Red

Neka serija bude data ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)) I α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Onda

Tvrdnja o konvergenciji u Cauchy i d'Alembertovim testovima izvedena je iz poređenja sa geometrijskom progresijom (sa nazivnicima lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\lijevo|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\desno|) I α (\displaystyle \alpha ) odnosno), o divergenciji - iz činjenice da zajednički član serije ne teži nuli.

Cauchyjev test je jači od D'Alembertovog testa u smislu da ako D'Alembertov test ukazuje na konvergenciju, onda Cauchyjev test ukazuje na konvergenciju; ako Cauchyjev test ne dozvoljava da se izvuče zaključak o konvergenciji, onda ni D'Alembertov test ne dozvoljava da se izvuku bilo kakvi zaključci; Postoje serije za koje Cauchyjev test ukazuje na konvergenciju, ali D'Alembertov test ne ukazuje na konvergenciju.

Integralni Cauchy-Maclaurin test

Neka serija bude data ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) i funkciju f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) takav da:

Zatim serija ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) i integralni ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) konvergiraju ili divergiraju istovremeno, i ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(\n=k)^ )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Raabeov znak

Neka serija bude data ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) I R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\lijevo((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\desno)).

Raabeov test se zasniva na poređenju sa generalizovanim harmonijskim nizom

Akcije na redove

Primjeri

Razmotrite seriju 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Za ovaj red:

Dakle, Cauchyjev test ukazuje na konvergenciju, dok nam D'Alembertov test ne dozvoljava da izvučemo bilo kakve zaključke.

Razmotrite seriju ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

Dakle, Cauchyjev test ukazuje na divergenciju, dok nam D'Alembertov test ne dozvoljava da izvučemo bilo kakve zaključke.

Red ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) konvergira na α > 1 (\displaystyle \alpha >1) i razilazi se na α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), kako god:

Dakle, Cauchyjevi i d'Alembertovi znakovi nam ne dozvoljavaju da izvučemo bilo kakve zaključke.

Red ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) konvergira uslovno prema Leibnizovom kriteriju, ali ne i apsolutno, jer harmonijski niz ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\desno|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) divergira.

, je neograničen u lijevom susjedstvu točke b (\displaystyle b). Nepravilni integral druge vrste ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) pozvao apsolutno konvergentno, ako integral konvergira ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Naizmjenični nizovi su nizovi čiji su članovi naizmjenično pozitivni i negativni. . Najčešće se razmatraju naizmjenični nizovi u kojima se pojmovi izmjenjuju jedan za drugim: nakon svakog pozitivnog slijedi negativ, nakon svakog negativnog slijedi pozitivan. Ali postoje naizmjenični redovi u kojima se članovi izmjenjuju kroz dva, tri i tako dalje.

Razmotrimo primjer naizmjenične serije, čiji početak izgleda ovako:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

i odmah opća pravila za snimanje naizmjeničnih redova.

Kao i kod svake serije, da biste nastavili datu seriju, morate navesti funkciju koja određuje zajednički termin serije. U našem slučaju jeste n + 2 .

Kako podesiti izmjenu znakova članova serije? Množenje funkcije sa minus jedan do nekog stepena. U kom stepenu? Odmah da naglasimo da svaki stepen ne osigurava izmjenu predznaka za članove serije.

Recimo da želimo da prvi član naizmjeničnog niza ima pozitivan predznak, kao što je slučaj u gornjem primjeru. Tada minus jedan mora biti na snagu n− 1 . Počnite zamjenjivati ​​brojeve počevši od jedan u ovaj izraz i dobit ćete kao eksponent na minus jedan, zatim paran, zatim neparan broj. To je ono što je neophodno stanje naizmjenični znakovi! Dobijamo isti rezultat kada n+ 1 . Ako želimo da prvi član naizmjeničnog niza bude s negativnim predznakom, onda možemo definirati ovaj niz množenjem funkcije zajedničkog člana s jedan na stepen n. Dobijamo paran broj, neparan broj i tako dalje. Kao što vidimo, već opisani uslov za naizmjenične znakove je ispunjen.

Dakle, gornji naizmjenični niz možemo napisati u općenitom obliku:

Za izmjenu znakova člana serije, snaga minus jedan može biti zbir n i bilo koji pozitivan ili negativan, paran ili neparan broj. Isto važi i za 3 n , 5n, ... To jest, izmjenjivanje znakova članova naizmjeničnog niza daje stepen na minus jedan u obliku zbira n, pomnoženo bilo kojim neparnim brojem i bilo kojim brojem.

Koje snage na minus jedan ne osiguravaju izmjenu znakova članova serije? Oni koji su prisutni u formi n, pomnoženo bilo kojim parnim brojem, kojem je dodan bilo koji broj, uključujući nulu, paran ili neparan. Primjeri indikatora takvih stupnjeva: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... U slučaju takvih stepena, u zavisnosti od toga kojem se broju doda "en", pomnoženo sa parnim brojem, dobijaju se samo parni ili samo neparni brojevi, što, kao što smo već saznali, nije dati izmjenu znakova članova serije .

Naizmjenične serije - poseban slučaj naizmenične serije . Naizmjenični nizovi su nizovi sa terminima proizvoljnih predznaka , odnosno one koje mogu biti pozitivne i negativne bilo kojim redoslijedom. Primjer naizmjenične serije:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Zatim razmatramo znakove konvergencije naizmjeničnih i naizmjeničnih serija. Uslovna konvergencija naizmjeničnih nizova znakova može se utvrditi korištenjem Leibnizovog testa. A za širi raspon serija - naizmjenične serije (uključujući naizmjenične serije) - primjenjuje se kriterij apsolutne konvergencije.

Konvergencija naizmjeničnih nizova znakova. Leibnizov test

Za niz naizmjeničnih znakova vrijedi sljedeći kriterij konvergencije - Leibnizov kriterij.

Teorema (Leibnizov test). Niz konvergira i njegov zbir ne prelazi prvi član, ako su sljedeća dva uvjeta istovremeno zadovoljena:

• apsolutne vrijednosti članova naizmjeničnog niza se smanjuju: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n>...;
• limit njegovog zajedničkog trajanja sa neograničenim povećanjem n jednaka nuli.

Posljedica. Ako uzmemo zbir naizmjeničnog niza kao zbir njegovih n termine, tada dozvoljena greška neće premašiti apsolutnu vrijednost prvog odbačenog termina.

Primjer 1. Istražite konvergenciju serije

Rješenje. Ovo je naizmjenična serija. Apsolutne vrijednosti njegovih članova se smanjuju:

i granica uobičajenog pojma

jednako nuli:

Oba uslova Lajbnicovog testa su zadovoljena, tako da red konvergira.

Primjer 2. Istražite konvergenciju serije

Rješenje. Ovo je naizmjenična serija. Prvo dokazujemo da:

, .

Ako N= 1, onda za sve n > N važi nejednakost 12 n − 7 > n. Zauzvrat, za sve n. Stoga, odnosno, članovi serije smanjuju apsolutnu vrijednost. Nađimo granicu općeg pojma serije (koristeći L'Hopitalovo pravilo):

Granica uobičajenog pojma je nula. Oba uslova Lajbnicovog testa su zadovoljena, pa je odgovor na pitanje konvergencije pozitivan.

Primjer 3. Istražite konvergenciju serije

Rješenje. S obzirom na naizmjeničnu seriju. Otkrijmo da li je zadovoljen prvi uslov Lajbnicovog kriterijuma, odnosno uslov. Da bi zahtjev bio ispunjen, neophodno je da

Pobrinuli smo se da zahtjevi budu ispunjeni za sve n > 0 . Prvi Lajbnicov kriterijum je zadovoljen. Nađimo granicu općeg pojma serije:

.

Granica nije nula. Dakle, drugi uslov Lajbnicovog kriterijuma nije zadovoljen, pa konvergencija ne dolazi u obzir.

Primjer 4. Istražite konvergenciju serije

Rješenje. U ovoj seriji dva negativna člana prate dva pozitivna. Ova serija je takođe naizmjenična. Hajde da saznamo da li je zadovoljen prvi uslov Lajbnicovog testa.

Zahtjev je ispunjen za sve n > 1 . Prvi Lajbnicov kriterijum je zadovoljen. Hajde da saznamo da li je granica opšteg pojma jednaka nuli (primjenjujući L'Hopitalovo pravilo):

.

Imamo nulu. Dakle, oba uslova Lajbnicovog kriterijuma su zadovoljena. Konvergencija se dešava.

Primjer 5. Istražite konvergenciju serije

Rješenje. Ovo je naizmjenična serija. Hajde da saznamo da li je zadovoljen prvi uslov Lajbnicovog testa. Jer

,

Jer n ≥ 0 , zatim 3 n+ 2 > 0 . Zauzvrat, za sve n, Zbog toga . Posljedično, članovi serije smanjuju apsolutnu vrijednost. Prvi Lajbnicov kriterijum je zadovoljen. Hajde da saznamo da li je granica opšteg člana niza jednaka nuli (primjenjujući L'Hopitalovo pravilo):

.

Imamo nultu vrijednost. Oba uslova Lajbnicovog testa su zadovoljena, tako da ovaj niz konvergira.

Primjer 6. Istražite konvergenciju serije

Rješenje. Hajde da saznamo da li je prvi uslov Leibnizovog testa zadovoljen za ovaj naizmenični niz:

Članovi serije smanjuju apsolutnu vrijednost. Prvi Lajbnicov kriterijum je zadovoljen. Hajde da saznamo da li je granica zajedničkog člana jednaka nuli:

.

Granica zajedničkog pojma nije nula. Drugi uslov Lajbnicovog kriterijuma nije zadovoljen. Stoga se ova serija razlikuje.

Leibnizov test je znak uslovna konvergencija serije. To znači da se zaključci o konvergenciji i divergenciji naizmjeničnih nizova razmatranih gore mogu dopuniti: ovi nizovi konvergiraju (ili divergiraju) uslovno.

Apsolutna konvergencija naizmjeničnih redova

Pustite red

– naizmjenični znak. Razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova:

Definicija. Za niz se kaže da je apsolutno konvergentan ako konvergira niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova. Ako se naizmjenični niz konvergira, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova divergira, tada se takav naizmjenični niz naziva uslovno ili neapsolutno konvergentno .

Teorema. Ako niz konvergira apsolutno, onda konvergira uslovno.

Primjer 7. Odredite da li se niz konvergira

Rješenje. Ovoj seriji, pored pozitivnih pojmova, odgovara serija Ovo generalizovani harmonijski niz, u kojem , dakle, serija divergira. Provjerimo da li su ispunjeni uslovi Lajbnicovog testa.

Napišimo apsolutne vrijednosti prvih pet članova niza:

.

Kao što vidimo, članovi serije smanjuju apsolutnu vrijednost. Prvi Lajbnicov kriterijum je zadovoljen. Hajde da saznamo da li je granica zajedničkog člana jednaka nuli:

Imamo nultu vrijednost. Oba uslova Lajbnicovog testa su zadovoljena. Odnosno, prema Leibnizovom kriterijumu, dolazi do konvergencije. I odgovarajući niz sa pozitivnim članovima se razilazi. Dakle, ovaj niz konvergira uslovno.

Primjer 8. Odredite da li se niz konvergira

apsolutno, uslovno ili se razlikuje.

Rješenje. Ovom nizu pored pozitivnih članova odgovara niz Ovo je generalizovani harmonijski niz, u kojem se, dakle, niz divergira. Provjerimo da li su ispunjeni uslovi Lajbnicovog testa.

Sada ćemo prijeći na proučavanje serija čiji su članovi realni brojevi bilo kojeg predznaka.

Definicija 1. Nazvat ćemo seriju

apsolutno konvergentan ako se red konvergira

Imajte na umu da ova definicija ne govori ništa o tome da li se pretpostavlja da niz (1.49) sam po sebi konvergira. Ispada da bi takva pretpostavka bila nepotrebna, jer je tačna sljedeća teorema.

Teorema 1.9. Konvergencija reda (1.50) implicira konvergenciju reda (1.49).

Dokaz. Koristimo Cauchyjev kriterij za niz (tj. Teorema 1.1). Potrebno je dokazati da za bilo koji broj postoji broj takav da za sve brojeve koji zadovoljavaju uvjet i za bilo koji prirodan broj vrijedi sljedeća nejednakost:

Popravljamo bilo koje. Budući da niz (1.50) konvergira, prema teoremi 1.1, postoji broj takav da za sve brojeve koji zadovoljavaju uvjet i za bilo koji prirodan broj vrijedi sljedeća nejednakost:

Pošto modul zbira nekoliko članova ne prelazi zbir njihovih modula, onda

Upoređujući nejednačine (1.52) i (1.53), dobijamo nejednakosti (1.51). Teorema je dokazana.

Definicija 2. Niz (1.49) se naziva uslovno konvergentnim ako ovaj niz konvergira, dok odgovarajući niz modula (1.50) divergira.

Primjer apsolutno konvergentnog niza je niz.

Ovaj niz konvergira apsolutno, jer kada se niz (1.33) konvergira.

Navedimo primjer uslovno konvergentnog niza. Dokažimo uslovnu konvergenciju serije

Pošto se odgovarajući niz modula (harmonični niz), kao što već znamo, divergira, onda je za dokazivanje uslovne konvergencije niza (1.54) dovoljno dokazati da ovaj niz konvergira. Dokažimo da niz (1.54) konvergira broju . U stavu 2 § 9 gl. 6 dio 1 dobili smo dekompoziciju prema Maclaurinovoj formuli funkcije

Tamo je za sve x iz segmenta dobijena sljedeća procjena ostatka člana.

sa (općenito govoreći) složenim terminima, za koje se niz konvergira

Za apsolutnu konvergenciju niza (1) potrebno je i dovoljno (Cauchyjev kriterij za apsolutnu konvergenciju niza) da za bilo koji postoji broj takav da za sve brojeve i sve cijele brojeve vrijedi sljedeće:

Ako je niz apsolutno konvergentan, onda konvergentan. Red

apsolutno konvergira i red

konvergira, ali ne apsolutno. Neka

Serija sastavljena od istih pojmova kao i serija (1), ali uzeta, općenito govoreći, drugačijim redoslijedom. Iz apsolutne konvergencije reda (1) slijedi da apsolutna serija(3), a serija (3) ima isti zbir kao i serija (1). Ako su redovi

apsolutno konvergiraju, dakle: bilo koja njihova linearna kombinacija

takođe apsolutno konvergira; niz dobijen iz svih mogućih parnih proizvoda članova ovih redova, poređanih proizvoljnim redoslijedom, također je apsolutno konvergentan i njegov je zbir jednak proizvodu zbira ovih redova. Navedena svojstva apsolutno konvergentnih redova prenose se na više redova

apsolutno konvergira, tj. svi nizovi dobiveni sekvencijalnim zbrajanjem članova niza (4) po indeksima apsolutno konvergiraju, a zbroji višestrukih nizova (4) i ponovljenih nizova (5) jednaki su i poklapaju se sa zbirom bilo kojeg pojedinačnog niza formiranog od svih članova serije (4).

Ako su članovi serije (1) elementi određenog Banahovog prostora sa normom elemenata, onda se niz (1) naziva. apsolutno konvergentan ako se red konvergira

U slučaju A. s. R. elementima Banahovog prostora, generalizovana su prethodno razmatrana svojstva apsolutno konvergentnih brojevnih nizova, posebno algebarskih sistema. R. elementi Banahovog prostora konvergiraju u ovom prostoru. Na sličan način, koncept A. s. R. prenosi na više serija u Banahovom prostoru.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je “APSOLUTNO KONVERGENTNI SERIJI” u drugim rječnicima:

Funkcionalni niz (1) sa (općenito govoreći) kompleksnim članovima, koji konvergiraju na skupu X, i takav da za bilo koje e>0 postoji broj ne , da je za sve n>ne i sve nejednakosti gdje i Drugim riječima, a redoslijed djelomičnih ... ... Mathematical Encyclopedia

Sadržaj. 1) Definicija. 2) Broj određen nizom. 3) Konvergencija i divergencija redova. 4) Uslovna i apsolutna konvergencija. 5) Uniformna konvergencija. 6) Proširenje funkcija u serije. 1. Definicije. R. je niz elemenata...... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Beskonačan zbir, niz elemenata (koji se nazivaju članovima date serije) određene linearne topološke. prostor i određeni beskonačan skup njihovih konačnih suma (koji se nazivaju parcijalni sumi svijeta...... Mathematical Encyclopedia

Niz, beskonačan zbir, na primjer oblika u1 + u2 + u3 +... + un +... ili, ukratko, . (1) Jedan od najjednostavnijih primjera niza, koji se već nalazi u elementarnoj matematici, je zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije 1 + q + q 2 +... + q... ...

I je beskonačan zbir, na primjer, oblika u1 + u2 + u3 +... + un +... ili, ukratko, jedan od najjednostavnijih primjera zbira, koji se nalazi već u elementarnoj matematici, je beskonačno opadajući suma... ... Velika sovjetska enciklopedija

Niz funkcija koje, u nezasjenjenom području, konvergiraju prirodnom logaritmu (crveno). IN u ovom slučaju je N-ti parcijalni zbir stepena niza, gdje N označava broj članova. Funkcionalna serija ... Wikipedia

S je višestruki niz, izraz oblika sastavljen od članova tabele Svaki član ove tabele je numerisan indeksima m, n, . . . , p, koji prolaze kroz sve prirodne brojeve nezavisno jedan od drugog. Teorija K. r. slično teoriji dvostrukih serija. Pogledajte i…… Mathematical Encyclopedia

Niz kosinusa i sinusa višestrukih lukova, tj. niz oblika ili in složen oblik gdje se pozivaju ak, bk ili, respektivno, ck. T.r. koeficijenti Po prvi put T. r. pronađeno u L. Euleru (L. Euler, 1744). Dobio je razgradnje u sumporu. 18. vek u vezi sa... ... Mathematical Encyclopedia

Niz gdje su funkcije koje su holomorfne u nekoj regiji nezavisno od k. Ako je za sve, tada se naziva niz (*). blizu Hartogse. Bilo koja funkcija koja je holomorfna u Hartogs domeni tipa D može se dekomponovati u apsolutno i uniformno konvergentnu funkciju unutar DG. L.r. U cijelosti... ... Mathematical Encyclopedia

Primjer 2.

Istražite da li se niz konvergira.

Zbog

Tada se niz konvergira.

Test integralne konvergencije

Integralni kriterijum za konvergenciju izražen je sljedećom teoremom

Teorema 1.8.

S obzirom na seriju sa pozitivnim terminima

Ako je u funkciji kontinuirana, pozitivna i ne raste, a u tačkama poprima vrijednosti, tada je niz(1.23) i nepravilan integral(1.24) konvergiraju ili divergiraju u isto vrijeme.

Dokaz.

Ako , onda gde

;

Ako integral (1.24) konvergira i , To sa bilo kojim prirodnim dakle,

.

Pošto je niz monotono rastući i ograničen, onda postoji, tj. niz (1.23) također konvergira. Ako niz (1.23) konvergira i , tada za bilo koje .

Iz jednakosti (1.26) slijedi da na bilo koji . Nepravilni integral također konvergira.

Koristeći integralni test, može se dokazati da je niz

(1.27)

gdje je bilo koji realan broj, konvergira na i divergira na .

Zaista, konvergira na i divergira na .

Naizmjenični redovi. Leibnizov test

Naizmjenično sljedeći je niz koji ima bilo koja dva člana s brojevima i imaju suprotne predznake, tj. serije obrasca

(1.30)

Dokaz.

Razmotrimo parcijalne sume nizova (1.28) sa parnim i neparnim brojevima:

Transformirajmo prvi od ovih suma:

Zbog uslova (1.29), razlika u svakoj zagradi je pozitivna, dakle zbir i za sve. Dakle, niz parnih parcijalnih suma je monotono rastući i ograničen. Ima granicu, koju označavamo sa , tj. . Zbog , onda, uzimajući u obzir prethodnu jednakost i uslov (1.30), dobijamo

Dakle, nizovi parcijalnih suma date serije sa parnim i neparnim brojevima, respektivno, imaju istu granicu. Iz toga slijedi da niz svih parcijalnih suma niza ima ograničenje; one. serija konvergira.

Primjer.

Istražite da li se niz konvergira

(1.31)

Ova serija je naizmjenična. Konvergira jer zadovoljava uslove teoreme

Procjena za ostatak naizmjeničnog niza određena je korištenjem sljedeće teoreme.

Teorema 1.10.

Zbir ostatka naizmjeničnog niza koji zadovoljava uslove Leibnizove teoreme ima predznak prvog preostalog člana i ne prelazi ga u apsolutnoj vrijednosti.

Dokaz.

Razmotrimo ostatak serije (1.28) nakon članova. Neka onda njegov zbir, -i djelomični zbir

Pošto su uslovi teoreme 1.9 zadovoljeni, onda pred svima, tj. , gdje

ili

Slično je dokazano da zbir ostatka niza nakon članova zadovoljava uslove , tj. I .

Dakle, bez obzira na par ili nepar

Razmotrimo seriju sastavljenu od modula članova ove serije:

(1.34)

Teorema 1.11.

Ako je red(1.34) konvergira, tada se niz konvergira(1.33).

Dokaz.

Budući da niz (1.34) konvergira, onda na osnovu Cauchyjevog kriterija (teorema 1.1) za bilo koji postoji takav broj , tada za sve i bilo koji cijeli broj vrijedi nejednakost

.

To . To znači da i niz (1.33) konvergira.

Komentar.

Konvergencija reda (1.33) ne implicira konvergenciju reda (1.34). Na primjer, serija konvergira (vidi odeljak 1.6), a niz modula njegovih članova divergira (harmonični red, vidi odeljak 1.2).

apsolutno konvergentno, ako se niz modula njegovih članova konvergira. Na primjer, serija

je apsolutno konvergentan, jer niz modula njegovih članova konvergira, tj. serija (geometrijska progresija sa nazivnikom , ).

Naizmjenična serija se naziva neapsolutno konvergentan (uslovno konvergentan), ako konvergira, ali se niz modula njegovih članova divergira. Na primjer, niz nije apsolutno konvergentan (vidi napomenu).

Akcije na redove.

Proizvod iz serije

Teorema 1.12.

Ako je red(1.35) konvergira, zatim niz(1.36) takođe konvergira, i

(1.37)

Dokaz.

Označimo sa u - e parcijalne sume redova (1.35) i (1.36), tj.

Očigledno, . Ako niz (1.35) konvergira i njegov zbir je jednak , tj. , , To

Uz niz (1.35), razmotrite i niz

takođe apsolutno konvergira i njen zbir je jednak

Komentar.

Pravila za rad na nizovima ne poklapaju se uvijek s pravilima za rad na konačnim sumama. Konkretno, u konačnim sumama možete proizvoljno promijeniti redoslijed pojmova, grupirati pojmove kako god želite, a zbir se neće promijeniti. Uvjeti konačnog zbroja mogu se sabirati obrnutim redoslijedom; to nije moguće za niz, jer nema posljednji član.

Nije uvijek moguće grupirati članove u nizu. Na primjer, serija

je divergentan jer

i nema ograničenja za njegove djelimične iznose. Nakon grupisanja članova

dobijamo konvergentni niz, njegov zbir je nula. Sa drugačijom grupom članova

dobijamo konvergentni niz čiji je zbir jednak jedan.

Predstavljamo dvije teoreme bez dokaza.

Teorema 1.14.

Preuređivanje članova apsolutno konvergentnog niza ne narušava njegovu konvergenciju; zbir reda ostaje isti.

Teorema 1.15.

Ako se niz ne konvergira apsolutno, tada je pravilnim preuređivanjem njegovih članova uvijek moguće dati zbiru niza proizvoljnu vrijednost, pa čak i učiniti niz divergentnim.