Napomena: Ovo predavanje govori o konceptima prstenova. Date su osnovne definicije i svojstva prstenastih elemenata i razmotreni su asocijativni prstenovi. Razmatra se niz karakterističnih problema, dokazuju se glavne teoreme i daju se problemi za samostalno razmatranje

Prstenovi

Poziva se skup R s dvije binarne operacije (sabiranje + i množenje). asocijativni prsten sa jedinicom, Ako:

Ako je operacija množenja komutativna, tada se prsten naziva komutativno prsten. Komutativni prstenovi su jedan od glavnih predmeta proučavanja komutativne algebre i algebarske geometrije.

Napomene 1.10.1.

Primjeri 1.10.2 (primjeri asocijativnih prstenova).

Već smo vidjeli da je grupa ostataka (Z n ,+)=(C 0 ,C 1 ,...,C n-1 ), C k =k+nZ, po modulu n sa operacijom sabiranja, je komutativna grupa (vidi primjer 1.9.4, 2)).

Definirajmo operaciju množenja postavljanjem . Provjerimo ispravnost ove operacije. Ako je C k =C k" , C l =C l" , tada je k"=k+nu , l"=l+nv , i stoga C k"l" =C kl .

Jer (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m, tada je asocijativni komutativni prsten sa jediničnim C 1 prstenom ostatka po modulu n).

Svojstva prstenova (R,+,.)

Lema 1.10.3 (Njutnov binom). Neka je R prsten sa 1 , , . onda:

Dokaz.

Definicija 1.10.4. Poziva se podskup S prstena R subring, Ako:

a) S je podgrupa s obzirom na sabiranje u grupi (R,+);

b) jer imamo ;

c) za prsten R sa 1 pretpostavlja se da je .

Primjeri 1.10.5 (primjeri podredova).

Problem 1.10.6. Opišite sve pod-prstenove u prstenu ostataka Zn po modulu n.

Napomena 1.10.7. U prstenu Z 10, elementi koji su višestruki od 5 formiraju prsten sa 1, koji nije podprsten u Z 10 (ovi prstenovi imaju različite jedinične elemente).

Definicija 1.10.8. Ako je R prsten i , ab=0, tada se element a naziva lijevi djelilac nule u R, element b se naziva desni djelitelj nule u R.

Napomena 1.10.9. U komutativnim prstenovima, naravno, nema razlike između lijevog i desnog djelitelja nule.

Primjer 1.10.10. Ne postoje djelitelji nule u Z, Q, R.

Primjer 1.10.11. Prsten kontinuiranih funkcija C ima djelitelje nule. Zaista, ako

tada , , fg=0 .

Primjer 1.10.12. Ako je n=kl, 1

Lema 1.10.13. Ako u prstenu R nema (lijevih) djelitelja nule, onda iz ab=ac , gdje , , slijedi da je b=c (tj. mogućnost poništavanja elementom koji nije nula na lijevoj strani ako nema lijevog djelitelja nule; i na desnoj ako nema desnih djelitelja nule).

Dokaz. Ako je ab=ac, tada je a(b-c)=0. Kako a nije lijevi djelitelj nule, onda je b-c=0, tj. b=c.

Definicija 1.10.14. Element se zove nilpotentan, ako je x n =0 za neke . Poziva se najmanji prirodni broj n stepen nilpotencije elementa .

Jasno je da je nilpotentni element djelitelj nule (ako je n>1 onda , ). Obratna tvrdnja nije tačna (nema nilpotentnih elemenata u Z 6, ali 2, 3, 4 su djelitelji nule koji nisu nula).

Vježba 1.10.15. Prsten Z n sadrži nilpotentne elemente ako i samo ako je n djeljivo sa m 2 , gdje je , .

Definicija 1.10.16. Element x prstena R se zove idempotentan, ako je x 2 =x . Jasno je da je 0 2 =0, 1 2 =1. Ako je x 2 =x i , tada je x(x-1)=x 2 -x=0, i stoga su netrivijalni idempotenti djelitelji nule.

Neka U(R) označava skup inverzibilnih elemenata asocijativnog prstena R, odnosno onih za koje postoji inverzni element s=r -1 (tj. rr -1 =1=r -1 r).

Neprazan skup DO, na kojem su specificirane dvije binarne operacije - zbrajanje (+) i množenje ( ), koje zadovoljavaju uvjete:

1) u vezi sa operacijom sabiranja TO- komutativna grupa;

2) u vezi sa operacijom množenja TO- polugrupa;

3) operacije sabiranja i množenja povezane su zakonom distributivnosti, tj. . (a+b)c=ac+bc, c(a+b) =ca+cb za sve a, b, c K, zvao prsten (K,+, ).

Struktura (TO,+) se poziva aditivna grupa prstenovi. Ako je operacija množenja komutativna, tj. ab=ba. za sve A, b, tada se zove prsten komutativno.

Ako u odnosu na operaciju množenja postoji jedinični element, koji se u prstenu obično označava jedinicom 1,. onda to kažu TO Tu je prsten sa jednim.

Poziva se podskup L prstena ispod prstena, Ako L je podgrupa aditivne grupe prstena i L je zatvoren pod operacijom množenja, tj. za sve a, b L se izvršava a+b L I ab L.

Presjek podprstenova će biti podprsten. Zatim, kao u slučaju grupa, u podprstenu, generisano mnogi S K, naziva se presjek svih podbrova DO, koji sadrži S.

1. Skup cijelih brojeva u odnosu na operacije množenja i sabiranja je (Z, +, )-komutativni prsten. Setovi nZ cijeli brojevi djeljivi sa P,će biti podprsten bez jedinstva za n>1.

Slično, skup racionalnih i realnih brojeva su komutativni prstenovi sa jedinicom.

2. Skup kvadratnih matrica reda P s obzirom na operacije sabiranja i množenja matrica postoji prsten sa jedinicom E- jedinična matrica. At n>1 nije komutativna.

3. Neka je K proizvoljan komutativni prsten. Razmotrimo sve moguće polinome

sa promenljivom X i koeficijenti a 0, a 1, a 2,..., i n, od TO. S obzirom na algebarske operacije sabiranja i množenja polinoma, ovo je komutativni prsten. To se zove prsten polinoma K iz varijable X iznad prstena TO(na primjer, preko prstena cijelih brojeva, racionalnih, realnih brojeva). Slično je definiran i prsten polinoma K od T varijable kao prsten polinoma u jednoj varijabli x t iznad prstena K.

4. Neka X- proizvoljan skup, TO- proizvoljni prsten. Razmotrimo skup svih funkcija f: X K, definisano na skupu X sa vrijednostima u TO Definirajmo zbir i proizvod funkcija, kao i obično, jednakostima

(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),

gdje je + i - operacije u prstenu TO.

Lako je provjeriti da li su svi uvjeti uključeni u definiciju prstena zadovoljeni, a konstruirani prsten će biti komutativan ako je originalni prsten komutativan K. To se zove prsten funkcija na setu X sa vrijednostima u prstenu TO.

Mnoga svojstva prstenova su ponavljanje odgovarajućih svojstava grupa i polugrupa, na primjer: a m a n =a m + n, (a t) p =a tp za sve m, n i svi a.

Ostala specifična svojstva prstenova modeliraju svojstva brojeva:

1) za sve a a 0=0 a=0;

2) .(-a)b=a(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

stvarno:

2) 0=a(slično (-a)b=-(ab));

3) koristeći drugo svojstvo, imamo - a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

Polje

U prstenovima cijelih brojeva, racionalnih i realnih brojeva, iz činjenice da je proizvod ab=0, iz toga sledi i to A=0, ili b=0. Ali u prstenu kvadratnih matrica reda n>1 ovo svojstvo više nije zadovoljeno, jer je, na primjer, = .

Ako je u ringu K ab=0 at A 0, b, To A se zove lijevo, i b- u pravu djelitelj nule. Ako u TO ne postoje djelitelji nule (osim elementa 0, koji je trivijalni djelitelj nule), tada K zove prsten bez djelitelja nule.

1. U funkcijskom prstenu f: R R na skupu realnih brojeva R, razmotrite funkcije f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Za njih f 1 (x)=0 at x I f 2(x)=0 at x, a samim tim i proizvod f 1 (x) f 2 (x)- null funkcija ipak f 1 (x) I f 2(x) . Dakle, ovaj prsten ima djelitelje nule.

2. Razmotrimo skup parova cijelih brojeva ( a, b), u kojem su specificirane operacije sabiranja i množenja:

(a 1, b 1)+(a 2, b 2)=(a 1 +a 2, b 1 +b 2);

(a 1, b 1)(a 2, b 2)= (a 1 a 2, b 1 b 2).

Ovaj skup tvori komutativni prsten sa jedinicom (1,1) i djeliteljima nule, budući da (1,0)(0,1)=(0,0).

Ako u prstenu nema djelitelja nule, tada je u njemu zadovoljen zakon poništavanja, tj. ab=ac, a=c. stvarno, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.

Neka TO- prsten, sa jedinicom. Element A pozvao reverzibilno, ako takav element postoji a -1, za koji aa -1 =a -1 a=1.

Invertibilni element ne može biti djelitelj nule jer. Ako ab=0 , To a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0(slicno ba=0 ).

Teorema. Svi inverzibilni elementi prstena K sa identitetom čine grupu pod množenjem.

Zaista, množenje u TO asocijativno, jedinica je sadržana u skupu invertibilnih elemenata i proizvod ne proizlazi iz skupa invertibilnih elemenata, jer ako A I b su onda reverzibilni
(ab) -1 =b -1 a -1 .

Važnu algebarsku strukturu čine komutativni prstenovi DO, u kojem je svaki element različit od nule invertibilan, tj. u odnosu na operaciju množenja skup K\(0) formira grupu. U takvim prstenovima definirane su tri operacije: zbrajanje, množenje i dijeljenje.

komutativni prsten R sa jedinicom 1 0, u kojoj je svaki element različit od nule inverzibilan, naziva se polje.

S obzirom na množenje, svi elementi polja različiti od nule čine grupu tzv multiplikativna grupa polja.

Posao ab -1 se piše kao razlomak i ima smisla samo kada b 0. Element je jedino rješenje jednačine bx=a. Radnje s razlomcima slijede pravila koja su nam poznata:

Dokažimo, na primjer, drugu od njih. Neka x= I y=- rješenja jednačina bx=a, dy=c. Iz ovih jednačina slijedi dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=- jedino rješenje jednačine bdt=da+bc.

1. Prsten cijelih brojeva ne formira polje. Polje je skup racionalnih brojeva i skup realnih brojeva.

8.7. Zadaci za samostalan rad u 8. poglavlju

8.1. Odrediti da li je operacija pronalaženja skalarnog proizvoda vektora u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru komutativna i asocijativna. Obrazložite svoj odgovor.

8.2. Odredite da li je skup kvadratnih matrica reda n u odnosu na operaciju množenja matrice grupa ili monoid.

8.3. Navedite koji od sljedećih skupova čine grupu s obzirom na operaciju množenja:

a) skup cijelih brojeva;

b) skup racionalnih brojeva;

c) skup realnih brojeva različitih od nule.

8.4. Odredite koja od sljedećih struktura čini skup kvadratnih matrica reda n sa determinantom jednakom jedan: s obzirom na uobičajene operacije sabiranja i množenja matrice:

grupa;

b) prsten;

8.5. Navedite kakvu strukturu formira skup cijelih brojeva s obzirom na operaciju množenja i sabiranja:

a) nekomutativni prsten;

b) komutativni prsten;

8.6. Koju od sljedećih struktura formira skup matrica oblika sa realnim a i b u odnosu na uobičajene operacije sabiranja i množenja matrice:

prsten;

8.7. Koji broj se mora isključiti iz skupa realnih brojeva tako da preostali brojevi čine grupu s obzirom na uobičajenu operaciju množenja:

8.8. Saznajte koja od sljedećih struktura čini skup koji se sastoji od dva elementa a i e, s binarnom operacijom definiranom na sljedeći način:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

grupa;

b) Abelovu grupu.

8.9. Da li su parni brojevi prsten u odnosu na obične operacije sabiranja i množenja? Obrazložite svoj odgovor.

8.10. Da li je prsten skup brojeva oblika a+b, gdje su a i b bilo koji racionalni brojevi, s obzirom na operacije sabiranja i množenja? Obrazložite odgovor.

Definicija 4.1.1. Prsten (K, +, ) je algebarski sistem sa nepraznim skupom K i dvije binarne algebarske operacije na njemu, koje ćemo nazvati dodatak I množenje. Prsten je Abelova aditivna grupa, a množenje i sabiranje su povezani zakonima distributivnosti: ( a + b)  c = a  c + b  c I With  (a + b) = c  a + c  b za proizvoljno a, b, c  K.

Primjer 4.1.1. Dajemo primjere prstenova.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – prstenovi cijelih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva sa uobičajenim operacijama sabiranja i množenja. Ovi prstenovi se zovu numerički.

2. (Z/nZ, +, ) – prsten klasa ostataka po modulu n  N sa operacijama sabiranja i množenja.

3. Gomila M n (K) sve kvadratne matrice fiksnog reda n  N sa koeficijentima iz prstena ( K, +, ) sa operacijama sabiranja i množenja matrice. posebno, K mogu biti jednaki Z, Q, R, C ili Z/nZ at n  N.

4. Skup svih realnih funkcija definiranih na fiksnom intervalu ( a; b) pravi broj, sa uobičajenim operacijama sabiranja i množenja funkcija.

5. Skup polinoma (polinoma) K[x] sa koeficijentima iz prstena ( K, +, ) iz jedne varijable x sa prirodnim operacijama sabiranja i množenja polinoma. Konkretno, polinomski prstenovi Z[x], Q[x], R[x], C[x], Z/nZ[x] at n  N.

6. Prsten vektora ( V 3 (R), +, ) sa operacijama sabiranja i vektorskog množenja.

7. Prsten ((0), +, ) sa operacijama sabiranja i množenja: 0 + 0 = 0, 0  0 = = 0.

Definicija 4.1.2. Razlikovati konačno i beskonačno prstenovi (prema broju elemenata kompleta K), ali glavna klasifikacija se zasniva na svojstvima množenja. Razlikovati asocijativni zvoni kada je operacija množenja asocijativna (tačke 1–5, 7 primjera 4.1.1) i neasocijativna prstenovi (tačka 6 primjera 4.1.1: ovdje ,). Asocijacijski prstenovi se dijele na prstenovi sa jednim(postoji neutralan element u pogledu množenja) i bez jedinice, komutativno(operacija množenja je komutativna) i nekomutativno.

Teorema4.1.1. Neka ( K, +, ) je asocijativni prsten sa jednim. Onda mnogi K* invertibilan u odnosu na množenje prstenastih elemenata K– multiplikativna grupa.

Provjerimo ispunjenost definicije grupe 3.2.1. Neka a, b  K*. Pokažimo to a  b  K * .  (a  b) –1 = b –1  A –1  K. stvarno,

(a  b)  (b –1  A –1) = a  (b  b –1)  A –1 = a  1  A –1 = 1,

(b –1  A –1)  (a  b) = b –1  (A –1  a)  b = b –1  1  b = 1,

Gdje A –1 , b –1  K– inverzni elementi prema a I b respektivno.

1) Množenje u K* asocijativno, pošto K– asocijativni prsten.

2) 1 –1 = 1: 1  1 = 1  1  K* , 1 – neutralni element u odnosu na množenje u K * .

3) Za  a  K * , A –1  K* , jer ( A –1)  a = a  (A –1) = 1
(A –1) –1 = a.

Definicija 4.1.3. Gomila K* invertibilan u odnosu na množenje elemenata prstena ( K, +, ) se nazivaju multiplikativna grupa prstena.

Primjer 4.1.2. Navedimo primjere multiplikativnih grupa raznih prstenova.

1. Z * = {1, –1}.

2. M n (Q) * = G.L. n (Q), M n (R) * = G.L. n (R), M n (C) * = G.L. n (C).

3. Z/nZ* – skup inverzibilnih klasa ostataka, Z/nZ * = { | (k, n) = 1, 0  k < n), at n > 1 | Z/nZ * | =  (n), Gdje  – Eulerova funkcija.

4. (0) * = (0), budući da in u ovom slučaju 1 = 0.

Definicija 4.1.4. Ako je u asocijativnom prstenu ( K, +, ) sa grupom jedinica K * = K\(0), gdje je 0 neutralan element u odnosu na sabiranje, tada se takav prsten naziva tijelo ili algebra sadivizije. Komutativno tijelo se zove polje.

Iz ove definicije je očigledno da u tijelu K*   i 1  K* znači 1  0, stoga se minimalno tijelo, koje je polje, sastoji od dva elementa: 0 i 1.

Primjer 4.1.3.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – respektivno numerička polja racionalni, realni i kompleksni brojevi.

2. (Z/strZ, +, ) – konačno polje iz str elementi ako str- Prost broj. Na primjer, ( Z/2Z, +, ) – minimalno polje od dva elementa.

3. Nekomutativno tijelo je kvaternion tijelo– set kvaternioni, odnosno izrazi oblika h= a + bi + cj + dk, Gdje a, b, c, d  R, i 2 = = j 2 = k 2 = – 1, i  j= k= – j  i, j  k= i= – k  j, i  k= – j= – k  i, sa operacijama sabiranja i množenja. Kvaternioni se sabiraju i množe član po član, uzimajući u obzir gornje formule. Za svakoga h 0 inverzni kvaternion ima oblik:
.

Postoje prstenovi sa djeliteljima nule i prstenovi bez djelitelja nule.

Definicija 4.1.5. Ako prsten sadrži elemente koji nisu nula a I b takav da a  b= 0, onda se pozivaju djelioci nule, i sam prsten – prsten sa razdjelnicima nula. Inače se zove prsten prsten bez djelitelja nule.

Primjer 4.1.4.

1. Prstenje ( Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – prstenovi bez djelitelja nule.

2. u ringu ( V 3 (R), +, ) svaki element koji nije nula je djelitelj nule, jer
za sve
V 3 (R).

3. U matričnom prstenu M 3 (Z) primjeri djelitelja nule su matrice
I
, jer A  B = O(nula matrica).

4. u ringu ( Z/nZ, +, ) sa kompozitnim n = k  m, gdje je 1< k, m < n, klase ostataka I su djelitelji nule, pošto. 

U nastavku predstavljamo glavna svojstva prstenova i polja.

Neka je (K,+, ·) prsten. Pošto je (K, +) Abelova grupa, uzimajući u obzir svojstva grupa dobijamo

SV-VO 1. U svakom prstenu (K,+, ·) postoji jedinstveni nulti element 0 i za svaki a ∈ K postoji jedinstveni element suprotan njemu -a.

NE-VO 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).

SV-VO 3. Za bilo koje a, b ∈ K u prstenu K postoji jedinstvena razlika a − b, i a − b = a + (−b). Dakle, operacija oduzimanja je definisana u prstenu K, i ima svojstva 1′-8′.

SV-VO 4. Operacija množenja u K je distributivna u odnosu na operaciju oduzimanja, tj. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).

Doc. Neka su a, b, c ∈ K. Uzimajući u obzir distributivnost operacije · u K u odnosu na operaciju + i definiciju razlike elemenata prstena, dobijamo (a − b)c + bc = ( (a − b) + b)c = ac, odakle po definiciji razlike slijedi da je (a − b)c = ac − bc.

Pravi zakon distributivnosti operacije množenja u odnosu na operaciju oduzimanja dokazuje se na sličan način.

SV-V 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.

Dokaz. Neka je a ∈ K i b-proizvoljan element iz K. Tada je b − b = 0 i stoga, uzimajući u obzir prethodno svojstvo, dobijamo a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.

Na sličan način se dokazuje da je 0a = 0.

NE-VO 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).

Dokaz. Neka je a, b ∈ K. Tada je (−a)b + ab = ((−a) + a)b =

0b = 0. Dakle, (−a)b = −(ab).

Jednakost a(−b) = −(ab) dokazuje se na sličan način.

NE-VO 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.

Dokaz. Zaista, primjenom prethodnog svojstva dvaput, dobijamo (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.

KOMENTAR. Svojstva 6 i 7 nazivaju se pravilima znakova u ringu.

Iz distributivnosti operacije množenja u prstenu K u odnosu na operaciju sabiranja i svojstva 6 i 7, slijedi sljedeće:

SV-VO 8. Neka su k, l proizvoljni cijeli brojevi. Tada je ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.

Subring

Podprsten prstena (K,+, ·) je podskup H skupa K koji je zatvoren prema operacijama + i · definisanim u K i sam je prsten pod ovim operacijama.

Primjeri podvozova:

Dakle, Z je podprsten prstena (Q,+, ·), Q je podprsten prstena (R,+, ·), Rn×n je podprsten prstena (Cn×n,+, ·) , Z[x] je podprsten prstena ( R[x],+, ·), D je podprsten prstena (C,+, ·).

U bilo kom prstenu (K,+, ·), sam skup K, kao i jednostruki podskup (0) su podbrovi prstena (K,+, ·). To su takozvani trivijalni podbrovi prstena (K,+, ·).

Najjednostavnija svojstva podbrova.

Neka je H podprsten prstena (K,+, ·), tj. (H,+, ·) je sam prsten. To znači da (H, +)-grupa, tj. H je podgrupa grupe (K, +). Stoga su sljedeće tvrdnje tačne.

SV-VO 1. Nulti element podprstena H prstena K poklapa se sa nultim elementom prstena K.

SV-VO 2. Za bilo koji element a podprstena H prstena K, njegov suprotni element u H poklapa se sa −a, tj. sa svojim suprotnim elementom u K.

SV-VO 3. Za bilo koje elemente a i b podprstena H njihova razlika u H poklapa se sa elementom a − b, tj. sa razlikom ovih elemenata u K.

Znaci podprstena.

TEOREMA 1 (prvi znak podprstena).

Neprazan podskup H prstena K sa operacijama + i · je podprsten prstena K ako i samo ako zadovoljava sljedeće uslove:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)

Nužnost. Neka je H podprsten prstena (K,+, ·). Tada je H podgrupa grupe (K, +). Dakle, prema prvom kriterijumu podgrupe (u aditivnoj formulaciji), H zadovoljava uslove (1) i (2). Štaviše, H je zatvoren pod operacijom množenja definisanom u K, tj. H

takođe zadovoljava uslov (3).

Adekvatnost. Neka H ⊂ K, H 6= ∅ i H zadovoljava uslove (1) − (3). Iz uslova (1) i (2) prema prvom kriterijumu podgrupe proizilazi da je H podgrupa grupe (K, +), tj. (H, +)-grupa. Štaviše, pošto je (K, +) Abelova grupa, (H, +) je takođe Abelova. Osim toga, iz uvjeta (3) slijedi da je množenje binarna operacija na skupu H. Asocijativnost operacije · u H i njena distributivnost u odnosu na operaciju + proizlaze iz činjenice da su operacije + i · u K imaju takva svojstva.

TEOREMA 2 (drugi znak podprstena).

Neprazan podskup H prstena K sa operacijama + i · je

podprsten prstena K t. i t. t, kada zadovoljava sljedeće uslove:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)

Dokaz ove teoreme je sličan dokazu teoreme 1.

U ovom slučaju se koristi teorema 2′ (drugi kriterij podgrupe u aditivnoj formulaciji) i napomena uz nju.

7.Polje (definicija, tipovi, svojstva, karakteristike).

Polje je komutativni prsten sa identitetom e nije jednako 0 , u kojem svaki element različit od nule ima inverz.

Klasični primjeri brojčanih polja su polja (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

IMOVINA 1 . U svakom polju F važi zakon kontrakcije

zajedničkim faktorom različitim od nule, tj.

∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a nije jednako 0 ⇒ b = c).

IMOVINA 2 . U svakom polju F nema djelitelja nule.

IMOVINA 3 . Prsten(K,+, ·) je polje ako i samo

kada ih ima mnogo K\(0) je komutativna grupa u odnosu na operaciju množenja.

IMOVINA 4 . Konačan nenulti komutativni prsten(K,+, ·) bez djelitelja nule je polje.

Kvocijent elemenata polja.

Neka je (F,+, ·) polje.

Djelomični elementi a I b polja F , Gdje b nije jednako 0 ,

takav element se zove c ∈ F , Šta a = bc .

IMOVINA 1 . Za bilo koje elemente a I b polja F , Gdje b nije jednako 0 , postoji jedinstveni količnik a/b , i a/b= ab−1.

IMOVINA 2 . ∀ a ∈ F \ (0)

a/a= e I∀ a ∈ F a/e= a.

IMOVINA 3 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

a/b=c/d ⇔ ad = bc.

IMOVINA 4 . ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ (0)

IMOVINA 5 . ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ (0)

(a/b)/(c/d)=ad/bc

IMOVINA 6 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

IMOVINA 7 . ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ (0)

IMOVINA 8 . ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ (0)

Polje F , čija jedinica ima konačan red str u grupi(F, +) str .

Polje F jedinica, koja ima beskonačan red u grupi(F, +) , naziva se karakteristično polje 0.

8. Potpolje (definicija, tipovi, svojstva, karakteristike)

Polje podpolje(F,+, ·) naziva se podskup S setovi F , koja je zatvorena u okviru operacija+ I· , definisan u F , i samo je polje u odnosu na ove operacije.

Navedimo neke primjere potpolja Q-potpolja polja (R,+, ·);

R-potpolje polja (C,+, ·);

Sljedeće izjave su tačne.

IMOVINA 1 . Element potpolja nula S polja F poklapa se sa

nulti element polja F .

IMOVINA 2 . Za svaki element a potpolja S polja F njegov suprotni element u S poklapa se sa−a , tj. sa svojim suprotnim elementom unutra F .

IMOVINA 3 . Za bilo koje elemente a I b potpolja S polja F njihov

razlika u S poklapa se sa a−b one. sa razlikom ovih elemenata u F .

IMOVINA 4 . Jedinica podpolja S polja F poklapa se sa jednim

e polja F .

IMOVINA 5 . Za svaki element a potpolja S polja F , od-

lični od nule, njegov inverzni element u S poklapa se sa a−1 , tj. sa elementom inverznim prema a V F .

Znakovi potpolja.

TEOREMA 1 (prvi znak potpolja).

Podset H polja F sa operacijama+, · , koji sadrži različitu od nule

(F,+, ·)

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)

∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)

∀ a ∈ H \ (0) a−1 ∈ H. (4)

TEOREMA2 (drugi znak potpolja).

Podset H polja F sa operacijama+, · , koji sadrži različitu od nule

element je potpolje polja(F,+, ·) ako i samo ako zadovoljava sljedeće uslove:

∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)

∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\(0) a/b ∈ H. (6)

10. Relacija djeljivosti u Z prstenu

Odobrenje: za bilo koje elementi a,b,c komutativni prsten na skupu R, vrijede sljedeće implikacije:

1) a|b, b|c => a|c

2) a|b, a|c => a| (b c)

3) a|b => a|bc

za bilo koje a, b Z vrijedi sljedeće:

2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|

3)a|b i b|a ó |a|=|b|

Dijeljenje cijelog broja a cijelim brojem b sa ostatkom znači pronalaženje cijelih brojeva q i r tako da možete predstaviti a=b*q + r, 0≤r≥|b|, gdje je q nepotpuni količnik, r ostatak

Teorema: Ako su a i b Z, b≠0, onda se a može podijeliti sa b s ostatkom, a nepotpuni količnik i ostatak su jednoznačno određeni.

Posledica, ako su a i b Z , b≠0, onda je b|a ó

11. GCD i NOC

Najveći zajednički djelitelj (GCD) brojeva Z je neki broj d koji zadovoljava sljedeće uslove

1) d je zajednički djelitelj, tj. d| ,d| …d|

2) d je djeljiv sa bilo kojim zajedničkim djeliteljem brojeva, tj. d| ,d| …d| =>d| ,d| …d|