cumplen porque en el caso general la multiplicación de matrices cuadradas no es conmutativa, y además la inversa de una matriz cuadrada no siempre existe.

2. El conjunto de todos los números complejos.

3. El conjunto de todos los números reales.

4. El conjunto de todos los números racionales.

5. El conjunto de todos los números enteros.

Definición 2. Cualquier sistema de números que contenga la suma, diferencia y producto de dos de sus números cualesquiera se llama anillo de numero.

Los ejemplos 2 a 5 son anillos numéricos. Los anillos numéricos también son todos los números pares, así como todos los números enteros divisibles sin resto por algún número natural n. Tenga en cuenta que el conjunto de números impares no es un anillo porque la suma de dos números impares es un número par.

se llama orden del elemento a. Si tal n no existe, entonces el elemento a se llama elemento de orden infinito.

Teorema 2.7 (pequeño teorema de Fermat). Si a G y G es un grupo finito, entonces a |G| = mi .

Aceptaremos sin pruebas.

Recuerde que cada grupo G, ° es un álgebra con una operación binaria para la cual se satisfacen tres condiciones, es decir los axiomas indicados del grupo.

Un subconjunto G 1 de un conjunto G con la misma operación que en un grupo se llama subgrupo si G 1 , ° es un grupo.

Se puede demostrar que un subconjunto no vacío G 1 de un conjunto G es un subgrupo de un grupo G, ° si y sólo si el conjunto G 1, junto con cualesquiera elementos a y b, contiene el elemento a ° b -1 .

Se puede demostrar el siguiente teorema.

Teorema 2.8. Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

§ 7. Álgebra con dos operaciones. Anillo

Consideremos álgebras con dos operaciones binarias.

Un anillo es un conjunto R no vacío sobre el cual se introducen dos operaciones binarias + y °, llamadas suma y multiplicación, de modo que:

1) R; + es un grupo abeliano;

2) la multiplicación es asociativa, es decir Para a,b,c R: (a ° b ° ) ° c=a ° (b ° c) ;

3) la multiplicación es distributiva en relación con la suma, es decir Para

a,b,c R: a° (b+c)=(a° b)+(a ° c) y (a +b)° c= (a° c)+(b° c).

Un anillo se llama conmutativo si para a,b R: a ° b=b ° a.

Escribimos el anillo como R; +,°.

Dado que R es un grupo abeliano (conmutativo) bajo suma, tiene una unidad aditiva, que se denota por 0 o θ y se llama cero. El inverso aditivo de R se denota por -a. Además, en cualquier anillo R tenemos:

0 +x=x+ 0 =x, x+(-x)=(-x)+x=0 , -(-x)=x.

Entonces entendemos eso

x° y=x° (y+ 0 )=x° y+ x° 0 x° 0 =0 para x R; x° y=(x + 0 )° y=x° y+ 0 ° y 0 ° y=0 para y R.

Entonces, hemos demostrado que para x R: x ° 0 = 0 ° x = 0. Sin embargo, de la igualdad x ° y = 0 no se sigue que x = 0 o y = 0. Demostremos esto con un ejemplo. .

Ejemplo. Consideremos un conjunto de funciones continuas en un intervalo. Introduzcamos las operaciones habituales de suma y multiplicación para estas funciones: f(x)+ ϕ (x) y f(x)· ϕ (x) . Como es fácil de ver, obtenemos un anillo, que se denota por C. Considere la función f(x) y ϕ (x) que se muestran en la Fig. 2.3. Entonces obtenemos que f(x) ≡ / 0 y ϕ (x) ≡ / 0, pero f(x) ϕ (x) ≡0.

Probamos que el producto es igual a cero si uno de los factores es igual a cero: a° 0= 0 para a R y demostramos con el ejemplo que puede ser que a° b= 0 para a ≠ 0 y b ≠ 0.

Si en el anillo R tenemos que a°b= 0, entonces a se llama divisor izquierdo y b derecho de cero. Consideramos que el elemento 0 es un divisor trivial de cero.

				f(x)·ϕ(x)≡0
	ϕ(x)

Un anillo conmutativo sin divisores de cero distintos del divisor trivial de cero se denomina anillo integral o región de integridad.

Es fácil ver eso

0 =x° (y+(-y))=x° y+x° (-y), 0 =(x+(-x))° y=x° y+(-x)° y

y por lo tanto x°(-y)=(-x)° y es la inversa del elemento x° y, es decir

x°(-y) = (-x)° y = -(x° y).

De manera similar, se puede demostrar que (- x) ° (- y) = x ° y.

§ 8. Suena con unidad

Si en el anillo R hay una unidad con respecto a la multiplicación, entonces esta unidad multiplicativa se denota por 1.

Es fácil demostrar que la unidad multiplicativa (al igual que la unidad aditiva) es única. El inverso multiplicativo de a R (el inverso de la multiplicación) se denotará por a-1.

Teorema 2.9. Los elementos 0 y 1 son elementos distintos del anillo R distinto de cero.

Prueba. Sea R no solo contenga 0. Entonces para a ≠ 0 tenemos a° 0= 0 y a° 1= a ≠ 0, lo que implica que 0 ≠ 1, porque si 0= 1, entonces sus productos en a coincidirían.

Teorema 2.10. Unidad aditiva, es decir 0, no tiene inverso multiplicativo.

Prueba. а° 0= 0° а= 0 ≠ 1 para а R . Por lo tanto, un anillo distinto de cero nunca será un grupo bajo multiplicación.

La característica de un anillo R es el número natural más pequeño k

tal que a + a + ... + a = 0 para todo a R . Características del anillo

k - veces

escrito k=char R . Si el número k especificado no existe, establecemos char R= 0.

Sea Z el conjunto de todos los números enteros;

Q – el conjunto de todos los números racionales;

R – conjunto de todos los números reales; C es el conjunto de todos los números complejos.

Cada uno de los conjuntos Z, Q, R, C con las operaciones habituales de suma y multiplicación es un anillo. Estos anillos son conmutativos, con una unidad multiplicativa igual al número 1. Estos anillos no tienen divisores de cero, por lo que son dominios de integridad. La característica de cada uno de estos anillos es cero.

El anillo de funciones continuas en (anillo C) es también un anillo con una unidad multiplicativa, que coincide con una función idénticamente igual a uno. Este anillo tiene cero divisores, por lo que no es una región de integridad y char C= 0.

Veamos otro ejemplo. Sea M un conjunto no vacío y R = 2M el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto M. Introduzcamos dos operaciones sobre R: la diferencia simétrica A + B = A B (que llamaremos suma) y la intersección (que llamaremos llamará multiplicación). Puedes asegurarte de haber recibido

anillo con unidad; la unidad aditiva de este anillo será , y la unidad multiplicativa del anillo será el conjunto M. Para este anillo para cualquier A, A R, tenemos: A+ A = A A=. Por lo tanto, charR = 2.

§ 9. Campo

Un campo es un anillo conmutativo cuyos elementos distintos de cero forman un grupo conmutativo bajo multiplicación.

Demos una definición directa del campo, enumerando todos los axiomas.

Un campo es un conjunto P con dos operaciones binarias “+” y “°”, llamadas suma y multiplicación, tales que:

1) la suma es asociativa: para a, b, c R: (a+b)+c=a+(b+c) ;

2) unidad aditiva existe: 0 P, que para un P: a+0 =0 +a=a;

3) hay un elemento inverso para la suma: por una P (-a) P:

(-a)+a=a+(-a)=0;

4) la suma es conmutativa: por a, b P: a+b=b+a;

(los axiomas 1 – 4 significan que el cuerpo es un grupo abeliano bajo suma);

5) la multiplicación es asociativa: por a, b, c P: a ° (b ° c) = (a ° b) ° c ;

6) hay una unidad multiplicativa: 1 P, que para una P:

1°a=a° 1 =a;

7) para cualquier elemento distinto de cero(a ≠ 0) hay un elemento inverso de multiplicación: para a P, a ≠ 0, a -1 P: a -1 ° a = a ° a -1 = 1;

8) la multiplicación es conmutativa: por a,b P: a ° b=b ° a ;

(los axiomas 5 – 8 significan que un campo sin un elemento cero forma un grupo conmutativo bajo multiplicación);

9) la multiplicación es distributiva con respecto a la suma: por a, b, c P: a° (b+c)=(a° b)+(a° c), (b+c) ° a=(b° a)+(c° a).

Campos de ejemplo:

1) R;+, - campo de números reales;

2) Q;+, - campo de números racionales;

3) C;+, - campo de números complejos;

4) sea P 2 = (0,1). Determinemos que 1 +2 0=0 +2 1=1,

1 +2 1=0, 0 +2 0=0, 1×0=0×1=0×0=0, 1×1=1. Entonces F 2 = P 2 ;+ 2 es un cuerpo y se llama aritmética binaria.

Teorema 2.11. Si a ≠ 0, entonces la ecuación a° x=b tiene solución única en el campo.

Prueba . a° x=b a-1 ° (a° x)=a-1 ° b (a-1 ° a)° x=a-1 ° b

Anotación: Esta conferencia analiza los conceptos de anillos. Se dan las definiciones y propiedades básicas de los elementos anulares y se consideran los anillos asociativos. Se consideran una serie de problemas característicos, se prueban los teoremas principales y se presentan problemas para su consideración independiente.

Anillos

Un conjunto R con dos operaciones binarias (suma + y multiplicación) se llama anillo asociativo con unidad, Si:

Si la operación de multiplicación es conmutativa, entonces el anillo se llama conmutativo anillo. Los anillos conmutativos son uno de los principales objetos de estudio en álgebra conmutativa y geometría algebraica.

Notas 1.10.1.

Ejemplos 1.10.2 (ejemplos de anillos asociativos).

Ya hemos visto que el grupo de residuos (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, módulo n con la operación de suma, es un grupo conmutativo (ver ejemplo 1.9.4, 2)).

Definamos la operación de multiplicación configurando . Comprobemos la exactitud de esta operación. Si C k =C k" , C l =C l" , entonces k"=k+nu , l"=l+nv , y por lo tanto C k"l" =C kl .

Porque (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, entonces es un anillo conmutativo asociativo con unidad C 1 módulo de anillo de residuo n).

Propiedades de los anillos (R,+,.)

Lema 1.10.3 (binomio de Newton). Sea R un anillo con 1, ,. Entonces:

Prueba.

Definición 1.10.4. Un subconjunto S de un anillo R se llama subring, Si:

a) S es un subgrupo con respecto a la adición en el grupo (R,+);

b) porque tenemos ;

c) para un anillo R con 1 se supone que .

Ejemplos 1.10.5 (ejemplos de subanillos).

Problema 1.10.6. Describa todos los subanillos en el anillo residual Zn módulo n.

Nota 1.10.7. En el anillo Z 10, los elementos que son múltiplos de 5 forman un anillo con 1, que no es un subanillo en Z 10 (estos anillos tienen diferentes elementos unitarios).

Definición 1.10.8. Si R es un anillo y, ab=0, entonces el elemento a se llama divisor del cero izquierdo en R, el elemento b se llama divisor del cero derecho en R.

Nota 1.10.9. En los anillos conmutativos, por supuesto, no hay diferencia entre los divisores de cero izquierdo y derecho.

Ejemplo 1.10.10. No hay divisores de cero en Z, Q, R.

Ejemplo 1.10.11. El anillo de funciones continuas C tiene divisores cero. De hecho, si

entonces , , fg=0 .

Ejemplo 1.10.12. Si n=kl, 1

Lema 1.10.13. Si no hay divisores cero (izquierdos) en el anillo R, entonces de ab=ac , donde , , se deduce que b=c (es decir, la capacidad de cancelar con un elemento distinto de cero a la izquierda si no hay divisores de cero a la izquierda; y a la derecha si no hay divisores de cero a la derecha).

Prueba. Si ab=ac , entonces a(b-c)=0 . Dado que a no es un divisor de cero por la izquierda, entonces b-c=0, es decir, b=c.

Definición 1.10.14. El elemento se llama nilpotente, si x n = 0 para algunos . El número natural más pequeño n se llama grado de nilpotencia de un elemento .

Está claro que un elemento nilpotente es divisor de cero (si n>1 entonces , ). La afirmación inversa no es cierta (no hay elementos nilpotentes en Z 6, pero 2, 3, 4 son divisores de cero distintos de cero).

Ejercicio 1.10.15. El anillo Z n contiene elementos nilpotentes si y sólo si n es divisible por m 2 , donde , .

Definición 1.10.16. El elemento x del anillo R se llama idempotente, si x 2 = x . Está claro que 0 2 =0, 1 2 =1. Si x 2 =x y , entonces x(x-1)=x 2 -x=0 y, por lo tanto, los idempotentes no triviales son divisores de cero.

Sea U(R) el conjunto de elementos invertibles del anillo asociativo R, es decir, aquellos para los cuales existe un elemento inverso s=r -1 (es decir, rr -1 =1=r -1 r ).

Conjunto no vacío A, en el que se especifican dos operaciones binarias: suma (+) y multiplicación ( ), que satisfacen las condiciones:

1) sobre la operación de suma A- grupo conmutativo;

2) sobre la operación de multiplicación A- semigrupo;

3) las operaciones de suma y multiplicación están relacionadas por la ley de distributividad, es decir . (a+b)c=ac+bc, c(a+b) =ca+cb para todos a, b, c k, llamado anillo (K,+, ).

Estructura (A,+) se llama grupo de aditivos anillos. Si la operación de multiplicación es conmutativa, es decir ab=ba. para todos A, b, entonces el anillo se llama conmutativo.

Si en relación con la operación de multiplicación hay un elemento unitario, que en el anillo generalmente se denota con la unidad 1,. entonces dicen que A Hay suena con uno.

Un subconjunto L de un anillo se llama debajo del anillo, Si l es un subgrupo del grupo aditivo del anillo y l está cerrado bajo la operación de multiplicación, es decir, para todos a, b L se ejecuta a+bL Y ab l.

La intersección de subanillos será un subanillo. Luego, como en el caso de los grupos, en un subanillo, generado muchos SK, se llama la intersección de todos los subanillos A, que contiene s.

1. El conjunto de los números enteros con respecto a las operaciones de multiplicación y suma es un anillo (Z, +, )-conmutativo. Conjuntos Nueva Zelanda números enteros divisibles por PAG, Será un subring sin unidad para norte>1.

De manera similar, el conjunto de los números racionales y reales son anillos conmutativos con unidad.

2. Conjunto de matrices cuadradas de orden. PAG con respecto a las operaciones de suma y multiplicación de matrices hay un anillo con unidad mi- matriz unitaria. En n>1 es no conmutativo.

3. Sea K un anillo conmutativo arbitrario. Consideremos todos los polinomios posibles.

con variable X y coeficientes un 0, un 1, un 2,..., y N, de A. Con respecto a las operaciones algebraicas de suma y multiplicación de polinomios, este es un anillo conmutativo. Se llama anillo de polinomios K de variable X encima del anillo A(por ejemplo, sobre el anillo de números enteros, racionales, números reales). El anillo de polinomios se define de manera similar. k de t variables como un anillo de polinomios en una variable x t encima del anillo K.

4. deja X- conjunto arbitrario, A-anillo arbitrario. Considere el conjunto de todas las funciones f: XK, definido en un conjunto X con valores en A Definimos la suma y el producto de funciones, como de costumbre, por las igualdades.

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

donde + y - operaciones en el anillo A.

Es fácil comprobar que se cumplen todas las condiciones incluidas en la definición de anillo, y el anillo construido será conmutativo si el anillo original es conmutativo. k. Se llama anillo de funciones en un set X con valores en un anillo A.

Muchas propiedades de los anillos son reformulaciones de las propiedades correspondientes de grupos y semigrupos, por ejemplo: un m un n = un m + n, (a t) p =a tp para todos metro, norte y todos a.

Otras propiedades específicas de los anillos modelan las propiedades de los números:

1) para todos a a 0=0 a=0;

2) .(-а)b=а(-b)=-(ab);

3) -a=(-1)a.

En realidad:

2) 0=un(similar a (-a)b=-(ab));

3) usando la segunda propiedad, tenemos- a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Campo

En los anillos de números enteros, racionales y reales, por el hecho de que el producto ab=0, se deduce que tampoco A=0, o b=0. Pero en el anillo de matrices cuadradas de orden norte>1 esta propiedad ya no se cumple, ya que, por ejemplo, = .

si en el ring Kab=0 en A 0, b, Eso A se llama izquierda, y b- bien divisor cero. si en A no hay divisores de cero (excepto el elemento 0, que es un divisor de cero trivial), entonces k llamado un anillo sin divisores de cero.

1. En el anillo de funciones F: R R en el conjunto de números reales R, considere las funciones f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Para ellos f 1 (x)=0 en X Y f 2(X)=0 en X, y por lo tanto el producto f 1 (x) f 2 (x)- función nula aunque f 1 (x) Y f 2(X) . Por tanto, este anillo tiene cero divisores.

2. Considere el conjunto de pares de números enteros ( a, b), en el que se especifican las operaciones de suma y multiplicación:

(a 1, b 1)+(a 2, b 2)=(a 1 +a 2, b 1 +b 2);

(a 1, b 1)(a 2, b 2)= (a 1 a 2, b 1 b 2).

Este conjunto forma un anillo conmutativo con unidad (1,1) y cero divisores, ya que (1,0)(0,1)=(0,0).

Si no hay divisores de cero en el anillo, entonces se cumple la ley de cancelación en él, es decir ab=ac, a=c. En realidad, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Dejar A- anillo, con unidad. Elemento A llamado reversible, si tal elemento existe un -1, para cual aa -1 =a -1 a=1.

Un elemento invertible no puede ser divisor de cero porque. Si ab=0 , Eso a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(Similar a ba=0 ).

Teorema. Todos los elementos invertibles del anillo K con identidad forman un grupo bajo multiplicación.

De hecho, la multiplicación en A asociativamente, la unidad está contenida en el conjunto de elementos invertibles y el producto no deriva del conjunto de elementos invertibles, ya que si A Y b son reversibles, entonces
(ab) -1 =b -1 a -1 .

Una estructura algebraica importante está formada por anillos conmutativos. A, en el que cada elemento distinto de cero es invertible, es decir, con respecto a la operación de multiplicación el conjunto k\(0) forma un grupo. En dichos anillos se definen tres operaciones: suma, multiplicación y división.

anillo conmutativo R con unidad 1 0, en la que todo elemento distinto de cero es invertible, se llama campo.

Con respecto a la multiplicación, todos los elementos distintos de cero del campo forman un grupo llamado grupo multiplicativo campos.

Trabajar ab-1 se escribe como una fracción y tiene sentido sólo cuando segundo 0. El elemento es la única solución de la ecuación. bx=a. Las acciones con fracciones siguen las reglas que conocemos:

Probemos, por ejemplo, el segundo de ellos. Dejar x= Y y=- soluciones a ecuaciones bx=a,dy=c. De estas ecuaciones se deduce dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=- la única solución a la ecuación bdt=da+bc.

1. El anillo de números enteros no forma un campo. El campo es el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números reales.

8.7. Asignaciones para trabajo independiente en el Capítulo 8

8.1. Determinar si la operación de encontrar el producto escalar de vectores en un espacio euclidiano de n dimensiones es conmutativa y asociativa. Justifica tu respuesta.

8.2. Determinar si el conjunto de matrices cuadradas de orden n con respecto a la operación de multiplicación de matrices es un grupo o un monoide.

8.3. Indique cuáles de los siguientes conjuntos forman un grupo respecto de la operación de multiplicación:

a) un conjunto de números enteros;

b) el conjunto de los números racionales;

c) el conjunto de los números reales distintos de cero.

8.4. Determine cuál de las siguientes estructuras forma un conjunto de matrices cuadradas de orden n con determinante igual a uno: con respecto a las operaciones habituales de suma y multiplicación de matrices:

Un grupo;

traer;

8.5. Indique qué estructura forma el conjunto de los números enteros respecto de la operación de multiplicación y suma:

a) anillo no conmutativo;

b) anillo conmutativo;

8.6. ¿Cuál de las siguientes estructuras está formada por un conjunto de matrices de la forma con a y b reales relativas a las operaciones habituales de suma y multiplicación de matrices?

un anillo;

8.7. Qué número debe excluirse del conjunto de los números reales para que los números restantes formen un grupo respecto a la operación de multiplicación habitual:

8.8. Descubra cuál de las siguientes estructuras forma un conjunto formado por dos elementos a y e, con una operación binaria definida de la siguiente manera:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

Un grupo;

b) un grupo abeliano.

8.9. ¿Son los números pares un anillo en relación con las operaciones ordinarias de suma y multiplicación? Justifica tu respuesta.

8.10. ¿Es un anillo un conjunto de números de la forma a+b, donde a y b son números racionales cualesquiera, con respecto a las operaciones de suma y multiplicación? Justifica la respuesta.

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE GRUPO.

Odr1.Sea G un conjunto no vacío de elementos de naturaleza arbitraria. G se llama grupo

1) Bao ° se da en el conjunto G.

2) bao ° es asociativo.

3) Hay un elemento neutro nÎG.

4) Para cualquier elemento de G, siempre existe un elemento simétrico y también pertenece a G.

Ejemplo. El conjunto de números Z – con la operación +.

Odr2.El grupo se llama abeliano, si es conmutativo respecto de un bao° dado.

Ejemplos de grupos:

1) Z,R,Q “+” (Z+)

Las propiedades más simples de los grupos.

Sólo hay un elemento neutral en el grupo.

En un grupo, para cada elemento hay un solo elemento simétrico a él

Sea G un grupo con bao °, luego ecuaciones de la forma:

a°x=b y x°a=b (1) son solucionables y tienen una solución única.

Prueba. Consideremos las ecuaciones (1) para x. Obviamente, ¡por $! a". Dado que la operación ° es asociativa, entonces obviamente x=b°a" es la única solución.

34. PARIDAD DE SUSTITUCIÓN*

Definición 1. La sustitución se llama incluso, si se descompone en un producto de un número par de transposiciones, e impar en caso contrario.

Oración 1.Sustitución

Incluso<=>- incluso permutación. Por lo tanto, el número de sustituciones pares

de n números es igual a n!\2.

Oración 2. Las sustituciones f y f - 1 tienen el mismo carácter de paridad.

> Basta comprobar que si es producto de transposiciones, entonces<

Ejemplo:

SUBGRUPO. CRITERIO DEL SUBGRUPO.

Def. Sea G un grupo con bao° y un subconjunto no vacío de HÌG, entonces H se llama subgrupo de G si H es un subgrupo con respecto a bao° (es decir, ° es un bao en H. Y H con esta operación es Un grupo).

Teorema (criterio de subgrupo). Sea G un grupo con respecto a la operación°, ƹHÎG. H es un subgrupo<=>"h 1 ,h 2 ОH se cumple la condición h 1 °h 2 "ОH (donde h 2 " es un elemento simétrico a h 2).

Doc. =>: Sea H un subgrupo (es necesario demostrar que h 1 °h 2 "ОH). Tome h 1 ,h 2 ОH, luego h 2 "ОH y h 1 °h" 2 ОH (ya que h" 2 es un elemento simétrico a h 2).

<=: (necesitas demostrar que H es un subgrupo).

Dado que H¹Æ, entonces hay al menos un elemento allí. Tomemos hÎH, n=h°h"ОH, es decir, el elemento neutro nОH. Para h 1 tomamos n, y para h 2 tomamos h entonces h"ОH Þ " hОH el elemento simétrico a h también pertenece a H.

Demostremos que la composición de cualquier elemento de H pertenece a H.

Tomemos h 1, y como h 2 tomamos h" 2 Þ h 1 °(h 2 ") " ÎH, Þ h 1 °h 2 ÎH.

Ejemplo. G=S n , n>2, α - algún elemento de X=(1,…,n). Como H tomamos el conjunto no vacío H= S α n =(fО S n ,f(α)=α), bajo la acción del mapeo de S α n α permanece en su lugar. Comprobamos según los criterios. Tomemos cualquier h 1 ,h 2 ОH. Producto h 1. h 2 "ОH, es decir H es un subgrupo, que se denomina subgrupo estacionario del elemento α.

ANILLO, CAMPO. EJEMPLOS.

Def. Dejar A Conjunto no vacío con dos operaciones algebraicas: suma y multiplicación. A llamado anillo, si se cumplen las siguientes condiciones:

1) A - Grupo abeliano (conmutativo respecto de un bao° dado) respecto de la suma;

2) la multiplicación es asociativa;

3) la multiplicación es distributiva con respecto a la suma().

Si la multiplicación es conmutativa, entonces A llamado anillo conmutativo. Si hay un elemento neutral en relación con la multiplicación, entonces A llamado anillo con uno.

Ejemplos.

1) El conjunto Z de los números enteros forma un anillo respecto de las operaciones habituales de suma y multiplicación. Este anillo es conmutativo, asociativo y tiene identidad.

2) Los conjuntos Q de números racionales y R de números reales son cuerpos

en relación con las operaciones habituales de suma y multiplicación de números.

Las propiedades más simples de los anillos.

1. Desde A es un grupo abeliano bajo suma, entonces A Se transfieren las propiedades más simples de los grupos.

2. La multiplicación es distributiva con respecto a la diferencia: a(b-c)=ab-ac.

Prueba. Porque ab-ac+ac=ab y a(b-c)+ac=a((b-c)+c)=a(b-c+c)=ab, entonces a(b-c)=ab-ac.

3. El anillo puede tener cero divisores, es decir ab=0, pero de esto no se sigue que a=0 b=0.

Por ejemplo, en un anillo de matrices de tamaño 2´2, hay elementos que no son iguales a cero de modo que su producto será cero: , donde - juega el papel del elemento cero.

4. a·0=0·а=0.

Prueba. Sea 0=bb. Entonces a(bb)=ab-ab=0. De manera similar 0·a=0.

5. a(-b)=(-a) b=-ab.

Prueba: a(-b)+ab=a((-b)+b)=a·0=0.

6. Si en el ring A hay una unidad y consta de más de un elemento, entonces la unidad no es igual a cero, donde 1─ es un elemento neutro al multiplicar; 0 ─ elemento neutro cuando se agrega.

7. deja A anillo con identidad, entonces el conjunto de elementos invertibles del anillo forman un grupo con respecto a la multiplicación, que se llama grupo multiplicativo del anillo k y denotar k*.

Def. Un anillo conmutativo con identidad, que contiene al menos dos elementos, en el que cualquier elemento distinto de cero es invertible, se llama campo.

Las propiedades más simples de un campo.

1. Porque campo es un anillo, entonces todas las propiedades de los anillos se transfieren al campo.

2. No hay divisores de cero en el campo, es decir si ab=0, entonces a=0 o b=0.

Prueba.

Si a¹0, entonces $ a -1. Considere a -1 (ab)=(a -1 a)b=0, y si a¹0, entonces b=0, de manera similar si b¹0

3. Una ecuación de la forma a´x=b, a¹0, b – cualquiera, en el campo tiene una solución única x= a -1 b, o x=b/a.

La solución de esta ecuación se llama solución parcial.

Ejemplos. 1)PÌC, P - campo numérico. 2)P=(0;1);